[Mechanica] Stoppunt van balletje aan springveren

virtlink

Hallo allemaal,

Ik ben zelf niet zo'n heel wiskundig persoon, of natuurkundig, maar ik heb het gevoel dat de oplossing voor het volgende probleem niet zo heel ingewikkeld is.

Situatie

Er is een balletje (gewicht is volgens mij niet van belang) en het balletje zit in twee- (of drie-)dimensionale ruimte vast aan een (wisselend) aantal springveren van verschillende sterkte. De springveren zitten weer vast aan vaste punten in de ruimte.

Voorbeeldsituatie

Afbeelding

Aan het balletje zitten vier springveren waarvan de rechter 2 maal zo sterk is als de anderen.

Vraag

Hoe kan ik erachter komen op welk punt het balletje tot stilstand komt (dus waar de evenwichtssituatie wordt bereikt), en dat dan voor elke situatie met twee of meer punten op verschillende plekken?

Mijn theorie

Ik heb (als niet natuurkundepersoon) zelf een theorie bedacht om de locatie te vinden waarop het balletje tot stilstand komt.

Ieder punt met een springveer heeft een kracht waarmee het aan het balletje trekt. Als je aanneemt dat de kracht op zo'n vast punt 0 is, en de kracht op een punt zo hoog is als het aantal cm dat het van zo'n vast punt verwijders is, maal de kracht waarmee dat punt trekt, dan krijg je (van opzij gezien) de schuine zwarte lijnen in de grafiek onder de volgende afbeelding. De rode lijn geeft de hoogste waarde van de twee aan, en waar de kracht het laagste is, daar komt het balletje tot stilstand.

De bovenstaande situatie heb ik hieronder gesimuleerd, waarbij een rodere kleur een lagere kracht op dat punt in het veld aangeeft. De paarse punt geeft dan het laagste punt aan, en de positie waar het balletje tot stilstand zou komen. Het probleem is nu, hoe kan ik dat punt berekenen zonder eerst alle punten in het veld uit te rekenen?

Afbeelding

Ik hoop dat ik mijn vraag duidelijk genoeg heb gemaakt, maar ik ben bang dat mijn eigen theorie hier de boel alleen maar onduidelijker maakt. Dus als je een idee hebt, hoef je mijn theorie niet te snappen.

Alvast bedankt!

Stephaan

Ik denk dat het gewicht van het balletje wel degelijk van belang is.

Als ik me je tekening voorstel in een 2dimensionaal vertikaal vlak, ben ik toch zeker dat het balletje lager zal hangen naarmate zijn gewicht groter is. Ik wil voorstellen dat je de vraag opnieuw stelt voor een gewichtloos verbindingspunt van de 4 veren.

Ik vind het wel een goede vraag hoor!

virtlink

Ik wil voorstellen dat je de vraag opnieuw stelt voor een gewichtloos verbindingspunt van de 4 veren.

Oke, je hebt gelijk, bedankt.

Ik wil dus weten hoe ik kan berekenen waar de paarse punt in de onderstaande (hypothetische) situatie tot rust komt (dus niet de beweging die het punt volgt) en dat voor elke situatie met een willekeurig aantal springveren en sterktes daarvan.

De punten hebben geen gewicht, de springveren ook niet. De afgebeelde vier springveren zijn de enigen die krachten uitoefenen op het punt (er is dus geen zwaartekracht in deze situatie).

Afbeelding

Stephaan schreef:Ik denk dat het gewicht van het balletje wel degelijk van belang is.

Als ik me je tekening voorstel in een 2dimensionaal vertikaal vlak, ben ik toch zeker dat het balletje lager zal hangen naarmate zijn gewicht groter is.

Dat klopt, maar in mijn inzicht kan de zwaartekracht ook worden voorgesteld als een springveer die aan de grond vast zit en aan het punt trekt. Die heb ik nu dus weggelaten.

Het kan ook zijn dat dit meer een vraag is voor het wiskundeforum, wie zegt het mij?

Stephaan

Ik kan niet veel bijdragen tot de oplossing van je vraag maar toch dit:

"In mijn inzicht kan de zwaartekracht ook worden voorgesteld als een springveer die aan de grond vast zit en aan het punt trekt"

Die bewering is volgens mij moeilijk te verdedigen : in tegenstelling met een veer, waarvan de aantrekkingskracht groter wordt naarmate de veer verder uitgerekt wordt, zal de aardse aantrekkingskracht constant blijven zolang je dicht bij de aarde blijft, en zefs dat "dicht" is niet absoluut, want als je systeempje klein is geldt wat ik schrijf ook ver weg vd aarde.

Jan van de Velde

aanname: op geen enkel moment na loslaten komt ook maar één van de veren aan zijn maximale punt van uitrekking of ontspanning.

