[wiskunde] integreren met sin en cos

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Gebruikersavatar
Berichten: 351

[wiskunde] integreren met sin en cos

vind m toch lastig:
\( \int \cos(x) \sin^4(x) dx \)
Ik heb begrepen dat je bij even machten eerst naar dubbele hoeken moet herschrijven, dus dat heb ik eerst gedaan:
\( \frac{1}{4} \int \cos(x) (1-\cos(2x)) (1-\cos(2x)) dx \)
maar hoe ga ik nu verder want nu zit ik weer met die dubbele hoeken....
Nothing to see here, move along...

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] integreren met sin en cos

Een substitutie ligt hier voor de hand, omdat je sinus tot een 4e macht hebt maar ook de afgeleide van de sinus, cosinus, is een factor! Stel dus \(y = \sin x \Rightarrow dy = \cos xdx\), dan gaat de integraal over in:
\(\int {y^4 } dy = \frac{{y^5 }}{5} + C \to \frac{{\sin ^5 x}}{5} + C\)

Gebruikersavatar
Berichten: 351

Re: [wiskunde] integreren met sin en cos

o ja, ik ging er meteen van uit dat ik de nieuwe regeltjes moest toepassen bij deze opdrachten, maar deze was nog gewoon een substitutie.

Nu heb ik een paar anderen gemaakt, die niet gingen met substitutie, en die gingen wel.

Ik heb alleen hier nog eentje waar ik de oplossing niet van zie:
\( \int \cos^2(6x) dx \)
Ik denk dat ik met de gonio regeltjes vast zit, wat kan ik met die 6x doen?
Nothing to see here, move along...

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] integreren met sin en cos

Je kan het kwadraat kwijtspelen via de verdubbelingsformule van de cosinus, er geldt:
\(\cos ^2 \alpha = \frac{{1 + \cos \left( {2\alpha } \right)}}{2}\)
Pas dit toe met \(\alpha = 6x\) en je kan de twee termen afzonderlijk integreren.

Gebruikersavatar
Berichten: 351

Re: [wiskunde] integreren met sin en cos

ik was zelf hierop gekomen:
\( \int \cos^2(6x) = \frac{1}{2} \int 1+ \cos(12x) dx \)
mag ik dit dan toch schrijven als??:
\( \frac{1}{2} \int 1 dx + \frac{1}{2} \int \cos(12x) dx \)
dat gaat toch niet? vanwege dx en niet d(12x)
Nothing to see here, move along...

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] integreren met sin en cos

Even aanpassen en vooraf corrigeren: dx = 1/12 d(12x) want d(12x) = 12dx

Gebruikersavatar
Berichten: 351

Re: [wiskunde] integreren met sin en cos

dan komt dit dus uit de integraal:

1/2 x + 1/24 sin(12x) + C
Nothing to see here, move along...

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] integreren met sin en cos

Juist, kan je ook zelf nagaan door dit terug af te leiden.

Gebruikersavatar
Berichten: 351

Re: [wiskunde] integreren met sin en cos

ok, mooi bedankt :roll:

mocht ik nu na een tijdje nog een cos sin integraal hebben, zal ik dan een nieuwe topic aanmaken of kan ik die gewoon hierbij zetten.
Nothing to see here, move along...

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] integreren met sin en cos

Die kan je hierbij zetten, een nieuwe voor maken, of het grote "Integralen topic" voor gebruiken :wink:

Gebruikersavatar
Berichten: 351

Re: [wiskunde] integreren met sin en cos

deze heb ik al op twee manieren uitgerekend maar ik kom niet op hetzelfde anwoord als een integraaluitrekensite op internet http://integrals.wolfram.com/index.jsp.

de integraal en hoe ik het heb gedaan:
\( \int \sin^3(x) \cos^3(x)dx \)
eerst heb ik die sin^3 opgesplitst zodat ik daar een sin en een cos van kon maken:
\( \int \sin(x) \sin^2(x) \cos^3(x) dx = \int \sin(x) (1-\cos^2(x)) \cos^3(x) dx \)
toen sinx achter het d-teken gebracht
\( -\int \cos^3(x) \cos^5(x) d(\cos(x)) \)
die heb ik toen dus uitgerekend en daar kwam dit uit:
\( -\frac{1}{4} \cos^4(x) - \frac{1}{6} \cos^6(x) + C \)
wat doe ik fout?
Nothing to see here, move along...

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: [wiskunde] integreren met sin en cos

Als je dit resultaat weer even differentieert (naar cos(x)), zal je ongetwijfeld je fout zien!

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: [wiskunde] integreren met sin en cos

Jeroen schreef:deze heb ik al op twee manieren uitgerekend maar ik kom niet op hetzelfde anwoord als een integraaluitrekensite op internet http://integrals.wolfram.com/index.jsp.

de integraal en hoe ik het heb gedaan:
\( \int \sin^3(x) \cos^3(x)dx \)
eerst heb ik die sin^3 opgesplitst zodat ik daar een sin en een cos van kon maken:
\( \int \sin(x) \sin^2(x) \cos^3(x) dx = \int \sin(x) (1-\cos^2(x)) \cos^3(x) dx \)
<= (*)

toen sinx achter het d-teken gebracht
\( -\int \cos^3(x) \cos^5(x) d(\cos(x)) \)
<=(**)

die heb ik toen dus uitgerekend en daar kwam dit uit:
\( -\frac{1}{4} \cos^4(x) - \frac{1}{6} \cos^6(x) + C \)
wat doe ik fout?
De fout zit in de overgang van * naar **, zie 'quote'.

Gebruikersavatar
Berichten: 351

Re: [wiskunde] integreren met sin en cos

o nu zie ik t ja er moet een min tussen die cos^3(x) en cos^5(x)

Ik zie ook dat ik dat alleen hier fout heb overgetypt ik had het wel uitgerekend met de min erbij, dus dan weet ik het nog niet eigenlijk :roll:
Nothing to see here, move along...

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] integreren met sin en cos

Gewoon nog even afmaken:
\(\int {\sin ^3 x\cos ^3 x} dx = \int {\left( {1 - \cos ^2 x} \right)\cos ^3 x} d\left( { - \cos x} \right) = \int {\cos ^5 x} - \cos ^3 xd\left( {\cos x} \right)\)

Reageer