Convergentie van reeksen.

Bert F

Hallo,

Waarom convergeert

\(\frac{1}{x}\)

niet en

\(\frac{1}{x^2}\)

wel?

Met convergeren bedoelen we toch dat de partitieele sommen een getal waarden naderen of niet wel dit is toch het geval bij de eerste waarom convergeert die dan niet?

Ps het gaat tweemaal om een reeks.

Groeten. Dank bj voorbaat.

TD

De eerste is de harmonische reeks en die divergeert inderdaad. Dit kan je gemakkelijk nagaan met het integraalkenmerk, of intuïtiever door middel van termsgewijs groeperen die dan allemaal 1/2 geven. Voor een reeks van 1/x^a (1 tot oneindig) zal je convergentie hebben van zodra a > 1, 1/x² convergeert.

evilbu

voor rijen gebruik je beter

\( \frac{1}{n^2} \)

x doet denken aan functies eerder

maar dit terzijde : grofweg kan je het zo zien, dat allemaal sommeren komt overeen met het integreren van de functieds

\(\frac{1}{x}\)

en

\( \frac{1}{x^2}\)

van 1 tot

\(+\infty\)

als je nu de primitieven bekijkt zal je onmiddelijk wat het verschil is

als je echt een keurig bewijs wilt waarom het niet gaat, vraag maar (het is natuurlijk exact die integraal ,maar ze stijgen 'even snel', dat is het idee)

TD

Misschien nog een toevoeging omdat je je dus afvroeg waarom de ene niet en de andere wel. Zoals je wel weet is een nodige voorwaarde dat de limiet van de rij (de algemene term) naar 0 gaat. Dit is echter geen voldoende voorwaarde, zowel 1/x als 1/x² gaan naar 0 als je x naar

laat gaan.

De convergentie zit dus in de 'snelheid' waarmee die algemene term naar 0 gaat. Bij 1/x gaat dit trager (1,1/2,1/3,1/4, de 4e term is bijvoorbeeld 0.25) dan bij 1/x² (1,1/4,1/9,1/16, de 4e term is nog maar 0.0625). Het volstaat dus niet dat de rij naar 0 gaat, voor convergentie moet je 'snel genoeg' naar 0 gaan.

Bert F

ik begrijp jullie en weet ook dat ik dat kan nakijken met het integraal kenmerk je krijgt dan ln x en dat divergeert.

Maar als je 1/x zou tekenen dan heb je zo ergens een gevoel van begrensing of convergeren begrijp je ? is er dan een verschil tussen een functie en een rij?

Groeten.

Andy

als ge gewoon 1/x bekijkt convergeert ie inderdaad. maar als ge

\(\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{x}\)

bekijkt, convergeert ie niet omdat ge de SOM van al die termen neemt... ge moet dus eigenlijk

\(\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{x}\)

tekenen ipv eenvoudigweg

\(\frac{1}{x}\)

om gevoel te hebben van convergentie van de REEKS.

de RIJ convergeert wel, maar zoals hierboven reeds vermeld is dit geen voldoende voorwaarde voor convergentie van de REEKS

eenvoudig kan je heb zo stellen

Code: Selecteer alles

discreet    continu

---------    --------

rij            functie

reeks       primitieve van de functie (op oneindig)

dus als ge primitieve neemt van 1/x weet ge da ze divergeert, dus normaalgezien (denk ik,mss achterpoortje ergens voor algemeen geval) toont dit aan dat als ge x geheel neemt ge ook naar oneindig convergeert

Bert F

ik begrijp wel dat je bv door het integraal kenmerk kan zien dat 1/x niet convergeert maar anderzijds weet ik wel meer intinuitief dat als ik x laat lopen van 1 tot oneindig ik maar een beperkte som ga krijgen is dit dan geen convergentie?

Groeten.

EvilBro

maar anderzijds weet ik wel meer intinuitief dat als ik x laat lopen van 1 tot oneindig ik maar een beperkte som ga krijgen

Dit is niet juist. De limiet van de volgende som is niet 'beperkt':

\(\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = \infty\)

Immers:

\(\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \ldots > (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} + (\frac{1}{4} + \frac{1}{4}) + (\frac{1}{8} + \ldots = (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} + (\frac{1}{2}) + (\frac{1}{2}) + \ldots\)

De meest rechter term gaat naar oneindig. De meest linker term is groter dan de meest rechter term, dus gaat deze ook naar oneindig.

Conclusie: Het is niet voldoende dat \(a_k\) naar nul gaat om te kijken of de som \(\sum_{k=1}^{\infty}a_k\) convergeert.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Convergentie van reeksen.

Convergentie van reeksen.

Re: Convergentie van reeksen.

Re: Convergentie van reeksen.

Re: Convergentie van reeksen.

Re: Convergentie van reeksen.

Re: Convergentie van reeksen.

Re: Convergentie van reeksen.

Re: Convergentie van reeksen.