Springen naar inhoud

Repeterende decimalen en breuken en een bekend bewijs


  • Log in om te kunnen reageren

#1

bart_kl

    bart_kl


  • 0 - 25 berichten
  • 9 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 02 augustus 2004 - 13:23

1/3 = 0,333... (deze reeks repeteert door tot een oneindig aantal 3's)
3 * 1/3 = 1
3 * 0,333... = 0,999.... (deze reeks repeteert door tot een oneindig aantal 9's)
Hieruit volgt:
0,999... = 1

Eerst wil ik even kwijt dat ik het feit dat 1/3 = 0,333... even merkwaardig vind als het feit dat 0,999... = 1.
Als het eerste waar is, verbaast het tweede me niet. Maar dat is het hem nu juist. Kan iemand me misschien heel duidelijk uitleggen waarom een oneindig aantal 3's achter de komma gelijk is aan 1/3?
Is het zo dat dit niet voorstelbaar is omdat 'oneindig' geen getal is en dus niet vatbaar is voor ons brein?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Elmo

    Elmo


  • >1k berichten
  • 3437 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 augustus 2004 - 13:35

1/3 = 0,333... (deze reeks repeteert door tot een oneindig aantal 3's)
3 * 1/3 = 1
3 * 0,333... = 0,999.... (deze reeks repeteert door tot een oneindig aantal 9's)
Hieruit volgt:
0,999... = 1


Zo moet je het niet zien!

0.999... (oneindig veel negens) moet gelijk zijn (*) aan 1 in ons getallenstelsel. Dat betekent dus we voor 1 overal 0.999... mogen schrijven. Als je nu wil weten van de decimale ontwikkeling van 1/3 is, dan is deze dus gelijk aan 0.999.../3 = 0.333...



(*) Dit moet zo zijn. Schets van het bewijs: Stel dat er een getal zit tussen 0.999.... en 1. Dan kan ik een y=(1+0.999...)/2 vinden welke voldoet aan 0.999... < y < 1. Dit is in strijd met de oorspronkelijke aanname dat 0.999... het getal is dat het het dichtste bij 1 zit. Dus moeten we aannemen dat het getal y niet bestaat en dus dat 0.999... = 1.
Never underestimate the predictability of stupidity...

#3

Bio

    Bio


  • >100 berichten
  • 159 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 augustus 2004 - 13:42

Ik ben absoluut geen wiskundige, integendeel...

Maar ik heb ooit iets gehoord over een wiskundige theorie, die bewees dat 1+1 nooit 2 kon zijn of zo? Heeft dat hiermee te maken??? :shock:

#4

Elmo

    Elmo


  • >1k berichten
  • 3437 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 augustus 2004 - 13:46

Ik ben absoluut geen wiskundige, integendeel...

Maar ik heb ooit iets gehoord over een wiskundige theorie, die bewees dat 1+1 nooit 2 kon zijn of zo? Heeft dat hiermee te maken??? :shock:


Ieeeks! Als we op die toer gaan, dan gaan we hier verder...
Never underestimate the predictability of stupidity...

#5

bart_kl

    bart_kl


  • 0 - 25 berichten
  • 9 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 02 augustus 2004 - 13:48

1/3 = 0,333... (deze reeks repeteert door tot een oneindig aantal 3's)
3 * 1/3 = 1
3 * 0,333... = 0,999.... (deze reeks repeteert door tot een oneindig aantal 9's)
Hieruit volgt:
0,999... = 1


Zo moet je het niet zien!

0.999... (oneindig veel negens) moet gelijk zijn (*) aan 1 in ons getallenstelsel. Dat betekent dus we voor 1 overal 0.999... mogen schrijven. Als je nu wil weten van de decimale ontwikkeling van 1/3 is, dan is deze dus gelijk aan 0.999.../3 = 0.333...



(*) Dit moet zo zijn. Schets van het bewijs: Stel dat er een getal zit tussen 0.999.... en 1. Dan kan ik een y=(1+0.999...)/2 vinden welke voldoet aan 0.999... < y < 1. Dit is in strijd met de oorspronkelijke aanname dat 0.999... het getal is dat het het dichtste bij 1 zit. Dus moeten we aannemen dat het getal y niet bestaat en dus dat 0.999... = 1.


Bedankt! Dit is precies wat ik zocht, dat bewijs dat je gaf.
Toch blijft het raar. Het bewijsje gaat er van uit dat het dichtstbijzijnde getal van 1, gelijk is aan 1. Of zie ik dat verkeerd?
Ik bedoel: 0,999... is het dichste getal bij 1, dus 0,999... = 1
Of verdraai ik de conclusie nu?
Ik snap het verder wel hoor, het blijft alleen moeilijk om te beseffen :shock:
K

#6

Elmo

    Elmo


  • >1k berichten
  • 3437 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 augustus 2004 - 13:53

Nee, het bewijs gebruikt dat er geen verschil is tussen 0.999... en 1. Immers, het nieuwe getal dat ik creeerde, y=(0.999...+1)/2 moet hieraan voldoen: y>= 0.999..., y<=1. En omdat er geen getal tussen 0.999... en 1 zit, moeten ze dus hetzelfde getal zijn! 0.999... en 1 zijn alleen maar twee verschillende manieren om het zelfde te noteren.

Leuk linkje: http://mathforum.org...faq.0.9999.html
Never underestimate the predictability of stupidity...

#7

bart_kl

    bart_kl


  • 0 - 25 berichten
  • 9 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 02 augustus 2004 - 13:57

Dit bewijs (van jouw link, dat ik toevallig ooit eerder heb gezien maar weer vergeten blijk te zijn) doet het belletje rinkelen :shock: :

x = 0.999...
10x = 9.999...
9x = 10x - x = 9.999... - 0.999... = 9
x = 1

Hartelijk bedankt!





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures