Goniometrische vergelijkingen.

Bert F

hallo,

Als je een volgende goniometrische uitdrukking hebt cos (2x) dan kan je die gemakkelijk anders schrijven omdat je weet dat je gewoonweg het dubbele hoek formulletje kan toepassen.

Maar nu in het algemeen wat wordt cos(3x) of sin (5x) ? Is er ergens een algemene regel?

Groeten Dank bij voorbaat.

Cleopatra

beschouwen als cos(2x+x) ....

dus cos2x.cosx-sin2x.sinx .... en dan verder uitwerken...

als dit is wat je bedoelt tenminste...

Bert F

klopt ik zie het groeten.

evilbu

er is een andere manier, via de formule van de moivre, je weet

\(\cos(n t) +\sin(n t) i=(\cos(t) +\sin(t) i )^n\)

je werkt de n de macht rechts uit,

en dan zal het reeel deel je

\(\cos (n t)\)

geven en het imaginare

\(\sin( n t)\)

Bert F

maar hoe zet ik iets als volgt om (nog even zonder latex)

Integraal wortel ((8+8(sin t sin 2t +cost cos 2t))

om dan te integreren natuurlijk.

Afbeelding

Ook hier moet ik weer booglengt bepalen heb ik een fout integraal opgesteld? of verkeerd uitgewerkt?

TD

Je integraal is goed. Voor sin(2t) pas je de formule voor de dubbele hoek toe, voor cos(2t) ook maar daar zijn 3 mogelijkheden. De juiste kiezen zal het geheel vereenvoudigen.

\(\begin{array}{l} \sqrt {8\cos t\cos 2t + 8\sin t\sin 2t + 8} = \sqrt {8\cos t\left( {1 - 2\sin ^2 t} \right) + 16\sin ^2 t\cos t + 8} = \sqrt {8\cos t - 16\sin ^2 t\cos t + 16\sin ^2 t\cos t + 8} = \sqrt {8\cos t + 8} \end{array}\)

Nu kan je de dubbele-hoek formule toepassen om over te gaan op een hoek t/2, dan krijg je een kwadraat. De juiste keuze laat dan ook nog eens de constante verdwijnen.

\(\sqrt {8\cos t + 8} = \sqrt {8\left( {2\cos ^2 \frac{t}{2} - 1} \right) + 8} = \sqrt {16\cos ^2 \frac{t}{2}} = 4\left| {\cos \frac{t}{2}} \right|\)

Je vindt dan de booglengte na integratie, opletten met tekens.

\(\int\limits_0^{2\pi } {4\left| {\cos \frac{t}{2}} \right|} dt = 2\int\limits_0^\pi {4\cos \frac{t}{2}} dt = 16\)

Bert F

bedankt ik zie het.

TD

Graag gedaan!

Bert F

iemand een idee hoe je het volgende vereenvoudigt?

Afbeelding

Groeten. Dank bij voorbaat.

TD

Waar wil je naartoe?

Bert F

dit wordt vermenigvuldigt met

\(\frac{\frac{-1}{3} r^2}{ r^{5/3}}\)

wordt dus

\(-1/3 r^{4/3}\)

en nadien moet heel de koek geïntegreerd worden.

mss ken ik splitsen?

TD

Laat de hele integraal eens zien dan, je integreert naar wat, welke grenzen?

Bert F

de parameterisatie is hier gegeven in voorgaande heb ik het vectorveld omgezet met die paramerisatie en zo denk ik dat dan te bekomen

TD

In dat geval heb je je denk ik ergens vergist, ik krijg niet 1e en 8e machten in de teller, maar 2e en 7e. Het buitenbrengen van die kwadratische laat dan een 5e achter die vervolgens netjes wegvalt tegen dezelfde uitdrukking in de noemer. Integreren van 0 tot pi/2 levert dan als antwoord \(\frac{{3\pi }}{{16}}R^{\frac{4}{3}} \).

evilbu

ik denk dat het astroïde is, maar dat is maar een klein foutje

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Goniometrische vergelijkingen.

Goniometrische vergelijkingen.

Re: Goniometrische vergelijkingen.

Re: Goniometrische vergelijkingen.

Re: Goniometrische vergelijkingen.

Re: Goniometrische vergelijkingen.

Re: Goniometrische vergelijkingen.

Re: Goniometrische vergelijkingen.

Re: Goniometrische vergelijkingen.

Re: Goniometrische vergelijkingen.

Re: Goniometrische vergelijkingen.

Re: Goniometrische vergelijkingen.

Re: Goniometrische vergelijkingen.

Re: Goniometrische vergelijkingen.

Re: Goniometrische vergelijkingen.

Re: Goniometrische vergelijkingen.