Tweede aanname: als ik de rechtse veer even vervang door één die even sterk is als de rest hangt het bolletje in het huidige middelpunt. De lengte van elke veer is dan l, de uitrekking u. De veerconstante van alle veren is gelijk (stel 1) Op dat ogenblik oefenen al de veren een trekkende kracht uit, dus van het bolletje af gericht. Die kracht van elke veer op dat moment meet ik en noem ik F. De yuitrtekking val elke veer noem ik u.

derde aanname: de rechtse veer wordt vervangen door één die tweemaal zo sterk is (veerconstante 2), en op het moment van aanpikken (dus uitrekking u) een veerkracht levert groot 2F.

Ik stel voor te gaan praten over Fl links, Fb boven, Fo onder en Fr rechts.

Denken we Fb en Fo even weg om ons op te warmen:

Wanneer wordt Fl gelijk aan Fr ?

de uitrekking van Fl neemt dan met x toe, de uitrekking van Fr neemt met gelijke x af:

veerconstante*(u+x) = 2*veerconstante*(u-x)

(u+x)=2*(u-x)

u+x=2u-2x

3x=u

x=u/3

dus als de lengtetoename van de rechtse veer gelijk is aan éénderde van zijn oorspronkelijke uitrekking, dan is er evenwicht.

nou komen Fb en Fo erbij.

Bij een opschuiving naar rechts met een grootte x neemt de lengte van elke veer toe van u tot

(u²+ x²). (pythagoras)

En nu heb ik even geen tijd meer tot een uur of tien. Wie gaat zolang verder?

8)

Jan van de Velde

Niemand? dan ga ik verder proberen:

Hierboven de kracht geleverd door F boven. Zijde u van de driehoek is de oorspronkelijke lengte. Zijde x is de afstand dat ons kruispunt naar rechts opschuift. dat betekent dat de schuine zijde de huidige stand van de bovenste veer weergeeft. De krachtvector was u lang, krijgt nu lengte:

(u²+x²). Deze kracht heeft een horizontale component over de horizontale lijn. Noem alfa.gif de hoek tussen de nieuwe Fb en x.

de resultante kracht wordt dan cos alfa.gif

(u²+x²).

cos alfa.gif is te berekenen door de aanliggende rechthoekszijde te delen door de schuine zijde:

\(F_{res b}= \frac{x}{\sqrt{u^2+x^2}}\cdot \sqrt{u^2+x^2}= x \)

Niet echt verrassend als je de schets beschouwt.

We hebben 2 van die veren, resultante kracht samen dus 2x

naar links werken dus (u+x)+2x

naar rechts nog steeds 2*(u-x)

(u+x)+2x =2*(u-x)

u + 3x = 2u-2x

5x=u

x=u/5

Dus er is evenwicht als het balletje éénvijfde deel van de oorspronkelijke uitrekking naar rechts is verschoven.

foutjes iemand? niet onmogelijk hoor!

virtlink

\(F_{res b}= \frac{x}{\sqrt{u^2+x^2}}\cdot \sqrt{u^2+x^2}= x \)

Moet die formule niet het volgende zijn?

\(F_{res b} = \frac{x}{\sqrt{u^2 + x^2}} \cdot F_b\)

Of anders, als je stelt dat bij Fb en Fo, u = F, dan:

\(F_{res b} = \frac{x}{\sqrt{u^2 + x^2}} \cdot u\)

Of zit ik nu mis?

Jan van de Velde

Ten eerste, Fb is gelijk aan u als het balletje in het midden hangt zoals injouw plaatje. Schuift het balletje een afstand x op naar rechts, dan wordt Fb volgens Pythagoras

\(\sqrt{u^2+x^2}\)

althans, dat wordt de nieuwe lengte van de veer. En ik raak er hoe langer hoe meer van overtuigd dat ik toch een beetje fout zit, want de kracht van een veer is niet evenredig met zijn lengte, maar wel met zijn uitrekking. En de hoek waronder mijn nieuwe Fb werkt is juist niet afhankelijk van de uitrekking, maar wel van de lengte van die veer...

Bedenk maar eens veren van een kilometer lengte in ontspannen toestand, die aan het balletje bevestigd zijn met een uitrekking van bijvoorbeeld 30 cm. Mijn eerste verhaal gaat nog prima voor alleen mijn rechtse en mijn linkse veer, die in dezelfde lijn werken. Maar bij de verschuiving van 10 cm die dit oplevert, gaan de bovenste en onderste veren nog nauwelijks enige invloed hebben, omdat ze op zijn best een millimetertje langer worden.

Ik denk dat we de "u" die ik overal in mijn formules gebruik moeten gaan splitsen in een ontspannen lengte en een uitrekking......

virtlink

De veren zijn al uitgerekt om het balletje in het midden te brengen. De enige ontspannen toestand die de veren kunnen krijgen is als ze zo kort mogelijk zijn (lengte oneindig klein of nul). Dus dan wordt de kracht toch wel evenredig aan de lengte groter?

Er is geen beginlengte. Dat ik het balletje in het midden heb getekend is alleen maar voor het overzicht van het probleem, maar geen startpositie.

Bitten Wolf

Ontspannen lengte lijkt mij de toestand van de veren, als er geen enkele kracht op hen uitgeoefend wordt. Bovendien zijn volgens mij geen van de veren in de beginsituatie ontspannen, dus wordt het lastig om hun "ontspannen lengte" te berekenen?

Jan van de Velde

Als we die aanname van de voorgaande twee berichten van virtlink en Bitten Wolf maken, komen we in de problemen.. Zoals ik al zei, voor de linkse en rechtse veer is er niets aan de hand. Maar denk je nou eens onderstaand plaatje in met 3 keer zo lange veren, maar eenzelfde uitrekking in cm t.o.v. hun ontspannen toestand (dus in beide gevalle dezelfde veerkracht). Geef dan het bolletje een zelfde verschuiving x naar rechts van 1 cm in het plaatje.

Afbeelding

Je ziet dan dat de bovenste en onderste veer voor dezelfde uitwijking x

1) bij dezelfde verschuiving x een geringere extra uitrekking zullen krijgen.

Dat houdt in een geringere extra kracht gaan leveren

2) en een grotere hoek maken met werklijn van de horizontale veren, wat betekent dat hun toch al kleinere extra kracht ook nog eens een kleinere resultante over die horizontale werklijn levert.

Dus denk daar maar eens even over na.

Zie je trouwens wat er gebeurt als je met nog langere veren gaat werken?

We hoeven trouwens geen lengtes te gaan berekenen, want dat kan inderdaad niet; we hoeven alleen maar een ontspannen lengte "l" te noemen, en de oorspronkelijke uitrekking "u". De lengte van de rechtse veer na een verschuiving x van het bolletje wordt dan l+u+x. De nieuwe lengte van de bovenste veer wordt dan de wortel uit {(l+u+x)²+x²} UIt het verschil met de oorspronkelijke lengte kun je dan de nieuwe kracht berekenen, en uit de nieuwe lengte en x kun je dan de resultntte hiervan over de horizontale werklijn bepalen.

Nu geen tijd meer. Denk er maar eens even over na.....

virtlink

Jan van de Velde schreef:We hoeven trouwens geen lengtes te gaan berekenen, want dat kan inderdaad niet; we hoeven alleen maar een ontspannen lengte "l" te noemen, en de oorspronkelijke uitrekking "u". De lengte van de rechtse veer na een verschuiving x van het bolletje wordt dan l+u+x. De nieuwe lengte van de bovenste veer wordt dan de wortel uit {(l+u+x)²+x²} UIt het verschil met de oorspronkelijke lengte kun je dan de nieuwe kracht berekenen, en uit de nieuwe lengte en x kun je dan de resultntte hiervan over de horizontale werklijn bepalen.

Nu geen tijd meer. Denk er maar eens even over na.....

Maar als de lengte van de bovenste veer \(\sqrt{(l+u+x)^2 + x^2}\) is, dan zeg je toch eigenlijk dat het kruispunt x naar beneden is gegaan voor de bovenste veer (\(l+u+x\))? En hij is niet naar beneden gegaan lijkt me.

En verder, kan je toch zeker aannemen dat \(l = 0\), en dan komt de gehele berekening weer overeen met wat je eerder opgaf.

Jan van de Velde

En verder, kan je toch zeker aannemen dat , en dan komt de gehele berekening weer overeen met wat je eerder opgaf.

Als je die aanname doet, dan is mijn eerdere formule volgens mij correct. Maar veren met een ontspannen lengte 0 bestaan niet in de echte wereld. En er moet volgens mij prima een formule op te stellen zijn voor "echtewereld"-veren.

virtlink

Oke, samenvattend:

Stel, de kracht van de veer is recht evenredig met zijn lengte, en de beginlengte is lengte \(u\), en de kracht in een veer is dan \(F = (u + x) \cdot c\)

(waar \(x\) het verschil in lengte is met de oorspronkelijke lengte, en \(c\) is hoe sterk de veer is, dus voor \(F_b\), \(F_o\) en \(F_l\) is dat 1, en voor \(F_r\) is dat 2).

De kracht die op het knooppunt werkt horizontaal is naar links:

\((u + x) \cdot 1\)

En naar rechts:

\((u - x) \cdot 2\)

Dus:

\(u + x = 2(u - x)\)

\(3x = u\)

\(x = u \div 3\)

De horizontale kracht die door \(F_b\) ontstaat op het knooppunt is de horizontale component van de schuine kracht, welke gelijk is aan de lengte \(u + x\) maal hoe sterk de veer is (met \(c_b = 1\)).

\(F_{bh} = \frac{x}{\sqrt{u^2 + x^2}} \cdot \sqrt{u^2 + x^2} \cdot 1 = x\)

Naar links werkt dan:

\(u + 3x\)

En naar rechts: (dan haal je die krachten uit \(F_b\) en \(F_o\) er niet ook nog af, toch?)

\(2u - 2x\)

Dus:

\(u + 3x = 2u - 2x\)

\(x = \frac{u}{5}\)

En voor een andere situatie met een andere combinatie van veren, en krachten en richtingen waarop ze op het kruispunt werken, kan je dan gewoon alle krachten ontbinden in hun componenten en die aan elkaar gelijkstellen?

Afbeelding

In deze situatie wordt door de horizontale verplaatsing, de kracht in een springveer:

\(\frac{x_h}{\sqrt{u^2 + x_h^2}} \cdot \sqrt{u^2 + x_h^2} \cdot c\)

En verticaal:

\(\frac{x_v}{\sqrt{u^2 + x_v^2}} \cdot \sqrt{u^2 + x_v^2} \cdot c\)

En dan voor deze drie veren is dat horizontaal (met alfa.gif = 45 graden): (Alle drie de formules aan elkaar gelijk gesteld.)

\(\frac{x_h}{\sqrt{u_l^2 + x_h^2}} \cdot \sqrt{u_l^2 + x_h^2} \cdot c_l \hookleftarrow\)

\(= \frac{x_h}{\sqrt{u_b^2 + x_h^2}} \cdot \sqrt{u_b^2 + x_h^2} \cdot c_b \hookleftarrow\)

\(= \sqrt{((\cos{\alpha} \cdot u_s) - x_h)^2 + (\sin{\alpha} \cdot u_s)^2} \cdot c_s\)

Dus en verticaal:

\(\frac{x_v}{\sqrt{u_l^2 + x_v^2}} \cdot \sqrt{u_l^2 + x_v^2} \cdot c_l \hookleftarrow\)

\(= \frac{x_v}{\sqrt{u_b^2 + x_v^2}} \cdot \sqrt{u_b^2 + x_v^2} \cdot c_b \hookleftarrow\)

\(= \sqrt{(\cos{\alpha} \cdot u_s)^2 + ((\sin{\alpha} \cdot u_s) - x_v)^2} \cdot c_s\)

Kan dit kloppen?

Jan van de Velde

virtlink schreef:Naar links werkt dan:

\(u + 3x\)
En naar rechts: (dan haal je die krachten uit \(F_b\) en \(F_o\) er niet ook nog af, toch?)

\(2u - 2x\)
Dus:

\(u + 3x = 2u - 2x\)

\(x = \frac{u}{5}\)

Je door mij blauw gemaakte vraag snap ik niet helemaal. Die twee krachten zitten in

\(u + 3x\)

verwerkt, waar je eigenlijk moet lezen

\((u + x)+x+x\)

, het optelsommetje van Fl en de horizontale resultanten van Fb resp. Fo.

En zet er in je voorwaarden bij wat ik hieronder blauw gemaakt heb:

virtlink schreef:Stel, de kracht van de veer is recht evenredig met zijn lengte, (dat wil zegen de ontspannen lengte is 0 en de lengte is dus altijd gelijk aan zijn uitrekking,) en de beginlengte is lengte \(u\), en de kracht in een veer is dan \(F = (u + x) \cdot c\)

(waar \(x\) het verschil in lengte is met de oorspronkelijke lengte, en \(c\) is hoe sterk de veer is, dus voor \(F_b\), \(F_o\) en \(F_l\) is dat 1, en voor \(F_r\) is dat 2).

De rest van je verhaal ga ik eerst eens rustig op studeren.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[Mechanica] Stoppunt van balletje aan springveren

[Mechanica] Stoppunt van balletje aan springveren

Re: [Mechanica] Stoppunt van balletje aan springveren

Re: [Mechanica] Stoppunt van balletje aan springveren

Re: [Mechanica] Stoppunt van balletje aan springveren

Re: [Mechanica] Stoppunt van balletje aan springveren

Re: [Mechanica] Stoppunt van balletje aan springveren

Re: [Mechanica] Stoppunt van balletje aan springveren

Re: [Mechanica] Stoppunt van balletje aan springveren

Re: [Mechanica] Stoppunt van balletje aan springveren

Re: [Mechanica] Stoppunt van balletje aan springveren

Re: [Mechanica] Stoppunt van balletje aan springveren

Re: [Mechanica] Stoppunt van balletje aan springveren

Re: [Mechanica] Stoppunt van balletje aan springveren

Re: [Mechanica] Stoppunt van balletje aan springveren

Re: [Mechanica] Stoppunt van balletje aan springveren