poissonverdeling

matty13

kan iemand mij aub hierbij helpen, het is volgens de poissonverdeling

((n*p)^x * e^(-n*p))/x!

1)in een bepaald gebied vinden jaarlijks gemiddeld 25 ernstige verkeersongelukken plaats. in de afgelopen jaren heeft zich in het gebied noch een positieve trend, noch een negatieve trend voortgedaan in het aantal verkeersongelukken. a) wat is de kans dat het komende jaar het aantal ongelukken de 25 niet overschrijdt? b) is het uitzonderlijk als het komende jaar meer dan 30 ongelukken plaatsvinden? (met poissonverdeling)

2)in een bepaalde streek vallen per maand door verlies of diefstal 700 pinpasjes in handen van kwaadwillende personen. een onbevoegd iemand kan op dezelfde tot drie keer toe een pincode proberen, bij de derde foutieve poging wordt het pasje door het pinapparaat ingeslikt. wat is de kans dat in een gegeven maand de bankrekening geplunderd wordt van één of meer personen wiens pinpasjes in handen van kwaadwillende personen gevallen zijn? bij de beantwoording van deze vraag veronderstel dat elke kwaadwillende tot drie keer toe een pincode probeert alvorens diezelfde dag het pasje door de bank wordt geblokkeerd.

3) in een beroemd natuurkundig experiment dat in 1920 in Rutherford, Chadwick en Ellis werd uitgevoerd, werden de aantallen α-deeltjes geteld die door een schijf radioactief materiaal werden uitgezonden tijdens 2608 tijdsintervallen van elk 7.5 seconden. De tweede kolom van Tabel 3.4 geeft de aantallen tijdsintervallen waarin respectievelijk 0, 1, , 11 en 12 deeltjes werden waargenomen.

a) kun je een verklaring geven waarom de frequentieverdeling van de waargenomen aantallen α-deeltjes goed benaderd zou kunnen worden door een Poisson verdeling?

b) Reken met behulp van een poisson model de theoretisch verwachte aantallen in tabel 3.4 na.

c) Wat is bij benadering de kans op meer dan 12 deeltjes in een tijdsinterval van 7.5 seconden?

Tabel 3.4: de waargenomen en theoretische waarden

Aantal α-deeltjes

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Waargenomen aantal

Tijdsintervallen

57

203

383

525

532

408

273

139

45

27

10

4

2

Theoretisch verwachte aantal tijdsintervallen

54.4

210.5

407.4

525.4

508.4

393.6

253.9

140.4

67.9

29.2

11.3

4.0

1.3

4.1) op aarde is een ruimteschip uit een ander planetenstelsel geland met tien ruimtewezens aan boord. Deze ruimtewezens komen van een planeet waar het jaar 150 dagen telt. Wat is de kans dat twee of meer van de tien gelande ruimtewezens op eenzelfde dag jarig zijn? Bereken zowel de exacte waarde als de Poisson benaderingswaarde.

4.2) stel dat je met je vriend de weddenschap afsluit dat van de eerstvolgende vijftien autos tenminste twee autos nummerborden met twee gelijke eindcijfers hebben. wat is de kans dat je wint? Bereken zowel de exacte waarde van de kans als de Poisson benaderingswaarde.

5.1) de elf spelers van een voetbalteam hebben elk een shirtje met een eigen rugnummer. Voor de komende wedstrijd pakt elk van de spelers zonder te kijken een frisgewassen shirtje uit de mand. Wat is de kans dat geen enkele speler zijn eigenshirtje pakt en wat is de kans dat meer dan de helft van de spelers het eigen shirtje pakt?

5.2) op een discofeest gooit iedere mannelijke bezoeker bij binnenkomst zijn baseballpet op een hoop in een hoek en pakt bij vertrek zonder te kijken een pet van de hoop. Wat is de kans dat tenminste één bezoeker met zijn eigen pet weggaat?

Miels

Wat verwacht je precies? Hulp of antwoorden?

Antwoorden geven we niet graag; we zijn geen huiswerkmachine. Maar als je hulp nodig hebt lezen we graag welk stuk je wel al lukt en waar je vast loopt/wat je niet snapt.

ps: de nietszeggende titel "werkje" heb ik deze veranderd in "poissonverdeling", aub een volgende keer een wat beter dekkende titel kiezen. alvast bedankt!

matty13

een beetje hulp, om op weg te geraken want ik snap er echt heel weinig van. ik vraag niet om al die oefeningen op te lossen maar bevoorbeeld de eerste, ik heb verschillende pogingen gedaan maar deze zijn op niets geeïndigd....

sirius

De eerste vraag dan maar:

We nemen aan dat auto-ongelukken geen geheugen hebben: de kans op een auto-ongeluk hangt niet af van het feit of er gisteren ook een is gebeurd. Dus we nemen aan dat autoongelukken poisson-verdeeld zijn.

Nu hebben we een poissonverdeling en we hebben alle parameters(het is er een, het gemiddelde: 25 per jaar). Om nu de kans te berekenen dat het aantal ongelukken de 25 niet overschrijdt, kunnen we eenvoudig weg de kans bereken dat er een ongeluk plaatsvond, tevens de kans dat er 2 ongelukken plaats vonden, tot we alle kansen tot en met de 25 hebben, en deze kunnen we dan sommeren.

Rogier

Toelichting op vraag 1:

Intuïtief kun je misschien al een beetje nagaan dat de kans uit vraag (a) waarschijnlijk iets groter dan 0.5 is: een Poisson-verdeelde stochast met gemiddelde mu.gif, waarbij mu.gif in dit geval 25 is, zal naar verwachting ongeveer even vaak een waarde onder als boven mu.gif aannemen.

(Deze redenering gaat wel aardig op voor de Poissonverdeling, maar eigenlijk is hij fout, snap je wat er mis mee is?)

De kans

\(\pp(X=n)\)

kun je uitrekenen met

\(\frac{e^{-\mu}\cdot\mu^n}{n!}\)

, en een cumulatieve kans

\(\pp(X\leq n)\)

met

\(\sum_{k=0}^{k=n}\pp(X=k) = \sum_{k=0}^{k=n}\frac{e^{-\mu}\mu^k}{k!}\)

.

Vaak kun je hiervoor een tabel raadplegen, bijvoorbeeld zo eentje, maar het kan dat de parameter mu.gif uit jouw specifieke situatie daar niet voorkomt (zoals hier helaas het geval is).

Mag je een rekenmachine met een hoop toeters en bellen gebruiken? Daar kan het vast mee.

En anders kan het bijvoorbeeld met Maple: sum(exp(-25)*25^n/n!,n=0..25); waar

.5529214198 uitkomt.

En vraag 1b dan: alle kansen

\(\pp(X=k)\)

optellen voor k = 31 t/m oneindig is een beetje veel werk, daarom bereken je de kans

\(\pp(X\leq 30)\)

(op soortgelijke wijze als hierboven) en dan neem je één min die kans.

Daar komt

.1366911312 uit.

Of dat uitzonderlijk is? Niet echt, het zal iets minder dan eens in de zeven jaar voorkomen, en dat is niet vaak maar ook niet extreem zeldzaam.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

poissonverdeling

poissonverdeling

Re: poissonverdeling

Re: poissonverdeling

Re: poissonverdeling

Re: poissonverdeling