Springen naar inhoud

[Wiskunde] Parabolen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

dreamz

    dreamz


  • >100 berichten
  • 108 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 maart 2006 - 17:36

Vraag1:
Uit een punt D(x1,y1) trekken we twee raaklijnen (t1 en t2) aan de parabool y=2px.
Voor welke stand van D is t1 loodrecht op t2?

Ik vind eigenlijk geen manier om eraan te beginnen. De rico van t1=p/y1 en de rico van t2 moet dan (-1/2)(p/y1) zijn. Maar ik heb geen idee wat te zoeken eigenlijk.

Vraag2:
Gegeven is de parabool y=2px, punt Q(-2p,0), punt P(2p(griekse lambda),0) Het punt P is een willekeurig punt op de positieve x-as. De cirkel die QP als middellijn heeft, snijdt de positieve y-as in het punt S(...,0)
Toon aan dat de rechte door S, evenwijdig met x-as, en de rechte door P, evenwijdig met de y-as, elkaar snijden op de parabool.

Ik heb het volgende:
Afstand(QP)=2p+2pL (L=lambda)
=2p(1+L)

De straal van de cirkel is dan p(1+L)

De coordinaten van het punt S bereken ik door de rechthoekige driehoek: Oorsprong, S en P
Afstand(OS)=(Afstand punt P-Afstand Middelpunt cirkel) - (straal)
Na uitwerken bekom ik
OS=8pL(L-1)
Correct?

Maar wat nu, als ik deze y-coordinaat en de x-coordinaat (2pL) invul in y=2px dan bekom ik x=3p niet veel ophelderends volgens mij, enige hulp hoe ik het zou kunnen aantonen?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Rov

    Rov


  • >1k berichten
  • 2242 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 maart 2006 - 18:01

Wat is nu precies de vergelijking van je parabool? Zet hem eens in y=ax+bx+c vorm? Zonder dat kan ik je niet (proberen) te helpen.

Weet dat als 2 rechten loodrecht op elkaar staan het product van hun ricos -1 is en dat de rico van een raaklijn gelijk is een de afgeleide in dat punt.

#3

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 25 maart 2006 - 18:23

Vraag1:
Uit een punt D(x1,y1) trekken we twee raaklijnen (t1 en t2) aan de parabool y=2px.
Voor welke stand van D is t1 loodrecht op t2?

Ik vind eigenlijk geen manier om eraan te beginnen. De rico van t1=p/y1 en de rico van t2 moet dan (-1/2)(p/y1) zijn. Maar ik heb geen idee wat te zoeken eigenlijk.


de rico van t2 moet dan (-1/2)(p/y1) zijn. dit is niet correct.
We hebben: y1*y=1/2*p(x-x1) dus rc t1 is 1/2*p/y1 => rc t2 -2y1/p.
Bepaal de verg van de lijnen door D met deze rc'en. En dan ...

#4

dreamz

    dreamz


  • >100 berichten
  • 108 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 maart 2006 - 18:44

de rico van t2 moet dan (-1/2)(p/y1) zijn. dit is niet correct.
We hebben: y1*y=1/2*p(x-x1) dus rc t1 is 1/2*p/y1 => rc t2 -2y1/p.
Bepaal de verg van de lijnen door D met deze rc'en. En dan ...


Heb ik zojuist ook ontdekt, het is dus -1/rico vd raaklijn

y=2px

y=+sqrt(2px)
y=-sqrt(2px)

#5

dreamz

    dreamz


  • >100 berichten
  • 108 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 maart 2006 - 20:21

De oplossing op vraag 1 is ondertussen binnen (was een domme fout eigenlijk) maar graag had ik wat hulp met de tweede, al zal je waarschijnlijk wel een tekening moeten maken.

Toch alvast bedankt

#6

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 26 maart 2006 - 16:44

Wat heb je als opl van vraag 1?
Want naar mijn idee ging het toch fout.

