1 is gelijk aan -1

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer

1 is gelijk aan -1

In het algemeen geldt: :? (x-y) = i :P (y-x).

Substitueer x=a en y=b, dan is :P (a-b) = i :P (b-a).

Substitueer x=b en y=a, dan is :P (b-a) = i :D (a-b).

Vermenigvuldigen:

:P (a-b). :) (b-a) = i2. :P (b-a) :roll: (a-b).

Dan is 1 = i2

en 1 = -1.

Hè, hoe kan dat nou?

Gebruikersavatar
Berichten: 792

Re: 1 is gelijk aan -1

je bewijs kan simpeler, de fout blijft erin zitten,

neem een a die niet nul is
\(\sqrt{-a}=i \sqrt{a}\)
volledig analoog met -a
\(\sqrt{a}=i\sqrt{-a}\)
substitue van het een in het ander en het feit dat a niet nul is geeft : 1=-1

De fout zit al in de eerste regel. Geef es je definitie van een vierkantswortel. Je zal dan snel beseffen dat je van multiplicativiteit gebruik maakt wat niet correct is.

Gebruikersavatar
Berichten: 5.679

Re: 1 is gelijk aan -1

In het algemeen geldt: :D (x-y) = i :roll: (y-x).
Klopt niet, stel dat x=2 en y=0 (in het algemeen x>y), dan staat hier [wortel]2 = i[wortel]-2, maar :P -2 = i[wortel]2, en i[.]i[wortel]2 = -[wortel]2 :P [wortel]2.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

Gebruikersavatar
Berichten: 792

Re: 1 is gelijk aan -1

ik herhaal mijn verzoek, want daar zit de clue : geef een definitie van een vierkantswortel van een complex getal...en het probleem is opgelost!

Gebruikersavatar
Berichten: 5.679

Re: 1 is gelijk aan -1

x-y en y-x hoeven niet eens complex te zijn, x en y :P :roll: volstaat al.

De meest redelijke definitie voor de vierkantswortel (met x :D :P ) lijkt mij:
\(\sqrt{x} = \left{ \begin{array}{cc} y\in\rr:y\geq 0\wedge y\cdot y=x & (x\geq 0) i\sqrt{-x} & (x<0) \end{array} \right.\)
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

Gebruikersavatar
Berichten: 792

Re: 1 is gelijk aan -1

idd als je enkel met x en y reeel het bewijs doet volstaat die definitie

en de fout is duidelijk , de regel :
\(\sqrt{-a}=i\sqrt{a}\)
is niet correct

Re: 1 is gelijk aan -1

ik herhaal mijn verzoek, want daar zit de clue : geef een definitie van een vierkantswortel van een complex getal...en het probleem is opgelost!
Ok. :P z := e(1/2).log(z).

Voor log(z) geldt zoals gebruikelijk - :roll: < arg(z) < :D .

Kortom :P (-1) is niet gedefinieerd.

Maar dat is eigenlijk niets nieuws, want dat je geen wortel kunt trekken uit een negatief getal moet iedereen toch al lang bekend zijn.

Gebruikersavatar
Berichten: 792

Re: 1 is gelijk aan -1

Huh, dat moet het niet denk ik. In mijn cursus analyse III stond het gedefinieerd als het unieke getal met poolhoek tussen -Pi/2 en Pi/2 (waarbij de laatste grens erbij mag de eerste niet) waarvan het kwadraat gelijk is aan het argument

voor nul is het echter gewoon nul

onder die definitie bestaat sqrt(-1) wel, het is i

Gebruikersavatar
Lorentziaan
Berichten: 1.433

Re: 1 is gelijk aan -1

...of het is -i. :roll:

Gebruikersavatar
Berichten: 5.679

Re: 1 is gelijk aan -1

...of het is -i. :roll:
Maar dan is arg(z)=- :P /2 terwijl die grens er niet bij mocht.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

Gebruikersavatar
Berichten: 310

Re: 1 is gelijk aan -1

ik denk dat de fout eerder ligt bij de verschillende waarden voor a en b.... Voor de ene regel geldt a = x en b=y; voor de andere a=y en b=x

Dan kun je toch niet dezelfde waarden uitkomen, simpelweg door te vermenigvuldigen? De a's betekenen niet allemaal hetzelfde, dat mag niet; zelfde voor b...
Niet weten is geen schande, niet willen weten wél, en persé beter willen weten ook!

(quotatie van Jan van de Velde)

Gebruikersavatar
Berichten: 5.679

Re: 1 is gelijk aan -1

bibliotheek357 schreef:ik denk dat de fout eerder ligt bij de verschillende waarden voor a en b....  Voor de ene regel geldt a = x en b=y; voor de andere a=y en b=x

Dan kun je toch niet dezelfde waarden uitkomen, simpelweg door te vermenigvuldigen?  De a's betekenen niet allemaal hetzelfde, dat mag niet; zelfde voor b...
Die constructie was wel in orde. Hij heeft een regel met x en y, daar vult hij twee keer a en b in (in verschillende volgorde). Dan komen er 2 verschillende uitspraken uit die geldig zijn ongeacht wat a en b zijn. Die 2 mag je vervolgens weer combineren.

Zie ook de versimpeling van evilbu met alleen a, die komt op hetzelfde neer.

De fout is dus dat \(\sqrt{-a}=i\sqrt{a}\) alleen geldt voor a[grotergelijk]0.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

Reageer