Springen naar inhoud

1=2


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Melissa

    Melissa


  • >100 berichten
  • 169 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 april 2006 - 19:24

Ok, hier komt ie, waar zit de fout? :P

we werken met de verzameling van de complexe getallen...
sqrt = square root = vierkantswortel, komt van Maple :roll:

-1/1 = 1/-1
sqrt(-1/1) = sqrt(1/-1)
sqrt(-1)/sqrt(1) = sqrt(1)/sqrt(-1)
i/1 = 1/i
i/2 = 1/2i
i/2 + 3/2i = 1/2i + 3/2i
i*(i/2 + 3/2i) = i*(1/2i + 3/2i)
-1/2 + 3/2 = 1/2 + 3/2
1=2

Melissa

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 april 2006 - 19:28

Onder meer sqrt(a/b) = sqrt(a)/sqrt(b) geldt in het algemeen (complex) niet.

#3

wkuipers

    wkuipers


  • >25 berichten
  • 80 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 april 2006 - 07:23

Ten tweede ga je rekenen met de wortel van een negatief getal...

#4

Math

    Math


  • >1k berichten
  • 1460 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 april 2006 - 07:56

Ten tweede ga je rekenen met de wortel van een negatief getal...

Daar is niets mis mee. We rekenen hier in :roll:.
Antwoord is al gegeven door TD!. Dat is de enige fout.

Overigens is dit voorbeeld een bekende paradox.
<i>Iets heel precies uitleggen roept meestal extra vragen op</i>

#5

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 15 april 2006 - 10:23

Ten tweede ga je rekenen met de wortel van een negatief getal...

Daar is niets mis mee. We rekenen hier in :roll:.

Ik ben het met wkuipers eens. Je kunt geen wortel trekken uit een negatief getal.
Dat is ook niet zinvol, want zelfs de eenvoudigste regeltjes van vermenigvuldiging gaan dan niet op. Wel zinvol is het imaginaire getal i. Als je daarmee werkt kom je niet in de problemen.
Overigens zie je wel vaak (symbolisch) geschreven dan i = :P (-1). Dat is prima. Hiermee wordt aangegeven dat i niet een variabele voorstelt, maar een zuiver imaginair getal.

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 april 2006 - 11:53

Waarom kan je geen wortel trekken uit een negatief getal? Als complex getal beschouwd zie ik het probleem niet, afhankelijk van wat je definitie van de vierkantswortel is. Het definiŽren van die vierkantswortel brengt wel enkele technische complicaties met zich mee, vermits 0 een vertakkingspunt is en we dus een snede aanbrengen (gewoonlijk de negatieve x-as, soms de negatieve y-as).

#7

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 15 april 2006 - 13:55

Nu val je me wat tegen TD!. Ik zeg dat het niet zinvol is om :P-1 te definiŽren, en jij bent het er niet mee eens omdat het wel kan.
Ik kan ook mijn vuilnisbak op het garagedak zetten. Ik vind dat niet zinvol. Maar jij zult het daar ook wel niet mee eens zijn, want het kan wel!
Ik kan ook 1/0 definiŽren, bijvoorbeeld 1/0 := :P [wortel]2.
Net als met :D-1 kan ik er keurig mee optellen.
Net als met :roll:-1 kan ik er niet fatsoenlijk mee vermenigvuldigen.
Dus is het niet zinvol om 1/0 en :P-1 te definiŽren.

#8

Math

    Math


  • >1k berichten
  • 1460 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 april 2006 - 14:05

Toch klinkt het vrij krom en lastig PeterPan.
Ik begrijp wel wat je bedoelt, toch gaat het bij jou om een subtiel taalitem.

Om de grote (wiskundige) lijn terug te pakken: het ging om het volgende: "...ga je rekenen met wortel van een negatief getal...".
Daar is in beginsel niets fouts aan, dus daar zit geen fout in bij het originele raadsel.
Ging men rekenen met 1/0, wat niet gedefinieerd is, dan begaat men een fout. Een fout die in andere paradoxen vaak terugkomt. Hier is slechts ťťn echte fout en dat is wat TD! zei.
<i>Iets heel precies uitleggen roept meestal extra vragen op</i>

#9

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 15 april 2006 - 14:31

Dit is geen taalprobleem!
Het rekenen met wortels uit negatieve getallen is fundamenteel onjuist.
Wat zijn complexe getallen?
Complexe getallen kun je zien als getallenparen, dus als punten in het Euclidische vlak.
Op de verzameling :P2 (in dit verband ook wel :P genoemd) wordt een optelling en een vermenigvuldiging gedefinieerd.
(a,b) + (c,d) = (a+c,b+d) en
(a,b) x (c,d) = (ac-bd,ad+bc).
( :D2,+,x) vormt een lichaam en een vectorruimte over :P.
Je kunt aantonen dat de afbeelding c :? (c,0) een lichaamsisomorfisme is dat {(a,0) | a :P :P} afbeeldt op :roll:.
We schrijven daarom i.p.v. (c,0) meestal c.
(0,1) geven we een apart symbool, namelijk i.
Je kunt dan aantonen dat (a,b) = a + b.i en dat ixi = -1.

Dat voor i geldt dat i2 = 1 wil nog niet zeggen dat we uit -1 de wortel kunnen trekken, want worteltrekken is slechts gedefinieerd voor reŽle getallen en niet voor punten in :)2. Vermenigvuldigen met i is een draaiing over 900, dus ook weer te geven met een 2x2 matrix.
Als voor een matrix A geldt dat A2 = -I, dan schrijf je toch hoop ik ook niet dat A = :P-I, omdat je dat gewend bent voor reŽle getallen?

#10

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 april 2006 - 15:12

Het rekenen met wortels uit negatieve getallen is fundamenteel onjuist.

Ik dacht dat de complexe wortel gewoon gedefinieerd was... namelijk als:
LaTeX
Is dat niet zo dan? (ofwel, vergist mijn dictaat 'complexe functietheorie' zich?)

#11

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 15 april 2006 - 15:37

Het rekenen met wortels uit negatieve getallen is fundamenteel onjuist.

Ik dacht dat de complexe wortel gewoon gedefinieerd was... namelijk als:
LaTeX
Is dat niet zo dan? (ofwel, vergist mijn dictaat 'complexe functietheorie' zich?)

Schrijft je diktaat daar dan ook niet bij dat -:roll:< arg(z) < :P ?
Op de rand definiŽren, dus voor arg(z) = :P wordt niet gedaan, omdat je enorme problemen krijgt op de rand bij het integreren, waardoor stellingen ineens niet meer kloppen.
Dus in dat geval bestaat :P-1 ook niet.
Overigens zal in dat diktaat NERGENS met wortels van complexe getallen gerekend worden.
Als curiosum wordt het zo gedefinieerd om een plaatje te maken van het beeld van de functie z :D [wortel]z. Dat is dan ook de enige toepassing!

#12

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 april 2006 - 15:43

Schrijft je diktaat daar dan ook niet bij dat -:P< arg(z) < :roll: ?

Het gaat inderdaad om de hoofdwaarde.

#13

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 15 april 2006 - 15:49

Dat bedoel ik.

Dingen die geen toepassingen hebben MOET je niet willen definieren.
Ze lijden enkel tot verwarring en een verkeerd begrip van zaken.
Met wortels van negatieve getallen kun je niet vermenigvuldigen.
Ze zijn dus zinloos. Definieer ze dan ook niet!

#14

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 april 2006 - 15:52

Nu val je me wat tegen TD!. Ik zeg dat het niet zinvol is om  :P-1 te definiŽren, en jij bent het er niet mee eens omdat het wel kan.

Ik begreep van jou dat je 'geen vierkantswortel van een negatief getal kan nemen', niet dat het niet zinvol zou zijn. Dat terzijde, lijkt me een misverstand dan.

Schrijft je diktaat daar dan ook niet bij dat -:roll:< arg(z) < :P ?
Op de rand definiŽren, dus voor arg(z) = :P wordt niet gedaan, omdat je enorme problemen krijgt op de rand bij het integreren, waardoor stellingen ineens niet meer kloppen.
Dus in dat geval bestaat :D-1 ook niet.

Klopt, en dat betwist ik ook niet. Ik gaf net aan dat het afhangt van die keuze, om arg(z) tussen -pi en pi te houden is een keuze, die verder arbitrair is. Het is wel een veel gebruikte keuze, maar de negatieve y-as als snede kan ook en dan heb je geen probleem met de negatieve x-as, en bestaat de vierkantswortel uit -1 toch wel?

#15

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 15 april 2006 - 15:56

Waar ben je nou mee bezig? Snede langs de y-as?
Verdomd, nu bestaat [wortel]i niet meer (of?).
En verdorie, [wortel]0 bestaat ook al niet!





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures