Wetenschapsforum

Hallo,

ik heb deze vraag al elders gesteld maar heb nog steeds geen volledig antwoord.

Wanneer precies heeft een complexe matrix een vierkantswortel?

Elke matrix heeft een Jordan vorm. Elk Jordanblok met een eigenwaarde die niet nul is heeft een vierkantswortel (kan je inductief vinden). Dus als een matrix inverteerbaar is (lees : nul is geen eigenwaarde) heeft het minstens één vierkantswortel.

Maar dat is zeker niet nodig (denk maar aan de nulmatrix!)

Je kan eigenlijk onmiddellijk al zeggen : nul mag voorkomen, er is geen probleem als zijn algebraische multipliciteit ook de geometrische is (dan zie je voor nul als eigenwaarde geen speciaal jordanblok, gewoon diagonaal)

maar ook dat is niet nodig, denk maar aan :
Ik sta werkelijk open voor alle ideeen, je hoeft geen bewijs of zo te hebben

een hint, een url op internet, laat maar komen!

mijn url vandaag:

"A positive definite matrix has at least one matrix square root"

http://mathworld.wolfram.com/PositiveDefin...niteMatrix.html

rodeo.be schreef:mijn url vandaag:

"A positive definite matrix has at least one matrix square root"

http://mathworld.wolfram.com/PositiveDefiniteMatrix.html

Ik denk dat je wortel uit een complexe matrix alleen kunt trekken als de matrix positief (semi)-definiet is.

PeterPan schreef:

rodeo.be schreef:mijn url vandaag:

"A positive definite matrix has at least one matrix square root"

http://mathworld.wolfram.com/PositiveDefiniteMatrix.html

Ik denk dat je wortel uit een complexe matrix alleen kunt trekken als de matrix positief (semi)-definiet is.

nu nog aantonen dat A² (A:matrix) positief definiet is zeker?

dat is zeker niet juist aangezien peterpan ook al sprak over semipositiefdefiniete

maar bekijk gewoon es mijn kwadraat dat ik uitrekende hierboven
ik denk niet dat dat volgens die mathworld definitie semipositief definiet is?

eigenlijk wat daar staat helpt ons niet : een positief definiete matrix is altijd inverteerbaar

en zoals ik uitlegde in mijn eerste post hier : als ze inverteerbaar zijn is er absoluut geen probleem

ik denk niet dat we er al zijn...

Volgens mij geldt:

Een reële matrix heeft een reële wortel precies dan als de matrix positief (semi)-definiet is.

Hoe het zit met complexe matrices weet ik niet.

Kun je een matrix geven die geen (complexe) wortel heeft?

Een matrix A met ||A-I||<1 heeft een wortel, want (met A = I+B) is

A = (I+B) =

[sum_inf] (1/2 boven n) Bⁿ

en als ||A-I||>1, dan is A-I=B inverteerbaar en A = I+B = B(I+B^-1) met ||B^-1||<1 en [wortel]A = [wortel]B [sum_inf] (1/2 boven n) B^-n

wat jij zegt over het reële geval klopt ook niet :
het rechterlid is dus duidelijk een kwadraat, toch is het niet semi positief definiet

je kan gemakkelijk matrices vinden die geen vierkantswortel hebben (lees mijn eerste post!) :

evilbu schreef:wat jij zegt over het reële geval klopt ook niet :

\(\left[\begin{array}{cc}0&1-1&0\end{array}\right]^2=\left[\begin{array}{c c}-1&00&-1\end{array}\right]\)

het rechterlid is dus duidelijk een kwadraat, toch is het niet semi positief definiet

Jammer, dus geldt slechts

Als een matrix semi positief definiet is heeft het een reële wortel .