Springen naar inhoud

Welordeningsprincipe en het keuzeaxioma


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Diadem

    Diadem


  • >25 berichten
  • 78 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 maart 2006 - 18:34

Het keuzeaxioma luidt:

Zij X een collectie niet-lege verzamelingen. Dan is er een functie f, gedefinieerd op X, zodanig dat f(V) een element van V is voor elke verzameling V in X


Het welordeningsprincipe luidt:

Voor iedere set X is er een welordening op X


Het is algemeen bekend dat deze twee uitspraken equivalent aan elkaar zijn. Het bewijs LaTeX wordt als triviaal gezien, en gaat als volgt: Zij X een collectie van verzamelingen. Voor ieder element V van X gebruik je het welordeningsprincipe om een welordening te vinden, en definiŽer je vervolgens f(V) als het kleinste element van deze welordening.


Maar klopt dit bewijs wel? Volgens mij gebruik je nu stiekem ook weer het keuzeaxioma. Gegeven een welordering van een verzameling is iedere permutatie van de elementen van deze welordening ook een welordening. In het bijzonder heeft een oneindige verzameling dus altijd oneindig veel welordeningen. Om het kleinste element van een welordening van een verzameling te kiezen, moeten we dus eerst een specifieke welordening kiezen. Wat in het bewijs dus eigenlijk gebeurd is dat voor ieder element V van X we uit de verzameling van alle welordeningen op V een specifieke welordening kiezen. Hiervoor is het keuzeaxioma nodig.

Zie ik nu iets over het hoofd?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 17 maart 2006 - 23:30

Wat in het bewijs dus eigenlijk gebeurd is dat voor ieder element V van X we uit de verzameling van alle welordeningen op V een specifieke welordening kiezen. Hiervoor is het keuzeaxioma nodig.

We kiezen helemaal niets.
Voor ieder element V van X gebruik je het welordeningsprincipe om een welordening te vinden. Hierbij nemen we niet speciaal een element van X. Het geldt namelijk voor elke V. En voor elke set X is er een welordening op X.
Dat is gegeven.
We gaan ook niet een specifieke welordening kiezen, daar het een eigenschap is die algemeen geldt.

#3

Diadem

    Diadem


  • >25 berichten
  • 78 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 maart 2006 - 23:55

Maar het punt is nu juist dat je wel een specifieke welordening moet kiezen. Wat je wilt is immers een functie f die aan ieder verzameling V in de collectie X een element van V toekent.

Wat je doet in het bewijs is een welordening op V pakken, en hiervan het kleinste element nemen. Die laatste stap mag natuurlijk zonder meer. Maar voor die eerste stap lijkt mij het keuzeaxioma nodig. Immers, welke welordening pak je? Op LaTeX bijvoorbeeld zijn oneindig veel welordeningen. Om een kleinste element van een welordening op LaTeX te pakken moet je dus eerst een specifieke welordening kiezen. Maar dat moet je voor ieder element van X doen. Voor ieder element V van X moeten we uit de verzameling van alle welordeningen op V een element kiezen. We hebben dus een collectie van verzamelingen van welordeningen en hebben een functie nodig die voor iedere verzameling in deze collectie een element van die verzameling oplevert. Dat is precies het keuzeaxioma.

#4

The Black Mathematician

    The Black Mathematician


  • >100 berichten
  • 150 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 maart 2006 - 00:31

Ik ken overigens helemaal geen enkele welordening op LaTeX

De definitie van een welordening is:
Een lineaire orde < op een verzameling X heet een welordening, en de verzameling X heet welgeordend, als elke niet lege deelverzameling van X een kleinste element heeft.

De bekendste linaire orde op LaTeX : ook met < aangegeven, is helemaal geen welordening. Neem bijvoorbeeld de niet lege deelverzameling (a,b)
Volgens de normale orde is er helemaal geen kleinste element, wel een infimum a, maar dat is geen kleinste element.
Graag zou ik van jou een welordening op LaTeX willen zien, daar ben ik heel erg benieuwd naar, want volgens mij is deze helemaal niet bekend en moet je het bestaan ervan per axioma dus aannemen.

#5

Diadem

    Diadem


  • >25 berichten
  • 78 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 maart 2006 - 01:40

Er is inderdaad geen welordening op LaTeX bekend.

Het welordeningstheorema luidt echter dat er voor iedere verzameling een welordening bestaat. Dit is dus een zeer sterke uitspraak. Je kunt dus iedere verzameling welordenen. Niet alleen LaTeX maar ook bijvoorbeeld LaTeX of LaTeX . Niemand die echter enig idee heeft hoe dat zou moeten, en daarom vinden sommige wiskundigen dit theorema dan ook problematisch.

Het blijkt nu dat deze uitspraak bewezen kan worden als je het keuzeaxioma aanneemt. Andersom echter kan het keuzeaxioma bewezen worden als je het welordeningstheorema aanneemt. De twee uitspraken zijn dus equivalent.

Mijn vraag gaat dus over het bewijs van het keuzeaxioma uit het welordeningstheorema. Voor zover ik kan zien maak je bij dit bewijs eigenlijk gewoon gebruik van het keuzeaxioma, en bewijs je dus helemaal niets.

#6

The Black Mathematician

    The Black Mathematician


  • >100 berichten
  • 150 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 maart 2006 - 16:58

Ik zie je punt niet, je zegt: gegeven een welordening, blijken er oneindig veel welordeningen te zijn, want je kan ze permuteren. So what!
Om een punt uit LaTeX te kiezen, heb ik toch ook geen keuzeaxioma nodig ondanks dat er oneindig veel getallen in LaTeX .

#7

Diadem

    Diadem


  • >25 berichten
  • 78 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 maart 2006 - 17:12

Nee, om een punt uit een enkele verzameling te kiezen heb je het keuzeaxioma niet nodig.

Maar om uit een oneindig grote collectie van verzamelingen uit iedere verzameling een element te kiezen wel. Je kunt niet zomaar zeggen "dan kies ik LaTeX " want je weet niet of al je verzamelingen in de collectie Pi wel bevatten.

#8

The Black Mathematician

    The Black Mathematician


  • >100 berichten
  • 150 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 maart 2006 - 17:19

Maar je hoeft toch helemaal geen welordening te construeren, zoals jij wel schetst?
Er is er gewoon ťťn voor de hele ruimte, en dan weliswaar ook oneindig veel anderen, maar dan pak je gewoon uit de verzameling welordeningen er gewoon eentje. Om uit een niet lege verzameling een element te kiezen, daar is toch helemaal geen keuzeaxioma voor nodig, dacht ik.

Is het overigens niet zo dat als je op een deelverzameling V van X een welordening wilt plakken je niet gewoon de welordening op X zelf kan nemen, alleen dan tot V beperkt?


Is er trouwens een admin die even mijn vorige bericht kan pimpen?

#9

Diadem

    Diadem


  • >25 berichten
  • 78 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 maart 2006 - 17:40

Je bedoelt dat je je gehele collectie als ťťn enkele verzameling wilt opvatten en hier dan een welordening voor wilt kiezen, waarna je aan deze hand van deze welordening van elke verzameling in je collectie een element kiest?

Hmm, dat zou wel kunnen werken inderdaad. Al ben ik er nog niet helemaal van overtuigd dat dit zomaar mag. Voor die laatste stap moet je je oneindig grote welordening helemaal doorlopen om voor iedere verzameling het kleinste element te kiezen.

Iig is het bewijs in mijn dictaat dus fout :roll:





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures