Springen naar inhoud

[thermodynamica] meest waarschijnlijke snelheid


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Ernie

    Ernie


  • >100 berichten
  • 179 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 mei 2006 - 19:04

Uit de Maxwell-Boltzmann verdeling voor snelheid en energie van de moleculen van een ideaal gas halen we (door gewoon afgeleiden te berekenen): de meest waarschijnlijke snelheid van een molecule is LaTeX , en dat komt overeen met een kinetische energie LaTeX ; de meest waarschijnlijke energie van een molecule is LaTeX . Ik vraag me af hoe het mogelijk is dat de meest waarschijnlijke energie niet overeenstemt met de energie die bij de meest waarschijnlijke snelheid hoort. Ziet er iemand misschien een verklaring? Voor mij is 't eigenlijk nogal een paradox.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Sybke

    Sybke


  • >250 berichten
  • 599 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 mei 2006 - 22:04

In mijn boek staat:

vrms = (3kT/m)^0,5

Kav = 3kT/2

Dit klopt volgens mij met K = mv2/2

#3

Ernie

    Ernie


  • >100 berichten
  • 179 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 mei 2006 - 22:32

Dat is helemaal niet de meest waarschijnlijke snelheid. De meest waarschijnlijke snelheid is gewoon de snelheid die het meeste voorkomt, waar het meeste kans op is. Jij hebt de kwadratisch gemiddelde snelheid, en dat is iets helemaal anders.

#4

Lensos

    Lensos


  • >25 berichten
  • 33 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 24 mei 2006 - 12:18

Ik zie niet direct waar die uitdrukking voor de meest waarschijnlijke energie in onze cursus staat, maar ik heb denk ik een voorbeeldje gevonden:
Kies een willekeurig reeel getal v tussen 0 en 10 (Het is belangrijk dat we met een continue verdeling te maken hebben). Elk getal heeft gelijke kans om gekozen te worden (er niet echt een most probable speed dus, maar ik hoop dat het toch duidelijk wordt).
De kans dat v gekozen wordt tussen 0 en 1 is dus 1/10
De kans dat v gekozen wordt tussen 1 en 2 is 1/10
...
De kans dat v gekozen wordt tussen 9 en 10 is 1/10

Als we nu v^2 nemen, dan krijgen we een uitdrukking analoog met de kinetische energie. We krijgen:
De kans dat v^2 tussen 0 en 1 ligt is 1/10
De kans dat v^2 tussen 1 en 4 ligt is 1/10
De kans dat v^2 tussen 4 en 9 ligt is 1/10
...
De kans dat v^2 tussen 81 en 100 ligt is 1/10.

De kansen worden als het ware uitgesmeerd.
We zien dus dat v^2 meer kans heeft om tussen 0 en 1 te liggen dan tussen 1 en 2, 2 en 3, ..., 99 en 100.
De meest waarschijnlijke kinetische energie ligt dus duidelijk tussen 0 en 1 (en is 0).

Als ik het van een iets wiskundigere kant benader zou ik het zo interpreteren.
De snelheidsdistributie noem ik LaTeX . Wat is nu LaTeX juist? LaTeX is de kans dat een willekeurig gekozen snelheid tussen LaTeX en LaTeX ligt. Op de grafiek is die kans een oppervlakte: hoogte (LaTeX ) x breedte (LaTeX ). Als we nu LaTeX beschouwen, dan moeten we LaTeX en LaTeX kwadrateren: LaTeX en LaTeX . Die laatste term mag je weglaten omdat die erg klein is=> LaTeX en LaTeX
De kans dat een kwadratische snelheid (cf. kinetische energie) dus in het interval LaTeX ligt is gelijk aan de kans dat een snelheid in het interval LaTeX ligt: Met andere woorden, ze hebben gelijke oppervlaktes onder de grafiek. De oppervlakte onder LaTeX is gelijk aan LaTeX : de hoogte x de breedte (van het interval). Nu is bij LaTeX de breedte van het interval afhankelijk van LaTeX . Als LaTeX groot is, wordt de breedte dus groter en dus de hoogte kleiner. Voor kleine LaTeX net omgekeerd. Vandaar dat de kansverdeling van de energieen zijn maximum op een andere plaats zal bereiken dan die van de snelheden. Aangezien het een kwadratisch verband is zal de meest waarschijnlijke energie kleiner zijn dan de energie van de meest waarschijnlijke snelheid.
You and your big words. . .and your small difficult words

#5

Lensos

    Lensos


  • >25 berichten
  • 33 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 24 mei 2006 - 17:37

Ik heb geprobeerd het nog iets verder uit te werken:
LaTeX noem ik de kansverdeling voor LaTeX
LaTeX noem ik de kansverdeling voor LaTeX .
Aangezien de oppervlaktes gelijk blijven (zie hierboven), geldt:
LaTeX dus:
LaTeX

We weten dat de Maxwell-Boltzman verdeling van de vorm is:
LaTeX
Dit geeft voor LaTeX :
LaTeX


We kunnen f en g nu eenvoudig afleiden naar v om het maximum te vinden:
LaTeX
Dus vinden we: LaTeX .
De energie horende bij de meest waarschijnlijke snelheid is dus van de vorm LaTeX

Voor g krijgen we:
LaTeX
LaTeX
LaTeX
We zien dus dat de meest waarschijnlijke energie de helft is van de energie bij de meest waarschijnlijke snelheid.
You and your big words. . .and your small difficult words

#6

Ernie

    Ernie


  • >100 berichten
  • 179 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 mei 2006 - 13:17

Mooi, Lense! Bedankt :roll:





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures