1) Hoe kan je met een berekening laten zien dat voor het deel van
[Wiskunde] parametervoorstelling
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 45
[Wiskunde] parametervoorstelling
In onderstaand afbeelding is een figuur
1) Hoe kan je met een berekening laten zien dat voor het deel van
\(L\)
getekend met parametervoorstelling: \(\left{ \begin{array}{ccc} x & = & \sin t y & = & \sin 2t \end{array} \right.\)
1) Hoe kan je met een berekening laten zien dat voor het deel van
\(L\)
dat in het eerste kwadrant \((x \geq 0; y \geq 0)\)
ligt geldt:\(y = 2 \cdot x \cdot \sqrt{(1 - x^2)}\)
- Berichten: 24.578
Re: [Wiskunde] parametervoorstelling
Als je van die oplossing mag uitgaan moet je de parametervoorstelling voor x en y er gewoon in substitueren en vereenvoudigen om te zien dat het klopt. Je kan de vergelijking echter ook afleiden uit de parametervoorstelling door elminatie van de parameter t.
We hebben dat
We hebben dat
\(x = \sin t \Leftrightarrow t = \arcsin x\)
, dus:\(\begin{array}{l} y = \sin 2t = 2\sin t\cos t = 2\sin t\sqrt {1 - \sin ^2 t} \to 2\sin \left( {\arcsin x} \right)\sqrt {1 - \sin ^2 \left( {\arcsin x} \right)} = 2x\sqrt {1 - x^2 } \end{array}\)
-
- Berichten: 45
Re: [Wiskunde] parametervoorstelling
Wat is
Bedoel je met substiueren en vereenvoudigen mee dat je dat beide functies bijelkaar zet zodat je uiteindelij
\(\arcsin\)
? Ik heb dat nooit van gehoord.Bedoel je met substiueren en vereenvoudigen mee dat je dat beide functies bijelkaar zet zodat je uiteindelij
\( y = x \)
krijgt (dus eigenlijk x in de functie van y, zoiets)?- Berichten: 24.578
Re: [Wiskunde] parametervoorstelling
Dat is de inverse functie, ook wel bgsin genaamd.Wat is\(\arcsin\)? Ik heb dat nooit van gehoord.
Dat is het elmineren van de parameter ja, de t doen verdwijnen.Bedoel je met substiueren en vereenvoudigen mee dat je dat beide functies bijelkaar zet zodat je uiteindelij\( y = x \)krijgt (dus eigenlijk x in de functie van y, zoiets)?
Methode zonder de inverse sinus:
\(\left{ \begin{array}{l} x = \sin t y = \sin 2t = 2\sin t\cos t \Leftrightarrow y/2 = \sin t\cos t \end{array} \right.\)
Beide leden kwadrateren en optellen:\(x^2 + \frac{{y^2 }}{4} = \sin ^2 t + \sin ^2 t\cos ^2 t \Leftrightarrow x^2 + \frac{{y^2 }}{4} = \sin ^2 t\left( {1 + \cos ^2 t} \right) \Leftrightarrow x^2 + \frac{{y^2 }}{4} = \sin ^4 t\)
Maar vermits \(x = \sin t \Rightarrow x^4 = \sin ^4 t\):\(x^2 + \frac{{y^2 }}{4} = x^4 \Leftrightarrow \frac{{y^2 }}{4} = x^4 - x^2 \Leftrightarrow y^2 = 4x^2 \left( {x^2 - 1} \right) \Leftrightarrow y = 2\left| x \right|\sqrt {\left( {x^2 - 1} \right)} \)
-
- Berichten: 45
Re: [Wiskunde] parametervoorstelling
Ok... is leden kwadrateren en vervolgens optellen behorend bij de basismethode? Eerlijk gezegd heb ik dit geweldige berekening nog nooit gezien. Is dit de enige oplossing?
Dit moet je mij ff uitleggen, je doet beide kanten met 4 vermenigvuldigen? maar hoe krijg je\(\frac{{y^2 }}{4} = x^4 - x^2 \Leftrightarrow y^2 = 4x^2 \left( {x^2 - 1} \right)\)
\(4x^2\)
?- Berichten: 24.578
Re: [Wiskunde] parametervoorstelling
Geen idee, wat is de 'basismethode'...Ok... is leden kwadrateren en vervolgens optellen behorend bij de basismethode? Eerlijk gezegd heb ik dit geweldige berekening nog nooit gezien. Is dit de enige oplossing?
Buiten haakjes brengen van de gemeeschappelijke factor x².Dit moet je mij ff uitleggen, je doet beide kanten met 4 vermenigvuldigen? maar hoe krijg je\(\frac{{y^2 }}{4} = x^4 - x^2 \Leftrightarrow y^2 = 4x^2 \left( {x^2 - 1} \right)\)\(4x^2\)?
-
- Berichten: 45
Re: [Wiskunde] parametervoorstelling
Wat bedoelen ze eigenlijk met het eerste kwadrant?
En kan je me uitleggen hoe je de exacte opervlakte berekent van het gebied dat door de kromme
En kan je me uitleggen hoe je de exacte opervlakte berekent van het gebied dat door de kromme
\(L\)
wordt ingesloten?- Berichten: 24.578
Re: [Wiskunde] parametervoorstelling
Het kwart van het vlak waarvoor x > 0 en y > 0. Rechtsboven dus.Wat bedoelen ze eigenlijk met het eerste kwadrant?
Dat kan bijvoorbeeld via de formuleEn kan je me uitleggen hoe je de exacte opervlakte berekent van het gebied dat door de kromme\(L\)wordt ingesloten?
\(\int\limits_a^b {xdy - ydx} \)
Hierin zijn zowel x als y geparametreerd in t. De volledige curve doorloop je met t van 0 tot 2pi, voor enkel het eerste kwadrant laat je t lopen van 0 tot pi/2.-
- Berichten: 45
Re: [Wiskunde] parametervoorstelling
Maar als ik de formuleHet kwart van het vlak waarvoor x > 0 en y > 0. Rechtsboven dus.
\( y = 2\left| x \right|\sqrt {\left( {x^2 - 1} \right)} \)
plot, krijg ik niets te zien.Klopt jouw formule met
\( y = 2 \cdot x \cdot \sqrt {\left( {1 - x^2} \right)} \)
? Want er zit toch wat verschil tussen \(x^2 - 1\)
en \(1 - x^2\)
?Overigens met basismethode bedoelde ik met VWO niveau de x en y functies samenvoegen tot y = x.
Want jouw formule kan wel goed zijn, maar ik snap 'em niet
Ik heb namelijk nog nooit met de beide leden kwadrateren en optellen gewerkt.
Ik snap 'em tot
\(\left{ \begin{array}{l} x = \sin t y = \sin 2t = 2\sin t\cos t \end{array} \right.\)
Zelf het ik iets anders, wat fout kan zijn, maar dit de methode:\(\left{ \begin{array}{l} x = \sin t y = \sin 2t = 2\sin t\cos t \end{array} \right.\)
Ik begin dan met:\(y = \sin 2t = 2\sin t\cos t \)
Dan alles kwadrateren (kan fout zijn)\(y^2 = 4\sin^2t \cdot \cos^2t \)
Dan \(\cos^2t \)
schrijven in \(1-\sin^2t\)
\(y^2 = 4\sin^2t \cdot 1-\sin^2t \)
Dan alles wortel trekken\(y = 2\sin t \cdot \sqrt{1-\sin^2t}\)
Dan is \(x = \sin t\)
toepassen\(y = 2 \cdot x \cdot \sqrt{1-x^2}\)
Zoiets ongeveer is mijn idee, maar weet niet of het goed of fout is.En daarna moet ie gelden voor alleen x > 0 en y > 0, maar hoe doe ik dat? Want als ik die formule plot, krijg ik 1e en 3e kwandrant (dus linksonder en rechtsboven).
Heb je ook nog een andere formule, ik ken die formule vaagjes, is dat hetzelfde als de integraal van de formule van iets (??) tussen de grenzen a en b?TD! schreef:Dat kan bijvoorbeeld via de formule
\(\int\limits_a^b {xdy - ydx} \)Hierin zijn zowel x als y geparametreerd in t. De volledige curve doorloop je met t van 0 tot 2pi, voor enkel het eerste kwadrant laat je t lopen van 0 tot pi/2.
- Berichten: 24.578
Re: [Wiskunde] parametervoorstelling
Dat ziet er goed uit. Je krijgt inderdaad maar de helft van de curve (deze is geldig, niet enkel voor x,y > 0 maar ook voor x,y < 0, kwadrant 1 en 3 dus inderdaad). De andere helft ben je 'verloren' toen je de wortel trok, uit dat kwadraat volgt namelijk ook de negatieve wortel en die gaat precies het stuk uit het 2e en 4e kwadrant geven.jimmyfoxe87 schreef:Zelf het ik iets anders, wat fout kan zijn, maar dit de methode:
\(\left{ \begin{array}{l} x = \sin t y = \sin 2t = 2\sin t\cos t \end{array} \right.\)Ik begin dan met:
\(y = \sin 2t = 2\sin t\cos t \)Dan alles kwadrateren (kan fout zijn)
\(y^2 = 4\sin^2t \cdot \cos^2t \)Dan\(\cos^2t \)schrijven in\(1-\sin^2t\)\(y^2 = 4\sin^2t \cdot 1-\sin^2t \)Dan alles wortel trekken
\(y = 2\sin t \cdot \sqrt{1-\sin^2t}\)Dan is\(x = \sin t\)toepassen
\(y = 2 \cdot x \cdot \sqrt{1-x^2}\)Zoiets ongeveer is mijn idee, maar weet niet of het goed of fout is.
En daarna moet ie gelden voor alleen x > 0 en y > 0, maar hoe doe ik dat? Want als ik die formule plot, krijg ik 1e en 3e kwandrant (dus linksonder en rechtsboven).
Die formule is erg handig als je de kromme in parametervoorstelling hebt. Als je deze niet kent of niet mag gebruiken kan je natuurlijk nog altijd de oppervlakte bepalen op de 'gewone' manier, namelijk door f(x) te integreren tussen de gewenste grenzen. In dit geval, voor het 1e kwadrant:jimmyfoxe87 schreef:Heb je ook nog een andere formule, ik ken die formule vaagjes, is dat hetzelfde als de integraal van de formule van iets (??) tussen de grenzen a en b?TD! schreef:Dat kan bijvoorbeeld via de formule
\(\int\limits_a^b {xdy - ydx} \)Hierin zijn zowel x als y geparametreerd in t. De volledige curve doorloop je met t van 0 tot 2pi, voor enkel het eerste kwadrant laat je t lopen van 0 tot pi/2.
\(\int\limits_0^1 {2x\sqrt {1 - x^2 } } dx = \int\limits_0^1 {\sqrt {1 - x^2 } } d\left( {x^2 } \right) = \left[ { - \frac{2}{3}\left( {1 - t} \right)^{\frac{3}{2}} } \right]_0^1 = \frac{2}{3}\)
-
- Berichten: 45
Re: [Wiskunde] parametervoorstelling
Dus hij is goed, maar hij geldt niet alleen voor 1e kwadrant wat juist de vraag is. Hoe zorg ik ervoor dat ie alleen voor 1e kwadrant geldt (of gaat het hierbij om dat je die formule kan aantonen en niet dat ie wel of niet voor iets geldt?).Dat ziet er goed uit. Je krijgt inderdaad maar de helft van de curve (deze is geldig, niet enkel voor x,y > 0 maar ook voor x,y < 0, kwadrant 1 en 3 dus inderdaad). De andere helft ben je 'verloren' toen je de wortel trok, uit dat kwadraat volgt namelijk ook de negatieve wortel en die gaat precies het stuk uit het 2e en 4e kwadrant geven.
Ik vrees dat ik met die formule van jou niet kan gebruiken (weet niet of ik het mag gebruiken, maar aangezien ik het niet ken, zal het vast niet mogen).Die formule is erg handig als je de kromme in parametervoorstelling hebt.
Dus je krijgt hier als\(\int\limits_0^1 {2x\sqrt {1 - x^2 } } dx = \int\limits_0^1 {\sqrt {1 - x^2 } } d\left( {x^2 } \right) = \left[ { - \frac{2}{3}\left( {1 - t} \right)^{\frac{3}{2}} } \right]_0^1 = \frac{2}{3}\)
\(0 - \left[ { - \frac{2}{3}\left( {1 - 1} \right)^{\frac{3}{2}} } \right]_0^1 = \frac{2}{3}\)
?- Berichten: 24.578
Re: [Wiskunde] parametervoorstelling
Ik denk dat dit volstaat. Waarschijnlijk doelen ze op het feit dat je de hele curve nooit in één voorschrift kan krijgen en dat ze vragen degene op te stellen die in het eerste kwadrant geldt. "Toevallig", geldt deze ook voor het derde kwadrant maar dat is geen probleem.Dus hij is goed, maar hij geldt niet alleen voor 1e kwadrant wat juist de vraag is. Hoe zorg ik ervoor dat ie alleen voor 1e kwadrant geldt (of gaat het hierbij om dat je die formule kan aantonen en niet dat ie wel of niet voor iets geldt?).
Je resultaat klopt maar wat er voor staat niet (1-1 ipv 1-0), dus:Dus je krijgt hier als\(0 - \left[ { - \frac{2}{3}\left( {1 - 1} \right)^{\frac{3}{2}} } \right]_0^1 = \frac{2}{3}\)?
\(\left[ { - \frac{2}{3}\left( {1 - t} \right)^{\frac{3}{2}} } \right]_0^1 = \left( { - \frac{2}{3}\left( {1 - 1} \right)^{\frac{3}{2}} } \right) - \left( { - \frac{2}{3}\left( {1 - 0} \right)^{\frac{3}{2}} } \right) = 0 - \left( { - \frac{2}{3}} \right) = \frac{2}{3}\)
Met de andere formule die ik gaf kom je trouwens op hetzelfde, het klopt.-
- Berichten: 45
Re: [Wiskunde] parametervoorstelling
Ohja.. schoonheidsfoutjesTD! schreef:Je resultaat klopt maar wat er voor staat niet (1-1 ipv 1-0), dus:
\(\left[ { - \frac{2}{3}\left( {1 - t} \right)^{\frac{3}{2}} } \right]_0^1 = \left( { - \frac{2}{3}\left( {1 - 1} \right)^{\frac{3}{2}} } \right) - \left( { - \frac{2}{3}\left( {1 - 0} \right)^{\frac{3}{2}} } \right) = 0 - \left( { - \frac{2}{3}} \right) = \frac{2}{3}\)Met de andere formule die ik gaf kom je trouwens op hetzelfde, het klopt.
Met het antwoord
\(\frac{2}{3}\)
moet er vervolgens met 4 vermeningvuldigd worden toch? Want \(\frac{2}{3}\)
is maar 1 kwadrant.Dus exact berekend is de oppervlakte van de kromme
\(L\)
: \(2 \frac{2}{3}\)
- Berichten: 24.578
Re: [Wiskunde] parametervoorstelling
Je moet vermenigvuldigen met 4, dus 8/3.
-
- Berichten: 45
Re: [Wiskunde] parametervoorstelling
En als je 8/3 vereenvoudigd (of hoeft dat niet?) krijg je toch
\(2 \frac{2}{3}\)
of hoeft dat niet?