Springen naar inhoud

Meetkundeprobleem


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Math

    Math


  • >1k berichten
  • 1460 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 mei 2006 - 22:06

Geplaatste afbeelding

Probleem lijkt me duidelijk qua plaatje. Gevraagd: de hoek ?. Overige gegeven informatie: de gegeven grootste driehoek is een gelijkbenige driehoek.
<i>Iets heel precies uitleggen roept meestal extra vragen op</i>

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Sybke

    Sybke


  • >250 berichten
  • 599 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 mei 2006 - 10:38

Ik kom tot nu toe niet verder dan dit.
Geplaatste afbeelding

#3

Brinx

    Brinx


  • >1k berichten
  • 1433 berichten
  • Lorentziaan

Geplaatst op 10 mei 2006 - 11:30

Ik ben tot zover ook op Sybke's punt uitgekomen: wanneer je nu randvoorwaarden opstelt voor die 4 overgebleven hoeken (a,b,c,d) krijg je 4 vergelijkingen (2 voor som van hoeken in een driehoek, 2 voor som van hoeken die samen een 180-gradenhoek vormen) die degenereren tot 2 vergelijkingen (4 onbekenden, 2 vergelijkingen). Er moet dus ergens anders meer informatie vandaan gehaald worden! Leuke opgave, ik puzzel er nog op verder.

#4

Cleopatra

    Cleopatra


  • >100 berichten
  • 219 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 mei 2006 - 11:46

nja, ik was daarnet begonnen door mbv de sinusregel verder te werken, maar dit lijkt mij ook niet te kloppen, lange berekening, maar het toch nét niet uitkomen....

#5

Sybke

    Sybke


  • >250 berichten
  • 599 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 mei 2006 - 13:02

Met met GR kom uit op 30°.

Ik heb de functies voor de twee gelijke zijden van de gelijkbenige driehoek opgesteld waarbij ik de hoogte van de grootste driehoek op 1 stel.

l = 1 - x·tan(80°)
l' = 1 + x·tan(80°)

Zo heb ik ook de functies opgesteld voor de twee lijnen die de grote driehoek kruisen.

m = tan(60°)·tan(10°) + x·tan(60°)
n = tan(50°)·tan(10°) - x·tan(50°)

Om de snijpunten bij hoek a en hoek b (zie mijn vorige afbeelding) te berekenen moet het volgende opgelost worden.

l = m
l' = n

Dit kan ik zelf niet algebraïsch, dus dat heeft mijn GR gedaan. Die vindt voor de snijpunten.

x1 = 0,09382163
y1 = 0,46791111
x2 = -0,1150893
y2 = 0,34729636

De gevraagde hoek kan nu berekend worden.

alfa.gif = 60 - arctan((y1 - y2)/(x1 - x2)) = 30°

#6

Rov

    Rov


  • >1k berichten
  • 2242 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 mei 2006 - 19:06

De enige hoek de je nog nodig hebt is d (op Sybkes) tekening.

a+c = 140
a+b = 110
b+d = 130
d+c = 160

Giet je dat in een matrix dan komt daaruit:

a = -20+d
b = 130-d
c = 160-d

Nu daar stopt het :roll:.

#7

Rov

    Rov


  • >1k berichten
  • 2242 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 mei 2006 - 19:30

Heb ik geprobeerd, en dan is het 30° en d is 50°, dus de korte redenering van mijn vorige post klopte... Ik ben benieuwd of het zonder geodriehoek ook te doen is.

Ik had een ideetje om de basis gelijk aan 1 te stellen, en zo alle zijde te bereken tot je genoeg info hebt voor de gevraagde hoek. Zou dit kunnen werken?

#8

Sybke

    Sybke


  • >250 berichten
  • 599 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 mei 2006 - 19:57

Ik had een ideetje om de basis gelijk aan 1 te stellen, en zo alle zijde te bereken tot je genoeg info hebt voor de gevraagde hoek. Zou dit kunnen werken?

Ja. Ik heb de hoogte van de grote driehoek aan 1 gelijk gesteld zoals je weet uit mijn vorige post. En daarmee ben ik aan het antwoord van 30° gekomen. Ik heb de berekeningen alleen mijn rekenmachine laten doen, maar het moet ook met de hand kunnen.

#9

phi hung

    phi hung


  • >250 berichten
  • 284 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 mei 2006 - 22:54

Zo kom je ook tot de oplossing:

Geplaatste afbeelding

Gegevens:
Driehoek AFG is gelijkbenig. Hoek G is 20, hoek BAF is 60 en hoek AFD is 50.

Stap 1:
Trek het lijnstuk CF en BC. Dan krijg je twee gelijkzijdige driehoeken AFE en BCE.

Stap 2:
Merk op dat driehoek ADF gelijkbenig is, met twee hoeken van 50 graden. Daaruit volgt dat AD = AF = AE;
maar dan is driehoek AED ook gelijkbenig, met twee hoeken van 80 graden.

Stap 3:
Driehoek CDE blijkt ook gelijkbenig te zijn, met hoek C en hoek E beide 40 graden (gevonden via standaardberekeningen).
De lijn BD snijdt de vierhoek BCDE precies doormidden, en ook de hoeken bij B en bij D worden precies doormidden gesneden.

De gevraagde, groengekleurde hoek is de helft van 60 graden, en dat is 30.

#10

Math

    Math


  • >1k berichten
  • 1460 berichten
  • VIP

Geplaatst op 11 mei 2006 - 21:47

Stap 1 en stap 3 ga je me toch te snel, phi hung.
Vooral: Waarom zijn AFE en BCE gelijkzijdig?
<i>Iets heel precies uitleggen roept meestal extra vragen op</i>

#11

phi hung

    phi hung


  • >250 berichten
  • 284 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 mei 2006 - 22:18

De lijn CF heb ik zelf getrokken. Punt C heb ik gekozen op gelijke hoogte met punt B. CF is dus als het ware een spiegeling van AB. Daardoor zijn binnen AEF hoek A en hoek F gelijk, beide zestig graden. Hoek E is dan ook automatisch zestig graden. En een driehoek met drie hoeken van zestig graden, is gelijkzijdig.

BC is evenwijdig met AF, want B en C liggen op gelijke hoogte. In driehoek BCE geldt dan: BE = CE. Verder is hoek E zestig graden (overstaande hoek met hoek E in driehoek AEF). Hoek B en hoek E zijn ook zestig graden (Z-hoeken met de hoeken A en F in driehoek AEF).
Ergo: driehoek BCE heeft twee gelijke zijden en drie hoeken van zestig graden. De derde zijde moet dan ook gelijk zijn aan de twee andere zijden. Dus is de driehoek gelijkzijdig.

Stap3:
Hoek ACF is veertig graden, want de twee andere hoeken in driehoek ACF zijn tachtig en zestig graden (de drie hoeken in een driehoek moeten bij elkaar altijd 180 graden zijn).
Hoek DEC (ook veertig graden) kun je berekenen met behulp van de gestrekte hoek AEB of met de gestrekte hoek CEF, of met behulp van driehoek AEC, waarvan hoek A twintig graden is en hoek C veertig graden. Hiervoor moet je wel weten hoe groot hoek AED is; die heb ik in stap 2 al berekend en die is tachtig graden.

#12

Math

    Math


  • >1k berichten
  • 1460 berichten
  • VIP

Geplaatst op 12 mei 2006 - 16:52

Nice, very nice!
Hulde!

Hoe kwam je op het idee om nu juist deze hulplijnen te tekenen?
<i>Iets heel precies uitleggen roept meestal extra vragen op</i>

#13

phi hung

    phi hung


  • >250 berichten
  • 284 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 mei 2006 - 21:55

Nou, ik kende deze puzzel al, maar het antwoord wist ik nog niet. Het stond een hele tijd terug als prijspuzzel in een econometrie-blad.
Ik had toen wel CF getekend (dit blijkt nu wel goed te zijn) en ik had ook DF gespiegeld (wat geen zin heeft). Maar ik kwam er gewoon niet uit.

Deze week zag ik de puzzel op dit forum en ik dacht, laat ik het nog eens opnieuw proberen. Na een avondje puzzelen, drong het weer tot me door dat ik wel iets moest doen met zijdes die gelijk waren. AD en AF zijn gelijk. AB en BG zijn gelijk. Maar daar kwam ik de vorige keer ook niet veel verder mee.

Ik besloot nu iets te gaan proberen met de hoek van zestig graden, met in het achterhoofd dat een gelijkzijdige driehoek ook hoeken heeft van zestig graden.
En op een gegeven moment zag ik dat een cirkel met middelpunt A en door het punt F, zou gaan door punt D, maar de ontdekking was vooral dat de cirkel ook door punt E ging!!!

Ik zag nu de gelijkbenige driehoek ADE en dat deed het 'em; voor de rest was het vooral geluk hebben dat de twee hoeken DCE en DEC beide veertig graden bleken te zijn.

Waar heb jij deze puzzel eigenlijk vandaan?

#14

Math

    Math


  • >1k berichten
  • 1460 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 mei 2006 - 10:17

... voor de rest was het vooral geluk hebben dat de twee hoeken DCE en DEC beide veertig graden bleken te zijn.

Waar heb jij deze puzzel eigenlijk vandaan?

Nou ja, geluk hebben... Het moest zo zijn om eerlijk denk ik. Anders kon je hem niet oplossen, dit was gewoonweg de clue lijkt me.

Ik heb hem via via in handen gekregen van een leerling op de school waar ik werk. Waar die hem vandaan heeft weet ik niet precies. "Internet" is namelijk een ruim begrip. :roll:
<i>Iets heel precies uitleggen roept meestal extra vragen op</i>





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures