Springen naar inhoud

Reeksontwikkelingen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Thierry

    Thierry


  • 0 - 25 berichten
  • 5 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 13 april 2006 - 09:15

Ik moet voor m'n eindwerk van wiskunde reeksontwikkelingen bespreken. Dat is al ongeveer volledig gedaan, maar ik moet ook nog de relevantie, het nut ervan bespreken.
Het enige wat ik tot nu toe al heb is dat sin(x) bij benadering gelijk is aan x voor kleine waarden van x (in radialen dan wel). Weet iemand soms wat je er nog zoal mee kunt doen? (buiten het berekenen van de functies zelf natuurlijk)

Alvast bedankt :wink:

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

rodeo.be

    rodeo.be


  • >250 berichten
  • 647 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 april 2006 - 11:07

ff rondgezocht:

http://wisfaq.nl/sho...rd3.asp?id=2857

http://nl.wikipedia....ling_van_Taylor

vooral het benaderen van functies, zo dicht als men wil want men heeft kennis over de fout, eigenlijk.
???

#3

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 13 april 2006 - 15:41

Wat bedoel je met reeksontwikkeling? Een reeks met oneindige veel termen?
Een van de vele toepassingen:
Zoek een oplossing van de volgende differentiaalvergelijking:
y' = 1 + x + xy met y(0)=1.
(Ik geef maar een simpel voorbeeldje, rechtstreeks uit het hoofd, ter illustratie).
Ik probeer een oplossing in de vorm van een machtreeks:
Dus zeg y = a0 + a1x + a2x2 + ...
Invullen in de differentiaalvergelijking.
Dan coefficienten vergelijken die bij eenzelfde macht van x behoren,
enz.

#4

Andy

    Andy


  • >250 berichten
  • 294 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 april 2006 - 18:29

Dat wordt vaak gebruikt om formules makkelijker te schrijven (bij de ingenieurs toch)
of bvb iets wiskundiger, om de waarde van e te vinden
(exp(x) ontwikkelen en dan x=1 stellen... e= 1+1+1/2+1/3!+1/4 alsk mij niet vergis) sowieso dacht ik dat meeste (grafische) rekentoestellen met Taylorontwikkeling u de sinus van 26.8 graden geeft. Van dit ben ik wel niet zeker, best es opzoeken naar specifieke sites over rekenmachines, als dat bestaat.

Tzijn der zo een paar die erg vaak terugkeren.
Voorbeeld:
(telkens x klein verondersteld)
LaTeX
LaTeX (niet heel zeker meer van laatste, maja)

af en toe duikt dat es op en tspreekt vanzelf dat de rechterleden veel eenvoudiger zijn om te bespreken dan de linkerleden. Als ge lineair moogt werken dan vereenvoudigen er erg veel formules.
Een directe toepassing is bijvoorbeeld bij vervormingen.

Als je bijvoorbeeld een lange metalen staaf neemt en je trekt er heel hard aan (in lengterichting), dan zal je de staaf een klein beetje kunnen uitrekken. Als ge niet té hard trekt (= als ge binnen bepaald gebied blijft, het lineair elastisch gebied), dan kunt ge dingen sterk vereenvoudigen.

bvb, stel dat ge de staaf vastmaakt op een vaste wand en ge duidt drie punten aan, O, A en B. Ge plaatst O op de vaste wand, die beweegt dus NIET. A en B bewegen wel als ge der aan trekt.

Rust

|||

|||----------------------

|||       A         B

  0



trek

|||

|||--------------------------------

|||            A              B

  0


noem de afstand tussen A en B dx

tis evident dat B meer gaat verplaatsen dan A.

noem de verplaatsing u (dus LaTeX = verplaatsing van B)

LaTeX

ge weet eigenlijk op voorhand nie echt een functievoorschrift voor die verplaatsing, maar ge neemt aan dat die verplaatsing klein is, daar kunt ge na Taylorontwikkeling heel wat schrappen en bekomt ge een lineaire uitdrukking die erg eenvoudig is en waaruit ge (mits een aantal proefjes) LaTeX kunt berekenen.
Let wel, das allemaal in de veronderstelling dat uw uitwijking niet te groot is..


tis mss ver gezocht voorbeeld en erg moeilijk uitgelegd, maar het toont aan dat het wel nut heeft. Als ge het een goed voorbeeld vindt, wilk altijd wa meer over vertellen.

hopelijk zijt ge er iets mee

mvg
Andy

#5

evilbu

    evilbu


  • >250 berichten
  • 792 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 april 2006 - 19:35

Tzijn der zo een paar die erg vaak terugkeren.
Voorbeeld:
(telkens x klein verondersteld)
LaTeX


LaTeX (niet heel zeker meer van laatste, maja)


als ik zo vrij mag zijn, het is correct, als je tot op tweede orde werkt is dit de formule :

LaTeX
dus vervang x door zijn tegenstelde en neemLaTeX

#6

evilbu

    evilbu


  • >250 berichten
  • 792 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 april 2006 - 19:36

Een van de vele toepassingen:
Zoek een oplossing van de volgende differentiaalvergelijking:
y' = 1 + x + xy met y(0)=1.
.


weet niet of je dat kent, maar fourierreeksontwikkeling is zelf uitgevonden speciaal voor de theorie van partiele differentiaavergelijkingen, onder meer de warmtevgl

als je geinteressseerd bent schrijf ik wat meer

#7

rodeo.be

    rodeo.be


  • >250 berichten
  • 647 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 april 2006 - 08:07

ook veel gebruikt:

om het evenwicht van een elementair (=heel klein) kubusje uit te schrijven

onderstaande figuur, behandelt het verticaal watertransport door de grond
Geplaatste afbeelding

noem "f" de functie die het transport beschrijft, dan geldt dat er f(x).A binnenkomt, en f(x+dx).A buitengaat.

Nu gebruiken we een reeksontwikkeling om f(x+dx) "leesbaarder" te schrijven:

LaTeX

of, de "groei" van het watergehalte in het kubusje is "wat binnen komt" MIN "wat buiten gaat" = LaTeX
???

#8

Thierry

    Thierry


  • 0 - 25 berichten
  • 5 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 14 april 2006 - 08:50

Wat bedoel je met reeksontwikkeling? Een reeks met oneindige veel termen?
Een van de vele toepassingen:
Zoek een oplossing van de volgende differentiaalvergelijking:
y' = 1 + x + xy met y(0)=1.
(Ik geef maar een simpel voorbeeldje, rechtstreeks uit het hoofd, ter illustratie).
Ik probeer een oplossing in de vorm van een machtreeks:
Dus zeg y = a0 + a1x + a2x2 + ...
Invullen in de differentiaalvergelijking.
Dan coefficienten vergelijken die bij eenzelfde macht van x behoren,
enz.

Het zijn vooral de reeks van Taylor en Maclaurin die ik nodig heb, en ik heb helaas nog niets gezien van differentiaalvergelijkingen, dusjah...
toch bedankt :roll:

#9

Thierry

    Thierry


  • 0 - 25 berichten
  • 5 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 14 april 2006 - 08:51

Dat wordt vaak gebruikt om formules makkelijker te schrijven (bij de ingenieurs toch)
...

mvg
Andy

Bedankt! Daar heb ik zeker iets aan :roll: Ik heb wel nog geen differentiaalvergelijkingen gezien, dus dat stuk is wel ff moeilijk om te volgen, ma toch bedankt! :P

#10

Thierry

    Thierry


  • 0 - 25 berichten
  • 5 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 14 april 2006 - 08:53


Een van de vele toepassingen:
Zoek een oplossing van de volgende differentiaalvergelijking:
y' = 1 + x + xy met y(0)=1.
.


weet niet of je dat kent, maar fourierreeksontwikkeling is zelf uitgevonden speciaal voor de theorie van partiele differentiaavergelijkingen, onder meer de warmtevgl

als je geinteressseerd bent schrijf ik wat meer


Ik ben wel geinteresseerd, ma ik weet ni of ik het ga begrijpen, ik heb namelijk nog geen differentiaalvergelijkingen gezien, dus ik weet ni of ik er iets ga aan hebben?
toch alvast al bedankt :roll:

#11

Thierry

    Thierry


  • 0 - 25 berichten
  • 5 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 14 april 2006 - 08:55

ook veel gebruikt:

om het evenwicht van een elementair (=heel klein) kubusje uit te schrijven

onderstaande figuur, behandelt het verticaal watertransport door de grond
Geplaatste afbeelding

noem "f" de functie die het transport beschrijft, dan geldt dat er f(x).A binnenkomt, en f(x+dx).A buitengaat.

Nu gebruiken we een reeksontwikkeling om f(x+dx) "leesbaarder" te schrijven:  

LaTeX



of, de "groei" van het watergehalte in het kubusje is "wat binnen komt" MIN "wat buiten gaat" = LaTeX


Da's wel moeilijk om te volgen voor mij.. ma toch bedankt :roll:

#12

Rudeoffline

    Rudeoffline


  • >250 berichten
  • 624 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 april 2006 - 16:59

Denk es aan een slinger. Je krijgt hier een sinusterm in je differentiaalvergelijking, en die kun je alleen exact oplossingen als je aanneemt dat sin(x)=x, dus voor kleine uitwijking x. Hier zijn de formules voor bv de frequentie van zo'n harmonische oscillator ook op gebasseerd, w=Sqrt(k/m) enzo.

#13

Andy

    Andy


  • >250 berichten
  • 294 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 april 2006 - 15:26

Tzijn der zo een paar die erg vaak terugkeren.
Voorbeeld:
(telkens x klein verondersteld)
LaTeX


LaTeX (niet heel zeker meer van laatste, maja)

af en toe duikt dat es op en tspreekt vanzelf dat de rechterleden veel eenvoudiger zijn om te bespreken dan de linkerleden. Als ge lineair moogt werken dan vereenvoudigen er erg veel formules.  


finja, dat lineair werken, mss ff duidelijker:
als ge een lineair verband hebt, heb je maar 2 punten nodig om de curve te tekenen.. als je geen lineair verband hebt meestal meer (denk altijd, niet zeker dervan). Tis dus duidelijk makkelijker een lineair verband te hebbe dan een niet-lineair.


van die fourierreeksontwikkeling denk ik niet dat je er iets mee bent (helemaal iets anders dan taylor), maar als je er ook maar een klein deel van begrijpt, wordt het al mooi...

#14

The Black Mathematician

    The Black Mathematician


  • >100 berichten
  • 150 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 april 2006 - 23:51

Sommige functies, zoals de primitieve functie van LaTeX kunnen niet uitgedrukt worden in het standaardrepetoire van functies, zoals eindige polynomen, e-machten en goniometrische functies. Dus als je wilt weten hoe ze zich gedragen, moet je wel naar de reeksontwikkeling kijken.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures