Breukafsplitsing.

Bert F

Hallo,

Wie kan mij even uitleggen hoe je een breukafsplitsing in het algemeen gebruikt. Tot nu toe zag ik spijtig genoeg alleen maar voorbeelden waarbij we alles mooie konden opslitsen in een ding met allemaal nulpunten of eventueel dubbel nulpunten ed. Tot daar geen probleem maar wat als je blijft zitten met een polynoom van de tweede graad dit is eventueel ook nog gemakkelijk op te lossen (gevonden op het net ) maar hoe moet het dan verder bij een derde graads polynoom in overschot is het ook nog geen probleem omdat die altijd een nulpunt moet hebben maar wat bij een vierdegraads polynoom ?

Wie kan mij met andere woorden zeggen hoe ik die in het algemeen kan gebruiken?

Groeten dank bij voorbaat.

Safe

Het gaat wel altijd om een product in de noemer, maw als er geen product is dan is er ook niets te splitsen!

Vb:

\(\frac{A}{abc}\)

, met A is een functie van a, b en c.

dan is het te proberen om te schrijven:

\(\frac{p}{a}+\frac{q}{b}+\frac{r}{c}\)

met pbc+qac+rab=A.

Bert F

het grote zit hem erin als je zoiets hebt (iets / (x^2 + 1) (x^2+1)^2 )

Andy

ik ging net een gelijkaardige vraag stellen.

Ik heb een 'truc' voor dat op te lossen zo'n partieelbreuk ontwikkeling, maar ik weet niet goed waar het vandaan komt en dat zou handig zijn voor te memoriseren...

de truc heeft als voordeel dat ge geen fouten opstapelt zoals wel het geval kan zijn bij de methode zoals safe ze voorstelt (safe's methode is wel veel logischer)

\(a(\xi) &= \prod_{i=1}^{N}(\xi-\lambda_{i})^{n_{i}}; \lambda_{i} \neq \lambda_{j}, \forall i \neq j \)

Dan is

\(\frac{b(\xi)}{a(\xi)}\)

te schrijven als:

\(\frac{b(\xi)}{a(\xi)} &= a_{0} + \sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{n_{i}} \frac{a_{ij}}{(\xi-\lambda_{i})^{j}}\)

met

\(
a_{0}&=\lim_{\lambda \rightarrow \infty} \frac{b(\lambda)}{a(\lambda)} \)

\(a_{\in_{i}}&=\lim_{\lambda \rightarrow \lambda_{i}} (\lambda-\lambda_{i})^{n_{i}} \frac{b(\lambda)}{a(\lambda)}, i=1, \ldots N \)

\(a_{ij}&=\lim_{\lambda \rightarrow \lambda_{i}} (\lambda-\lambda_{i})^{j} \left(\frac{b(\lambda)}{a(\lambda)}- \sum_{k=j+1}^{n_{i}}\frac{a_{ik}}{(\lambda-\lambda_{i})^k}\right)\)

weljah, eigenlijk komt het erop neer dat ge telkens nulpunt van noemer wegdeelt en limiet neemt van de variabele naar de waarde van dat nulpunt (en dat ge begint met de hoogste macht weg te delen).

khoop dat Bert F er iets aan heeft ondertussen?

Andy

het grote zit hem erin als je zoiets hebt (iets / (x^2 + 1) (x^2+1)^2 )

dit is al ontwikkeld in partieelbreuken... wat ge schrijft kan eenvoudiger geschreven worden als

\(\frac{iets}{(x^{2}+1)^{3}}\)

en als je definitie van partieelbreukontwikkeling bekijkt (zie mijn vorige post), zie je dat inderdaad een tweeterm met macht in noemer mag...

het enige wat jij nog zou kunnen doen, maar waarschijnlijk is dit niet nodig, is verder ontwikkelen:

\(x^{2}+1= (x+i)(x-i)\)

en dit dan verder splitsen in partieelbreuken

Bert F

maar ik kan ontwikkelen in partitieele breuken zolang dat de factor in de teller van de partiteel breuken maar een gewoon rieel getal is nu blijkt dat niet zo te zijn en dat wil net achterhalen hoe het nu in het algemeen is.

Groeten.

TD

Geef eens een concreet voorbeeld want het is me niet duidelijk wat je precies bedoelt.

Bert F

Hier zijn een aantal voorbeeldjes het eerste is zoals het meestal gewoon ben de bij de ander twee duikt er iets vreems op waarvoor ik op zoek ben naar een soort algemene regel hoe ik die rariteiten moet aanpaken.

Afbeelding

Groeten.

TD

Als er in de noemer een factor (ax²+bx+c) voorkomt met b²-4ac < 0 (dus niet te ontbinden over

), dan moet je een lineaire teller voorstellen, dus van de vorm ax+b.

Safe

Bij 2 moet je eveneens lineaire termen in de teller hebben!

Bert F

dus je komt in die teller alleen maar een lineaire teller tegen? wat als er in de noemer een vierdegraads polynoom staat?

Groeten.

TD

wat als er in de noemer een vierdegraads polynoom staat?

Dan moet je die nog verder ontbinden.

Bert F

Dan moet je die nog verder ontbinden.

Ik had al zoiets gedacht dus in de teller kom alleen maar een lineaire term te staan?

Maar toch stel nu de x^4 + 2 heeft geen nulpunten maar mss moet je hem dan ontbinden in 2 tweede graads polynomen ook zonder nulpunt.

TD

Ik had al zoiets gedacht dus in de teller kom alleen maar een lineaire term te staan?

Of constanten, dat hangt af van de noemer.

Maar toch stel nu de x^4 + 2 heeft geen nulpunten maar mss moet je hem dan ontbinden in 2 tweede graads polynomen ook zonder nulpunt.

Juist, let wel: geen nulpunten in

, maar wel in

natuurlijk.

thesolution_77

Ik heb iets gelijkaardig in mijn handboek staan:

\(\frac{x+2}{(x^2-1)(x^2+1)^2}dx=\frac{\frac{3}{8}}{x-1}-\frac{\frac{1}{8}}{x+1}-\frac{\frac{x}{2}+1}{(x^2+1)^2}-\frac{\frac{x}{4}+\frac{1}{2}}{(x^2+1)}\)

maar ik begrijp niet hoe je eraan komt, als ik terugreken dan kom ik iets met

\(x^7\)

in de noemer uit, dan weet ik al dat het niet gaat uitkomen. Kan iemand mij eens duidelijk uitleggen hoe je zoiets aanpakt?

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Breukafsplitsing.

Breukafsplitsing.

Re: Breukafsplitsing.

Re: Breukafsplitsing.

Re: Breukafsplitsing.

Re: Breukafsplitsing.

Re: Breukafsplitsing.

Re: Breukafsplitsing.

Re: Breukafsplitsing.

Re: Breukafsplitsing.

Re: Breukafsplitsing.

Re: Breukafsplitsing.

Re: Breukafsplitsing.

Re: Breukafsplitsing.

Re: Breukafsplitsing.

Re: Breukafsplitsing.