Pagina 1 van 2
[wiskunde] integreren met sin en cos
Geplaatst: zo 09 apr 2006, 17:22
door Jeroen
vind m toch lastig:
\( \int \cos(x) \sin^4(x) dx \)
Ik heb begrepen dat je bij even machten eerst naar dubbele hoeken moet herschrijven, dus dat heb ik eerst gedaan:
\( \frac{1}{4} \int \cos(x) (1-\cos(2x)) (1-\cos(2x)) dx \)
maar hoe ga ik nu verder want nu zit ik weer met die dubbele hoeken....
Re: [wiskunde] integreren met sin en cos
Geplaatst: zo 09 apr 2006, 17:52
door TD
Een substitutie ligt hier voor de hand, omdat je sinus tot een 4e macht hebt maar ook de afgeleide van de sinus, cosinus, is een factor! Stel dus
\(y = \sin x \Rightarrow dy = \cos xdx\), dan gaat de integraal over in:
\(\int {y^4 } dy = \frac{{y^5 }}{5} + C \to \frac{{\sin ^5 x}}{5} + C\)
Re: [wiskunde] integreren met sin en cos
Geplaatst: zo 09 apr 2006, 18:12
door Jeroen
o ja, ik ging er meteen van uit dat ik de nieuwe regeltjes moest toepassen bij deze opdrachten, maar deze was nog gewoon een substitutie.
Nu heb ik een paar anderen gemaakt, die niet gingen met substitutie, en die gingen wel.
Ik heb alleen hier nog eentje waar ik de oplossing niet van zie:
\( \int \cos^2(6x) dx \)
Ik denk dat ik met de gonio regeltjes vast zit, wat kan ik met die 6x doen?
Re: [wiskunde] integreren met sin en cos
Geplaatst: zo 09 apr 2006, 18:15
door TD
Je kan het kwadraat kwijtspelen via de verdubbelingsformule van de cosinus, er geldt:
\(\cos ^2 \alpha = \frac{{1 + \cos \left( {2\alpha } \right)}}{2}\)
Pas dit toe met
\(\alpha = 6x\) en je kan de twee termen afzonderlijk integreren.
Re: [wiskunde] integreren met sin en cos
Geplaatst: zo 09 apr 2006, 18:32
door Jeroen
ik was zelf hierop gekomen:
\( \int \cos^2(6x) = \frac{1}{2} \int 1+ \cos(12x) dx \)
mag ik dit dan toch schrijven als??:
\( \frac{1}{2} \int 1 dx + \frac{1}{2} \int \cos(12x) dx \)
dat gaat toch niet? vanwege dx en niet d(12x)
Re: [wiskunde] integreren met sin en cos
Geplaatst: zo 09 apr 2006, 18:35
door TD
Even aanpassen en vooraf corrigeren: dx = 1/12 d(12x) want d(12x) = 12dx
Re: [wiskunde] integreren met sin en cos
Geplaatst: zo 09 apr 2006, 19:02
door Jeroen
dan komt dit dus uit de integraal:
1/2 x + 1/24 sin(12x) + C
Re: [wiskunde] integreren met sin en cos
Geplaatst: zo 09 apr 2006, 19:23
door TD
Juist, kan je ook zelf nagaan door dit terug af te leiden.
Re: [wiskunde] integreren met sin en cos
Geplaatst: zo 09 apr 2006, 19:39
door Jeroen
ok, mooi bedankt
mocht ik nu na een tijdje nog een cos sin integraal hebben, zal ik dan een nieuwe topic aanmaken of kan ik die gewoon hierbij zetten.
Re: [wiskunde] integreren met sin en cos
Geplaatst: zo 09 apr 2006, 19:41
door TD
Die kan je hierbij zetten, een nieuwe voor maken, of het grote "Integralen topic" voor gebruiken
Re: [wiskunde] integreren met sin en cos
Geplaatst: ma 10 apr 2006, 17:09
door Jeroen
deze heb ik al op twee manieren uitgerekend maar ik kom niet op hetzelfde anwoord als een integraaluitrekensite op internet
http://integrals.wolfram.com/index.jsp.
de integraal en hoe ik het heb gedaan:
\( \int \sin^3(x) \cos^3(x)dx \)
eerst heb ik die sin^3 opgesplitst zodat ik daar een sin en een cos van kon maken:
\( \int \sin(x) \sin^2(x) \cos^3(x) dx = \int \sin(x) (1-\cos^2(x)) \cos^3(x) dx \)
toen sinx achter het d-teken gebracht
\( -\int \cos^3(x) \cos^5(x) d(\cos(x)) \)
die heb ik toen dus uitgerekend en daar kwam dit uit:
\( -\frac{1}{4} \cos^4(x) - \frac{1}{6} \cos^6(x) + C \)
wat doe ik fout?
Re: [wiskunde] integreren met sin en cos
Geplaatst: ma 10 apr 2006, 17:27
door Safe
Als je dit resultaat weer even differentieert (naar cos(x)), zal je ongetwijfeld je fout zien!
Re: [wiskunde] integreren met sin en cos
Geplaatst: ma 10 apr 2006, 17:30
door Safe
Jeroen schreef:deze heb ik al op twee manieren uitgerekend maar ik kom niet op hetzelfde anwoord als een integraaluitrekensite op internet
http://integrals.wolfram.com/index.jsp.
de integraal en hoe ik het heb gedaan:
\( \int \sin^3(x) \cos^3(x)dx \)
eerst heb ik die sin^3 opgesplitst zodat ik daar een sin en een cos van kon maken:
\( \int \sin(x) \sin^2(x) \cos^3(x) dx = \int \sin(x) (1-\cos^2(x)) \cos^3(x) dx \)
<= (*)
toen sinx achter het d-teken gebracht
\( -\int \cos^3(x) \cos^5(x) d(\cos(x)) \)
<=(**)
die heb ik toen dus uitgerekend en daar kwam dit uit:
\( -\frac{1}{4} \cos^4(x) - \frac{1}{6} \cos^6(x) + C \)
wat doe ik fout?
De fout zit in de overgang van * naar **, zie 'quote'.
Re: [wiskunde] integreren met sin en cos
Geplaatst: ma 10 apr 2006, 18:24
door Jeroen
o nu zie ik t ja er moet een min tussen die cos^3(x) en cos^5(x)
Ik zie ook dat ik dat alleen hier fout heb overgetypt ik had het wel uitgerekend met de min erbij, dus dan weet ik het nog niet eigenlijk
Re: [wiskunde] integreren met sin en cos
Geplaatst: ma 10 apr 2006, 18:28
door TD
Gewoon nog even afmaken:
\(\int {\sin ^3 x\cos ^3 x} dx = \int {\left( {1 - \cos ^2 x} \right)\cos ^3 x} d\left( { - \cos x} \right) = \int {\cos ^5 x} - \cos ^3 xd\left( {\cos x} \right)\)
