Springen naar inhoud

Derdegraadsvergelijking


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Larude

    Larude


  • >25 berichten
  • 34 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 18 maart 2006 - 15:41

Zou iemand me kunnen vertellen hoe je de volgende vergelijking zou kunnen oplossen?

-F - bq^2 + 2q^3 = 0

P.S. Ik heb even een beetje gezocht op dit forum maar niet gevonden hoe je dit soort 3e graads vergelijkingen systematisch kunt oplossen.
Waarheid is het compliment aan datgene waar we niet aan twijfelen

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Diadem

    Diadem


  • >25 berichten
  • 78 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 maart 2006 - 16:22

Even over typen van wikipedia. Leuke oefening in mijn tex-vaardigheden :roll:

Gegeven een polynoom
LaTeX
Zij
LaTeX
LaTeX
En
LaTeX
LaTeX

Dan worden de oplossingen gegeven door:

LaTeX
LaTeX
LaTeX

Deze formules zijn dusdanig complex dat het in de praktijk makkelijker is om zo'n vergelijking gewoon door de computer te laten uitrekenen.

#3

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 18 maart 2006 - 16:24

Er zijn pasklare formules(probeer Google), maar gezien de (natuurkundige) achtergrond is benaderen bv met de GR veel eenvoudiger.

#4

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 18 maart 2006 - 19:02

ax3 +bx2 + cx +d = 0.
Deel eerst door a. Dat geeft een vergelijking van de vorm
x3 +ex2 + fx +g = 0.
Substitueer x = y - e/3.
Dat geeft een vergelijking van de vorm
y3 + hy +j = 0.
Substitueer nu y = u+v, (dus van 1 variabele maken we er 2, maar straks zal v uitgedrukt worden in u)
dat geeft
(u+v)3 + h(u+v) +j = 0, ofwel
u3 +v3 + 3u2v + 3uv2 + h(u+v) + j = 0, ofwel
u3 +v3 + (3uv+h)(u+v) + j = 0.
Zeg nu 3uv+h=0 ofwel v=h/(3u),
dan is u3 +v3 + j = 0.
We hebben nu 2 vergelijkingen in u en v namelijk
v=h/(3u) en
u3 +v3 + j = 0.
Substitutie van de 1-ste in de 1-de vergelijking geeft een vierkantsvergelijking in u3, die we op kunnen lossen.
Let op z3 = 3 heeft 3 complexe oplossingen!!!
Als je u hebt kun je v en dus y en uiteindelijk x vinden.

#5

Larude

    Larude


  • >25 berichten
  • 34 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 18 maart 2006 - 20:03

Hartelijk dank allen, aangezien de 'parameters' voor de in dit geval q-en geen getallen geven Diadems formules geen mogelijkheid om het met een computerprogramma te laten uitrekenen. Peter Pans oplossingsmethode is qua handmatig rekenwerk beter te doen. Het is overigens een Micro-economie opgave. Vergeef mij echter dat ik de uitkomsten niet ga uitrekenen; het kan nooit de bedoeling zijn van dit vak namelijk dat je dit soort 'complexe' (voor mij) methodes moet gebruiken om tot een uitkomst te komen.
Waarheid is het compliment aan datgene waar we niet aan twijfelen

#6

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 20 maart 2006 - 10:27

Nog even een systematische manier om een derdegraadsvergelijking op te lossen:
We beginnen met x3 + ax2 + bx + c = 0.
De x2-term raak je kwijt door de substitutie x = y - a/3. Je krijgt:
y3 + b1y + c1 = 0 met b1 = b + a2/3.
Als b + a2/3 = 0 zou zijn dan staat er y3 + c1 = 0 en dat is makkelijk op te lossen.
Ons ideaal moet nu zijn de vergelijking x3 + ax2 + bx + c = 0 door een of andere substitutie eerst om te zetten in een vergelijking
x3 + a2x2 + b2x + c2 = 0 met b2 + a22/3 = 0.

Een 3-de graads vergelijking omzetten in een andere lukt volgens mij alleen door de substitutie x = y + q voor de een of andere q (dat heeft geen succes), of door de substitutie x = 1/(y + q) en dat heeft wel succes!





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures