Springen naar inhoud

integraalrekening


  • Log in om te kunnen reageren

#1

einstone

    einstone


  • >100 berichten
  • 166 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 augustus 2004 - 10:05

We beschrijven een figuur in R^3. Beschouw één periode van een sinusoïde in het YZ-vlak. (Dus z=siny met 0<=y<=2*pi)
Laat een cirkel hangen in het XZ-vlak met de top in de oorsprong. Beweeg nu de top langs de sinusoïde. Bereken de inhoud van het buisvormig lichaam dat op deze manier ontstaat.

Ik vroeg me af of je dit zo kan oplossen:
Je berekent de booglengte van 1 periode van een sinus, en dan beschouw je die "kronkelende" buis, als een gewone rechte cilinder met als hoogte die booglengte...

Wat denken jullie, kan dat kloppen? of hoe zouden jullie het oplossen?

alvast bedankt!

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Trevor

    Trevor


  • >25 berichten
  • 39 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 16 augustus 2004 - 14:40

Ik dacht dat je niet naar de booglengte moet kijken, maar naar de afstand van het begin van de buis tot het eind. Dus je berekent de inhoud gewwon als die van een cilinder. Als je een cilinder gaat vervormen (bijvoorbeeld langs een sinuslijn) verandert de inhoud immers niet.

Regel van Cavalieri:
Wanneer twee lichamen tussen twee dezelfde parallelle vlakken de eigenschap hebben dat ieder tweetal op dezelfde hoogte gelegen vlakke doorsneden dezelfde oppervlakte hebben, dan hebben de lichamen gelijke inhoud.


In dit geval wordt het dan gewoon 2*pi*oppervlakte van de cirkel.

#3

einstone

    einstone


  • >100 berichten
  • 166 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 augustus 2004 - 19:54

ja, dat klopt, ik heb het antwoord ondertussen ook gevonden
spijtig genoeg niet zelf, en daarom kan ik het maar niet begrijpen dat een gewone rechte cilinder dezelfde inhoud heeft als een kromme cilinder over dezelfde lengte.
als je die kromme cilinder "rechttrekt" zogezegd, dan heb je toch een langere cilinder en dus een grotere inhoud?? hier lig ik een beetje mee in de knoop...

#4

Elmo

    Elmo


  • >1k berichten
  • 3437 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 augustus 2004 - 07:28

Hier is het oorspronkelijke bewijs.

Achtergrond voorbeeldje

Empirisch voorbeeld

Voorbeeldje:

Cavalieri's Principle
The following idea was developed much earlier by several people groups, but the Italian mathematician of the 17th century made it popular at just the right time and got his name attached to it.
Given two solids included between parallel planes. If every plane cross section parallel to the given planes has the same area in both solids, then the volumes of the solids are equal. This is know as Cavalieri's Principle.

The Greek Archimedes is one of the three greatest mathematicians of all time. Among his important discoveries is the relationship between the volumes of the cone, sphere, and cylinder. In fact, this discovery was so much his favorite that he requested it to inscribed on his tombstone. Specifically, consider a sphere of radius r, two cones each with the same radius and height ®, and a cylinder with the same radius and height (2r). The cylinder will contain either the two cones or the sphere. Their volumes can easily be seen to be (4/3)*pi*r^3, 2*(1/3)*pi*r^3, and 2*pi*r^3. Thus the cones plus the sphere equals the cylinder exactly. (Actually, Archimedes is more commonly credited with showing the sphere's volume to be 2/3's that of the cylinder.) See the corresponding diagrams in the textbook related to the proof of Cavalieri's Principle.

(bron)
Never underestimate the predictability of stupidity...

#5

einstone

    einstone


  • >100 berichten
  • 166 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 augustus 2004 - 08:12

dankjewel, dat maakt het al een stuk duidelijker, vooral dat "empirisch voorbeeld"
maar waar maak ik dan een fout in mijn redenering als ik zeg dat een rechte cilinder toch een kleiner volume moet hebben dan een kromme cilinder over dezeflde lengte?
stel nu dat ik een slangetje heb, en ik vorm daar zo'n sinus mee, dan heeft die een bepaald volume, wanneer ik dat slangetje rechtrek zou het een groter volume moeten hebben??
ik zit ergens fout, maar waar juist, dat weet ik niet ...

#6

Trevor

    Trevor


  • >25 berichten
  • 39 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 17 augustus 2004 - 17:25

Als je een slangetje neemt en die in de vorm van een sinus buigt, dan vervorm je het slangetje. In de buitenbocht rekt het materiaal wat uit en in de binnenbocht wordt het materiaal op elkaar gedrukt. In het voorbeeld van jouw som wordt de cilinder niet vervormd, maar worden de cirkels alleen ten opzichte van elkaar verschoven. Daar zit hem het verschil in.

Ik laat dit leerlingen vaak zien met behulp van een rolletje bierviltjes. Je kan die recht neerzetten of je kan gaan schuiven met de viltjes. De vorm wordt dan heel anders, maar de inhoud blijft hetzelfde. Er blijven immers evenveel bierviltjes in het rolletje zitten. De inhoud blijft de oppervlakte van een bierviltje * de hoogte van de stapel (loodrecht vanaf de tafel omhoog gemeten).





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures