Hierbij een opzetje over botsing.
1/.
Hoeveelheid beweging: p = m.v
vector grootheid !
2/. uit F = m.a = m.(dv/dt) volgt: F.dt = m.(dv)
We noemen
F.dt: Impuls, Impulsie, Krachtsimpuls of Bewegingsimpuls.
Stel Impuls voor met I, dan geldt:
I = m.(dv) = m(v2-v1)
vector grootheid !
3/. invoering geidealiseerde Impuls(ie) noemen we
Stoot.
neemt waarde aan die gelijk is aan F.dt door F oneindig groot en dt oneindig
klein te kiezen, en wel zo dat de uitddrukking voor de Stoot gelijk is aan die
van de Impuls(ie). De
Stoot bedraagt dus:
S = m.dv = m(v2-v1) .
Stoot is een vector, gelijk gericht aan vector v2-v1.
Omdat de Stoot in een tijdsverloop dt = 0 plaatsvindt, zal gedurende de
werking van de Stoot op een stoffelijk punt niet van plaats veranderen.
5/. De vectorsom van de uitwendige Stoten, die op een lichaam op zeker tijdstip
worden uitgeoefend, is gelijk aan de vectorische toename van de hoeveelheid
van beweging van dit lichaam.
Dus geldt:
S = p2 - p1 = m(v2-v1)
6/.
Botsing
wanneer twee lichamen door beweging van een of beide lichamen met elkaar
in aanraking komen, en daarbij in het punt van aanraking Stoten worden
uitgeoefend, is er sprake van botsing.
7/. beschouw je beide botsende lichamen, dan zijn de wederzijds uitgeoefende
Stoten als inwendige stoten aan te merken.
De gezamelijke
hoeveelheid beweging van beide lichamen zal hetzelfde
blijven. (deze stelling is
de botsingswet).
8/. Botsing, onderscheid in:
BOTSINGSPERIODE
- er zijn
twee (2) botsingsperioden te onderscheiden, t.w.
eerste en tweede botsingsperiode
- stel massa's van beide lichamen op m1 en m2
- stel snelheden voor de botsing op v1 en v2
- stel snelheden na de botsing op u1 en u2
Er geldt dan:
m1.v1 + m2.v2 = m1.u1 + m2.u2
Door de vervorming van de lichamen wordt de afstand tussen de zwaartepunten
van de lichamen eerst kleiner, totdat een minumumwaarde is bereikt. Op dat
moment hebben beide lichamen dezelfde snelheid u.
Het kleine tijdsverloop waarbij de snelheid van beide lichamen hetzelfde wordt,
noemen we de
eerste botsingsperiode van de botsing.
Door te stellen dat u = u1 en u = u2 gaat de eerdere formule over in:
m1.v1 + m2.v2 = m1.u + m2.u = u.(m1+m2)
Waaruit voor de
snelheid aan het
einde van de eerste botsingsperiode
volgt:
u = (m1.v1 + m2.v2)/(m1 + m2)
AARD VAN DE BOTSING in de
tweede botsingsperiode
a.
volkomen onveerkrachtig
- de vervorming van de lichamen is blijvend
- de lichamen behouden de vorm die ze aan het einde van de eerste
botsingsperiode hebben verkregen
- de lichamen vervolgen hun beweging als een lichaam
- de eindsnelheid van beide lichamen is gelijk (eindsnelheid: u)
dus:
u = (m1.v1 + m2.v2)/(m1 + m2)
Er moet gelden: m1.v1 + m2.v2 = m1.u1 + m2.u2
Dus geldt met u = u1 = u2
m1.v1 + m2.v2 = m1.u + m2.u
of:
m1(u-v1) +m2(u-v2) = 0
b.
volkomen veerkrachtig
- na de botsing herkrijgen de lichamen hun oorspronkelijke vorm
- de wederzijdse drukkrachten, doorlopen dezelfde waarden, maar nu in
omgekeerde tijdsorde, die de botskrachten in de eerste botsingsperiode
doorlopen hebben.
- de lichamen krijgen dezelfde snelheidsverandering, als die ze in de
eerste botsingsperiode hebben gehad.
dus:
u1 = v1 + 2.(u-v1) = 2.u-v1
u2 = v2 + 2.(u-v2) = 2.u-v2
waarin u wordt ingevuld zoals bepaald met:
u = (m1.v1 + m2.v2)/(m1 + m2)
De som van de toenamen van de hoeveelheid beweging van beide lichamen
is gelijk aan:
2.m1.(u-v1)+2.m2.(u-v2).
Als je dit uitrekent met de waarde u (bepaald via de eerdere formule),
volgt hieruit:
m1(u-v1) + m2(u-v2) = 0
Waarmee is aangetoond dat aan de botsingswet is voldaan.
c.
onvolkomen veerkrachtig
- de lichamen hernemen slechts ten dele hun oorspronkelijke vorm weer aan.
- de aanname is dat in de tweede botsingsperiode de lichamen ieder nog eens
een deel van de snelheidsverandering van de eerste periode verkrijgen.
De snelheidstoenamen van de lichamen in de tweede botsingsperiode kunnen
worden bepaald door het invoeren van de botsingscoefficient of
restitutiecoefficiënt e. De waarde van e wordt dan: 0 <= e <= 1.
u1 = v1 + (1+e).(u-v1)
u1 = (1+e).u - e.v1
u2 = v2 + (1+e).(u-v2)
u2 = (1+e).u - e.v2
Bij de hierbij gemaakte aanname is de som van de toenamen van de hoeveelheid
beweging van beide lichamen gelijk aan:
(1+e).m.(u-v1) + (1+e).m.(u-v2) = 0 (botsingswet)
Deze algemene formule kun je door voor e=0 en e=1 in te vullen.
Immers bij een volkomen onveerkrachtige botsing is: e = 0
en voor de volkomen veerkrachtige botsing: e = 1.
Voorbeeld:
Volkomen onveerkrachtige botsing, e = 0
u1 = (1+e).u - e.v1 = u
u2 = (1+e).u - e.v2 = u
Volkomen veerkrachtige botsing, e = 1
u1 = (1+e).u - e.v1 = 2.u-v1
u2 = (1+e).u - e.v2 = 2.u-v2
KINETISCHE ENERGIE - ARBEIDSVERMOGEN van BEWEGING
Het totale AVB of Ek van beide lichamen voor en na een onveerkrachtige botsing
bedraagt:
Voor de botsing:
Ek(v) = (1/2).m1.v1^2 + (1/2).m2.(v2)^2
Na de botsing:
Ek(u) = (1/2).m1.u^2 + (1/2).m2.u^2
u= (m1.v1+m2.v2)/(m1+m2)
Voorbeelden:
TWEEDE LICHAAM GEEN SNELHEID
Stel dat er sprake is van een volkomen onveerkrachtige botsing, waarbij
de beginsnelheid van het tweede (2de) lichaam is: v2 = 0.
De gemeenschappelijke snelheid u wordt dan:
u = m1.v1/(m1+m2)
Ek of AVB:
- voor de botsing is dan: Ek1 = (1/2).m1.v1^2
- na de botsing is dat: Ek2 = (1/2).(m1+m2).((m1.v1)/(m1+m2))^2
of:
Ek2= m1/(m1+m2).Ek1 = (1/(1+(m2/m1))).Ek1
In de praktijk bij het heien: massa heipaal: m2, massa heiblok: m1, moet
Ek2 zo groot mogelijk zijn, dus m2/m1 moet klein zijn, zodat het heiblok
met een meer massa m1 het meest voordelig is.
LICHAMEN MET GELIJKE MASSA
Stel dat m1 = m2.
Volkomen onveerkrachtige botsing.
De gemeenschappelijke snelheid wordt dan:
u = (1/2).(v1+v2)
Stel dat m1=m2.
Volkomen veerkrachtige botsing.
De snelheden van de massa's na de botsing worden:
(je vindt dit door de formule van u in te voeren).
v2 = u1
v1 = u2
De snelheden van beide lichamen zijn na de botsing onderling verwisseld.
Is een van de lichamen voor de botsing in rust, dan zal na de botsing
nu het andere lichaam in rust verkeren.
Het is een heel verhaal geworden ....
