Zwaartepunt

Melissa

Hey,

ik vraag me af of iemand hier de algemene formule weet voor het zwaartepunt van een regelmatige trapezium? Met regelmatig bedoel ik gewoon dat hij 2 paar gelijke hoeken heeft. Ik heb bij analyse wel iets geleerd om de coordinaten van het zwaartepunt van een voorwerp te kunnen berekenen, maar dat was met dubbele integralen en nogal veel rekenwerk, dus daar had ik niet direct zin in

En iets vertelt mij dat er voor zulk een trapezium wel een gemakkelijkere manier bestaat om het zwaartepunt te bepalen

Thx!

Melissa

A.Square

Trapezium opdelen in 3 figuren: 2 driehoeken en een rechthoek.

Van ieder het zwaartepunt bepalen.

De drie punten verbinden (levert een driehoek)

Zwaartepunt van de driehoek bepalen.

Dat is de constructie lijkt me.

Melissa

Was het maar zo simpel.. Nee, met deze constructie bekom je geen juiste oplossing voor je zwaartepunt vrees ik

Melissa

Brinx

Als je een trapezium in een dergelijke orientatie bedoelt:

Afbeelding

(http://members.cox.net/gcafferty/Trapezoid.gif)

Noem de lengte van de bovenste horizontale zijde 'a', de onderste horizontale zijde 'b', en de hoogte 'h'. Dan krijg ik voor de verticale (y)coordinaat van het zwaartepunt, gemeten vanaf de basis:

\(y_{cm} = \frac{h}{3} \cdot \frac{2a + b}{a + b}\)

Ik heb dit gevonden door het gewogen gemiddelde van de locaties van de zwaartepunten van de verschillende subfiguren (2 driehoeken, 1 rechthoek) te nemen. Ik geloof dat dit correct uitkomt voor alle positieve waarden van a, b en h. Tenzij je op zoek was naar een methode die van andere variabelen uitgaat?

[edit]: Oh, en voor de volledigheid: de x-coordinaat van het zwaartepunt, gemeten vanaf de linker benedenhoek ,is natuurlijk gewoon

\(b/2\)

.

Melissa

Ja, dit zou wel kunnen kloppen..

Thanx!

Kun je dit zwaartepunt ook grafisch bepalen? Dus in plaats van de coordinaten te berekenen, gewoon met enkele lijnen het zwaartepunt vinden? Zoals bij een driehoek het zwaartepunt niets anders is dan het snijpunt van de 3 zwaartelijnen...

Melissa

evilbu

A.Square schreef:Trapezium opdelen in 3 figuren: 2 driehoeken en een rechthoek.

Van ieder het zwaartepunt bepalen.

De drie punten verbinden (levert een driehoek)

Zwaartepunt van de driehoek bepalen.

Dat is de constructie lijkt me.

Dat zit er zeer dicht bij, moesten die drie stukken allemaal even zwaar zijn zou het correct zijn. Dat zijn ze meestal echter niet.

Safe

Het maakt in principe niet uit of het trap gelijkbenig is of niet.

Je kan twee mogelijkheden benutten

1. In twee drh splitsen,

2. Splitsen in een parallellogram en een drh.

Laten we (2) eens bekijken.

Stel we hebben een trap met evenwijdige zijden a en b met a>b en hoogte h. (a basis)

Splits nu in een par met zijde b en een drh met basis a-b.

Het zwp Zp van het par is het snijpnt van de diagonalen op hoogte 1/2h tov van a.

Het zwp Zd van de drh op hoogt 1/3h tov a op de zwlijn vanuit de tophoek.

De beide zwptn Zp en Zd zijn dus te construeren. Het zwp van het trap ligt op het lijnstuk ZpZd en ook dit is te construeren!

Het 'gewicht' van het par Gp en het 'gewicht' van de drh Gd stellen we voor door twee vectoren Gp=bh en Gd=1/2(a-b)h en de verhouding Gp/Gd=2b/(a-b).

De twee vectoren moeten in lengte deze verhouding hebben en tekenen we vanuit de zwptn evenwijdig aan elkaar loodrecht het lijnstuk ZpZd.

Nu tekenen we nog twee even grote en tegengesteld gerichte vectoren Gh (lengte zelf kiezen), ieder vanuit een zwp. Deze Gh's heffen elkaar dus op!

Stel nu de vectoren GpGh en GdGh samen dan zullen de resultanten met hun werklijn elkaar snijden. Vanuit dit snijpunt tekenen we een lijn evenwijdig aan Gp tot deze het lijnstuk ZpZd snijdt. Dit is het zwp van het trap.

De hoogte tov a stemt overeen met de formule van Brinx.

Safe

Controle: snijd ZpZd met het lijnstuk die de middens van de evenwijdige zijden verbindt.

phi hung

Dit kun je doen voor elke trapezium (zelfs voor elke vierhoek):

Splits de trapezium in twee driehoeken. Dit kan op twee manieren.

Verbind de zwaartepunten van de twee driehoeken met elkaar.

Herhaal dit, maar dan door de trapezium op de andere manier in twee driehoeken te splitsen.

Het snijpunt van de twee verbindingen is het zwaartepunt van de trapezium.

Bassie0007

Wat jij vraagt is een mechanisch probleempje

Antwoord, uit de mechinca;

* verdeel de vorm in standaard vormen; dus één vierkant, en twee driehoeken.

* bepaal van iedere vorm het zwaartepunt (dit lukt je ook nog bij een driehoek?)

* neem een makkelijk assenstelsel (neem de basis van je trapezium als x as, en je y as loop verticaal omhoog (haaks) vanaf je linker onderhoek van je trapezium (ik leg het even zo uit omdat ik geen plaatjes krijg ge-upload)

* neem nu de afstand van je zwaartepunt van een van de driehoeken gemeten naar de basis. (dus van het midden naar beneden)

* bepaal het statisch moment; (= oppervlakte driehoek x gemeten afstand)

* doe dit bij alle figuren en tel op;

dus stel Zw ( = zwaartepunt) driehoek = 15, A (= oppervlak) = 30

statisch moment = dan 15 x 30 = 450

statisch moment vierkant is (als voorbeeld geef ik Zw = 20, A = 100)

20 x 100 = 2000

tel deze drie statische momenten op (driehoek + vierkant + driehoek) = 450 + 2000 + 450 = 2900

deel dit getal door je oppervlakte van je trapezium ( = A driehoek + A vierkant + A driehoek) = 30 + 100 + 30 = 160

zwaartepunt trapezium = 2900 / 160 = 18,125

succes, lukt het niet, laat maar even weten, dan mail ik je een plaatje met voorbeeld

Odyssius

Ik heb bij analyse wel iets geleerd om de coordinaten van het zwaartepunt van een voorwerp te kunnen berekenen, maar dat was met dubbele integralen en nogal veel rekenwerk, dus daar had ik niet direct zin in

Wat is die formule misschien met dubbelintegralen?

phi hung

zwaartepunt trapezium = 2900 / 160 = 18,125

Wat bedoel je hier nu mee? Waar ligt nu het zwaartepunt?

evilbu

Melissa schreef:Ik heb bij analyse wel iets geleerd om de coordinaten van het zwaartepunt van een voorwerp te kunnen berekenen, maar dat was met dubbele integralen en nogal veel rekenwerk, dus daar had ik niet direct zin in
Wat is die formule misschien met dubbelintegralen?

http://nl.wikipedia.org/wiki/Massamiddelpunt

Op Wikipedia vind je werkelijk bijna ALLES

.

Let wel op! de formule onderaan is met een drievoudige integraal, terwijl wij hier bezig zijn met gewoon schijnbaar een 2d object : een trapezium.

Geen nood! Wat doe je praktisch, je vergeet gewoon die dz, en je vult in

\(\rho=1\)

, zo krijg je gewoon ene twee dubbele integraal

Bassie0007

Het zwaartepunt ligt, uiteraard, in de horizontale lijn in het midden van de trapezium.

En die genoemde afstand is het zwaartepunt, in de verticale lijn, gemeten vanaf de basis van je trapezium.[/quote]

Math

Van Bassie0007:

Afbeelding

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Zwaartepunt

Zwaartepunt

Re: Zwaartepunt

Re: Zwaartepunt

Re: Zwaartepunt

Re: Zwaartepunt

Re: Zwaartepunt

Re: Zwaartepunt

Re: Zwaartepunt

Re: Zwaartepunt

Re: Zwaartepunt

Re: Zwaartepunt

Re: Zwaartepunt

Re: Zwaartepunt

Re: Zwaartepunt

Re: Zwaartepunt