Vraag 2 is misschien eenvoudiger. Voor lambda neem ik t.
Allereerst: het geg dat P op de pos x-as ligt betekent p>0.
Neem M middelpnt cirkel xM=2pt-(p+pt)=pt-p
cirkelverg: (x-pt+p)+y=(pt+p) snijden met de y-as dus x=0 geeft:
y=(pt+p)-(pt-p)=4pt => yS=2pt met p>0 en t>0.
Dus het punt T(xP,yS)=T(2pt,2pt) voldoet aan de verg van de par y=2px,
hetgeen gevraagd werd.

Opm: in de tekst moet S(...,0) natuurlijk S(0,...) zijn!

#7

oktagon

    oktagon


  • >1k berichten
  • 4502 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 26 maart 2006 - 17:21

Een antwoord van iemand die vroeger ook "hogere wiskunde" werd bijgebracht:

Een parabool: y=2px ofwel y =(2px)^0.5

Een raaklijn in een willekeurig punt van die parabool is de eerste afgeleide van y ofwel y'=0,5*(2px)^-0.5 en dat is de tangens van de raaklijnhoek.
Probeer nu een tangens te ontwikkelen met een hoek die 90 graden groter is.

Is dit geen basis om verder te werken?

#8

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 27 maart 2006 - 11:34

Vraag1:
Uit een punt D(x1,y1) trekken we twee raaklijnen (t1 en t2) aan de parabool y=2px.
Voor welke stand van D is t1 loodrecht op t2?

Ik vind eigenlijk geen manier om eraan te beginnen. De rico van t1=p/y1 en de rico van t2 moet dan (-1/2)(p/y1) zijn. Maar ik heb geen idee wat te zoeken eigenlijk.


de rico van t2 moet dan (-1/2)(p/y1) zijn. dit is niet correct.
We hebben: y1*y=1/2*p(x-x1) dus rc t1 is 1/2*p/y1 => rc t2 -2y1/p.
Bepaal de verg van de lijnen door D met deze rc'en. En dan ...


Het bovenstaande (van mij) is niet correct.
De verg y1*y=p(x+x1) is geen raaklijn maar de poollijn plD van de pool D(x1,y1) tov de par y=2px. (als D op de par ligt is het wel een raaklijn)
De raakptn moeten bepaald worden door het stelsel plD en de par.
Dan kunnen de raakl bepaald worden (of liever de rc's van t1 en t2) enz ...

#9

oktagon

    oktagon


  • >1k berichten
  • 4502 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 27 maart 2006 - 12:50

Nav.de parabool y=2px:

De raaklijn op een willekeurig punt is de afgeleide van y ofwel y' ofwel de tangens van de hoek die de raaklijn vormt met de x-as.

Stelt de tweede afgeleide van y dus de y'' de richtlijn op dat punt voor ofwel de ctg van de hoek die de raaklijn vormt met de x-as.?

Wat is de functie van de derde afgeleide van y ofwel y''' ?

En ga zo door met verdere afgeleiden,welke functies hebben die wel?

#10

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 27 maart 2006 - 20:43

@oktagon
y'' heeft te maken met de kromming van de grafiek. Ga dat maar eens na met (bv) y=x en y=-x.
y''' en verdere afgeleiden hebben (bij mijn weten) geen meetkundige betekenis.

#11

oktagon

    oktagon


  • >1k berichten
  • 4502 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 28 maart 2006 - 15:01

Bedankt Safe,zal het proberen!
Zal dus verband houden met buigpunten van krommen,convexe of concave!

#12

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 28 maart 2006 - 16:03

Dreamz, geen interesse meer?
Ik nog wel in je opl van (a)!

#13

oktagon

    oktagon


  • >1k berichten
  • 4502 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 28 maart 2006 - 16:48

Tav.Dreamz:
Heb je het punt D van je eerste vraag inzake beide raaklijnen al gevonden,daar ben ik benieuwd naar;werkte mijn "kunstje" met eerste afgeleiden van twee raakpunten,waarvan de ene dus een hoek Alpha maakt met de x-as en de andere een hoek van Alpha + 90 .





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures