Ik weet niet hoe je aan die integraal komt, maar als de poolkromme gegeven is onder de vorm
\(\rho = \rho \left( \theta \right)\) dan wordt de booglengte gegeven door:
\(\int\limits_a^b {\sqrt {\left( {\frac{{d\rho }}{{d\theta }}} \right)^2 + \rho ^2 } d\theta } \)
Om de kromme volledig te doorlopen bepaal je de grenzen a en b, hier hebben we dat
\(\theta :0 \to 4\pi \)
We bepalen de afgeleide:
\(\rho = a\cos ^4 \left( {\frac{\theta }{4}} \right) \Rightarrow \frac{{d\rho }}{{d\theta }} = - a\cos ^3 \left( {\frac{\theta }{4}} \right)\sin \left( {\frac{\theta }{4}} \right)\)
Vereenvoudigen van die twee kwadraten:
\(\left( {\frac{{d\rho }}{{d\theta }}} \right)^2 + \rho ^2 = a^2 \cos ^6 \left( {\frac{\theta }{4}} \right)\sin ^2 \left( {\frac{\theta }{4}} \right) + a^2 \cos ^8 \left( {\frac{\theta }{4}} \right) = a^2 \cos ^6 \left( {\frac{\theta }{4}} \right)\)
Integreren voor de booglengte:
\(\int\limits_a^b {\sqrt {\left( {\frac{{d\rho }}{{d\theta }}} \right)^2 + \rho ^2 } d\theta } = \int\limits_0^{4\pi } {\sqrt {a^2 \cos ^6 \left( {\frac{\theta }{4}} \right)} d\theta } = \int\limits_0^{4\pi } {\left| {a\cos ^3 \left( {\frac{\theta }{4}} \right)} \right|d\theta } = \frac{{16}}{3}\left| a \right|\)
