Springen naar inhoud

bewijs monotonie Taylorreeks


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Danielle

    Danielle


  • 0 - 25 berichten
  • 2 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 10 september 2004 - 21:48

Ik zit met een probleem. Ik wil graag bewijzen dat de Shannon entropie altijd groter is dan de eerste drie termen van de Taylorexpansie van deze entropie functie.

De twee Taylorreeksen die dan belangrijk zijn, zijn:

som_n=1^oneindig (x-1)^n/n * ln 2 * - (-1)^n

en

som_n=1^oneindig -x^n/ n* ln 2

Nu wil ik bewijzen dat beide reeksen monotoon dalend zijn (er vanuit gaande dat ze dat dus zijn, anders maak ik ergens een denkfout.)

Weet iemand HOE ik zoiets moet bewijzen? Oftwel, iets over monotonie en Taylorreeksen en helemaal mooi natuurlijk iets over de bovenstaande reeksen...

Alle tips zijn welkom!

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Elmo

    Elmo


  • >1k berichten
  • 3437 berichten
  • VIP

Geplaatst op 11 september 2004 - 07:25

Die ln2 is natuurlijk van geen belang.

Jouw reeks heeft de vorm an/n en je sommeert van n=1 tot n=oo. Als je wil dat de reeks convergeert, dan kan je de som even vervangen door een integraal en de convergentiestraal uitrekenen.

In deze specifieke gevallen kan je natuurlijk direct inzien dat de reeks zeker divergeert indien de noemer >= 1 is. Aangezien ik niet zo'n gevoel voor jouw 'x' heb, weet ik niet of dat het geval is (de eis is dus |x|<=1 voor de beide reeksen).
Never underestimate the predictability of stupidity...

#3


  • Gast

Geplaatst op 11 september 2004 - 10:41

Oops...

Natuurlijk inderdaad niet onbelangrijk om te noemen dat 0<x<1.

#4

Elmo

    Elmo


  • >1k berichten
  • 3437 berichten
  • VIP

Geplaatst op 12 september 2004 - 21:56

OK, je hebt dus twee reeksen.
De n-de term van elke reeks schrijf ik als

An = (x-1)n/n * ln 2 * - (-1)n = -ln 2 * [(x-1)n(-1)n/n]
= -ln 2 * [(1-x)n/n]

en

Bn = -(x)n/n * ln 2

Overigens: de som van alle An is gelijk is aan ln 2 * ln x, en de som van alle Bn is gelijk aan 2 ln ln (1-x).

De An en de Bn wisselen continue van teken, dus het is zeker niet zo dat deze reeksen monotoon dalend zijn. Verder geldt dat, aangezien 0<x<1, (x-1)<0 en dus (x-1)2k > 0 terwijl (x-1)2k+1 < 0. Hieruit kan je dus zien dat A2k > A2k+1, en een gelijke relatie voor de B2k. Omdat 0<x<1 geldt dat de limieten van A2k en A2k+1 convergeren naar 0 (van bovenaf en van onderaf). Verder weet je dat voor elke y waarvoor geldt dat 0<y<1 de ongelijkheid yi > yi+1 geldig is. Dus zie je dat deze reeksen wel absoluut monotoon dalend zijn aangezien |A2k| < |A2k+1|.



Beantwoord dit je vraag?
Never underestimate the predictability of stupidity...

#5

Danielle

    Danielle


  • 0 - 25 berichten
  • 2 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 13 september 2004 - 00:29

Thanx! Dit beantwoord weer een heel stuk van mijn vraag. Iig dat deel van de vraag dat ik hier gepost had. Over de rest ga ik eerst zelf maar weer 's nadenken.

Thanx again!





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures