Springen naar inhoud

Gedeelde volume van een cilinder in een bol berekenen: hoe?


  • Log in om te kunnen reageren

#1

ZwerfEnVerwonder

    ZwerfEnVerwonder


  • >25 berichten
  • 62 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 maart 2006 - 14:01

Ik mag graag puzzelen en meestal kom ik er (gelukkig) wel uit. Onderstaand probleem is me echter te machtig. Wie weet hoe je zoiets aan moet vliegen?

Beschouw een bol met straal a. De bol wordt doorsneden door een cylinder met straal a/2 waarvan het middelpunt ligt op de coŲrdinaat (x=a/2; y=0). Bereken het volume dat deel uitmaakt van beide voorwerpen (dus het deel wat zowel in de cylinder als in de bol zit).

In tekening:

Geplaatste afbeelding

???[/i]
Growing older is mandatory. Growing up is not.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Pongping

    Pongping


  • >25 berichten
  • 91 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 maart 2006 - 15:34

Ik denk dat je de inhoud van de cilinder - de omwentelingsinhoud moet doen van een halve cirkel van 0 tot a.
Stel cirkel is : LaTeX
Dan is LaTeX
Dat is de vgl van de halve cirkel. Voor de omwentelingsinhoud moet je integreren:
LaTeX van 0 tot a.

Als je dat hebt uitgerekend heb je de inhoud van de halve bol. Nu moet je de inhoud van de cilinder berekenen :
LaTeX

Uitrekenen en het antwoord aftrekken van de inhoud van de halve bol.

#3

ZwerfEnVerwonder

    ZwerfEnVerwonder


  • >25 berichten
  • 62 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 maart 2006 - 17:08

Dank voor je antwoord! Roept bij mij wel wat vragen op (ik ben ontzettend slecht in dit soort ruimtemeetkunde).
-De bol heeft straal a dus de inhoud van de bol is toch gewoon (4/3)*pi*a^3....? En de halve bol is dan toch gewoon (2/3)*pi*a^3...?
-Het volume van de cylinder is volgens mij niet zo simpel te berekenen, omdat de hoogte niet constant is. Deze wordt immers aan twee kanten begrensd door het opperval van de bol..... toch?
Growing older is mandatory. Growing up is not.

#4

Diadem

    Diadem


  • >25 berichten
  • 78 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 maart 2006 - 17:32

Ik kies de z-as zo dat hij parallel loopt met de as van de cilinder, door het middelpunt van de bol. Het middelpunt van de ciliner leggen we op de x-as. Voor het gemak snijden we het hele probleem doormidden langs het x-y-vlak. Ik bereken dus de inhoud van een halve cilinder, en vermenivuldig dat met twee.

De bol wordt geparametriseert door:
LaTeX
voor positieve z wordt de hoogte van de bol dus:
LaTeX
De cilinder parametriseren we met:
LaTeX
We definiŽren S als het grondoppervlak van de cilinder. Dus:
LaTeX

Nu wordt de inhoud van de doorsnede 'simpelweg' gegeven door:

LaTeX

En dat is een leuke integraal om even op te puzzelen :roll:

#5

Andy

    Andy


  • >250 berichten
  • 294 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 maart 2006 - 21:14

hmm, ist nie handiger om ofwel in bolcoordinaten ofwel in cilindercoordinaten alles te doen? vooral dan bolcoordinaten denk ik....

#6

Lensos

    Lensos


  • >25 berichten
  • 33 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 20 maart 2006 - 21:32

Ik kies de z-as zo dat hij parallel loopt met de as van de cilinder, door het middelpunt van de bol. Het middelpunt van de ciliner leggen we op de x-as. Voor het gemak snijden we het hele probleem doormidden langs het x-y-vlak. Ik bereken dus de inhoud van een halve cilinder, en vermenivuldig dat met twee.

De bol wordt geparametriseert door:
LaTeX


voor positieve z wordt de hoogte van de bol dus:
LaTeX
De cilinder parametriseren we met:
LaTeX
We definiŽren S als het grondoppervlak van de cilinder. Dus:
LaTeX

Nu wordt de inhoud van de doorsnede 'simpelweg' gegeven door:

LaTeX

En dat is een leuke integraal om even op te puzzelen :roll:

Dat is inderdaad de juist oplossing. Ik denk echter dat het in deze vorm nog erg moeilijk is om het volume er dan uit te krijgen.

Daarom stel ik voor om een transformatie te doen naar poolcoordinaten.

LaTeX
LaTeX


Merk nu op dat de functie
LaTeX
een cirkel is met straal LaTeX en middelpunt LaTeX

Het gebied wordt dus begrens door:
LaTeX
LaTeX

De integraal wordt dus:
LaTeX

De rest laat ik aan u over
You and your big words. . .and your small difficult words

#7

Diadem

    Diadem


  • >25 berichten
  • 78 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 maart 2006 - 00:19

Inderdaad is een coŲrdinatentransformatie de makkelijkste methode. Maar ik wilde niet alles weggeven he :roll:

De integraal die je nu hebt is erg makkelijk op te lossen, via de vertrouwde methode van 'afgeleide herkennen' :P

#8

ZwerfEnVerwonder

    ZwerfEnVerwonder


  • >25 berichten
  • 62 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 maart 2006 - 07:47

Dank allemaal voor het op weg helpen! Ik zal e.e.a. eens bestuderen en kijken of ik er een touw aan vast kan knopen :roll: .
Growing older is mandatory. Growing up is not.

#9

ZwerfEnVerwonder

    ZwerfEnVerwonder


  • >25 berichten
  • 62 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 maart 2006 - 11:59

Toch nog een vraag. Waarom zijn de grenzen +pi/2 en -pi/2 gekozen?
Growing older is mandatory. Growing up is not.

#10

Lensos

    Lensos


  • >25 berichten
  • 33 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 22 maart 2006 - 19:09

Toch nog een vraag. Waarom zijn de grenzen +pi/2 en -pi/2 gekozen?


hmmm, van 0 tot 2pi is wat gewoonlijk gedaan wordt, maar hier moet je daar mee oppassen, want dan ga je het dubbele uitkomen van wat je wil.
Dit is omdat je dan in feite ook twee keer het gebied doorloopt.
Van 0 tot pi weet ik eigenlijk niet of dat lukt.
Van -pi/2 tot pi/2 in ieder geval wel.

Misschien dat het nog gewoon het beste is om van 0 tot pi/2 te gaan, en de integraal x2 te doen.
You and your big words. . .and your small difficult words

#11

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 22 maart 2006 - 21:05

In de integraal hoe jij hem opstelde kan je de hoeken ook van 0 tot LaTeX laten lopen, dit geeft hetzelfde resultaat.

#12

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 23 maart 2006 - 20:53

Via cilindercoŲrd heb ik als volume: LaTeX
ongeveer 1.21a≥.

Opm: het exacte antwoord is verrassend! (ziet iemand dat?)

#13

phi hung

    phi hung


  • >250 berichten
  • 284 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 26 maart 2006 - 00:10

Wat vind je verrassend aan het exact antwoord?
Einstein meets Pythagoras E = m(a2+b2)

#14

Diadem

    Diadem


  • >25 berichten
  • 78 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 26 maart 2006 - 18:14

Volgens mij wordt het exacte antwoord, uitgaande van Lensos' formule:

LaTeX LaTeX
LaTeX

De integraal over LaTeX is 0 omdat dit een oneven functie is, geÔntegreerd over een even interval.

Maar dit is precies de helft van de inhoud van de bol. Dat kan natuurlijk niet. Moet dus iets mis zijn gegaan. Maar wat?

#15

phi hung

    phi hung


  • >250 berichten
  • 284 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 26 maart 2006 - 23:07

Er gaat inderdaad iets mis in je herleiding van de functie LaTeX (ik reken voor het gemak met LaTeX ).
LaTeX

Dit is een even functie, want LaTeX .
Gevolg is:
LaTeX voor LaTeX
LaTeX voor LaTeX

Als we LaTeX (partieel) integreren tussen LaTeX en LaTeX , dan zou dat LaTeX als uitkomst moeten geven.
En LaTeX tussen LaTeX en LaTeX geÔntegreerd, is dan uiteraard ook LaTeX .

Ik vraag me nog steeds af wat er verrassend is aan het antwoord LaTeX .





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures