Rotatie van v.

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Berichten: 2.589

Rotatie van v.

Hallo,

Gegeven is
\(\vec{v}=p\vec{u}_x\)
dan zegt men dat de
\( rot\vec{v}=\frac{\delta p}{\delta z}\vec{u}_y-\frac{\delta p}{\delta y}\vec{u}_z\)
maar die afgeleide naar z en y moeten toch nul zijn?

Iemand idee hoe ik die delta in de formule vervang door juiste tekens?

Groeten dank bij voorbaat.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Rotatie van v.

Voor het teken van de partiele afgeleide; partial :
\(\partial\)
.

Wat je vraag betreft: hoezo? Werk de rotatie zelf eens uit.

Gebruikersavatar
Berichten: 5.679

Re: Rotatie van v.

Iemand idee hoe ik die delta in de formule vervang door juiste tekens?
Je bedoelt
\(\Delta\)
in plaats van
\(\delta\)
?

(Delta met hoofdletter D dus, klik op de tekens om de tex codes te zien)
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

Berichten: 2.589

Re: Rotatie van v.

wat ik niet begrijp is het volgende omdat de functie is
\(\vec{v}=p\vec{u}_x\)
waarbij
\(\vec{v}_y=0\)
en
\(\vec{v}_z=0\)
gaan je afleiden toch gewoon nul zijn?
Voor het teken van de partiele afgeleide; partial : .  
Ik bedoelde idd dat.

Groeten.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Rotatie van v.

Je moet bij de rotatie niet gewoon componentsgewijs afleiden he...

Zoals ik al zei: reken de rotatie eens zelf na...!

Berichten: 2.589

Re: Rotatie van v.

dus de rotatie berekent men door volgende determinant uit te werken
\(rot \vec{v}= \begin{array} \vec{u}_1 \vec{u}_2 \vec{u}_3 \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial }{\partial y} \frac{\partial}{\partial z} \vec{v}_x \vec{v}_y \vec{v}_z \end{array} \)
waarbij hier
\(\frac{\partial}{\partial_y}=0 \frac{\partial}{\partial_z}=0\)
daarom kan volgens mij nooit dat de rot zijn.

Wat is eigenlijk die laatste kolom in dat determinantje? en hoe kan ik eventueel van bovenstaande een echte determinant maken (ik bedoel er strepen langs zetten in latex)

Groeten.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Rotatie van v.

Bert F schreef:waarbij hier
\(\frac{\partial}{\partial_y}=0 \frac{\partial}{\partial_z}=0\)


daarom kan volgens mij nooit  dat de rot zijn.
Dit is wat niet klopt. De gegeven vector heeft alleen een x-component (namelijk p), dus v(y) en v(z) zijn 0. Die partiële afgeleiden staan er symbolisch in als geheugensteun, om via die determinant makkelijk de rot te kunnen uitrrekenen. Die kunnen niet 0 zijn!

Berichten: 2.589

Re: Rotatie van v.

wat is die laatste vector in het determinantje?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Rotatie van v.

Laatste rij bedoel je? Precies de vector v waar je de rotatie van wil berekenen...

Berichten: 2.589

Re: Rotatie van v.

klopt het geen dat er staat? als die afgeleiden nul zijn dan zijn ze daat in dat det toch ook?

Groeten.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Rotatie van v.

Ik denk niet dat je het goed begrijpt. Even op een rijtje:

Voor een vector v met componenten:
\(\vec v = \left( {v_x ,v_y ,v_z } \right) = v_x \vec 1_x + v_y \vec 1_y + v_z \vec 1_z \)
Merk al op dat die notaties hetzelfde zijn: in 'koppelvorm' met de 3 componenten of als som geschreven maar dan met de eenheidsvectoren erbij (soms ook i,j,k of bij jou u_x,u_u,u_z, maar dat vind ik verwarrend met v).

Dan is de rotatie van v per definitie:
\({\mathop{\rm rot}no\limits} \vec v buildrel \Delta \over = \left( {\frac{{\partial v_z }}{{\partial y}} - \frac{{\partial v_y }}{{\partial z}}} \right)\vec 1_x + \left( {\frac{{\partial v_x }}{{\partial z}} - \frac{{\partial v_z }}{{\partial x}}} \right)\vec 1_y + \left( {\frac{{\partial v_y }}{{\partial x}} - \frac{{\partial v_x }}{{\partial y}}} \right)\vec 1_z = \left( {\frac{{\partial v_z }}{{\partial y}} - \frac{{\partial v_y }}{{\partial z}},\frac{{\partial v_x }}{{\partial z}} - \frac{{\partial v_z }}{{\partial x}},\frac{{\partial v_y }}{{\partial x}} - \frac{{\partial v_x }}{{\partial y}}} \right)\)
Ik heb het voor de gewenning weer in beide notaties gegeven, eerst met de eenehidsvectoren en dan in koppelvorm. Nu is die formule vrij moeilijk om te onthouden, daarom dat we een determinant opstellen als geheugensteun. Dat ziet er dan zo uit:
\({\mathop{\rm rot}no\limits} \vec v = \left| {\begin{array}{*{20}c} {\vec 1_x } & {\vec 1_y } & {\vec 1_z } {\frac{\partial }{{\partial x}}} & {\frac{\partial }{{\partial y}}} & {\frac{\partial }{{\partial z}}} {v_x } & {v_y } & {v_z } \end{array}} \right|\)
De eerste regel zijn gewoon de eenheidsvectoren, die zorgen ervoor dat je weer terug een vector krijgt en geen getal. De tweede regel stellen partiële afgeleides voor, maar daar staat nog niet bij naar wat je moet afleiden! Die staan daar gewon symbolisch om de determinant uit te werken, die kunnen niet 0 zijn! Het enige dat je zelf elke keer 'anders' zult moeten invullen is de laatste regel, dat zijn de componenten van v. Werk die determinant eens uit als oefening, om na te gaan of je de definitie van de rotatie die ik daarboven gaf terugvindt.

In jouw geval is v_x = p en v_y = v_z = 0. De laatste twee elementen zijn dus 0 in die determinant, niet die partiële afgeleides uit de tweede rij!

Berichten: 2.589

Re: Rotatie van v.

twee stukken eerst en vooral heb je de rotatie ik moet dus vollgende determinant uitwerken wacht:
\( \left | \begin{array} \vec{1}_x \vec{1}_y \vec{1}_z \frac{ \partial}{\partial x} \frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial}{\partial z} \vec{v}_x \vec{v}_y \vec{v}_z \end{array} \right | \begin{array} \vec{1}_x \vec{1}_y \frac{ \partial}{\partial_x} \frac{\partial}{\partial_y} \vec{v}_x \vec{v}_y \end{array} \)
Als ik dat uitwerk:
\(\frac{\partial}{\partial}_y \vec{v}_z \vec{1}_x + \frac{\partial}{\partial_z} \vec{v}_x \vec{1}_y + \frac{\partial}{\partial_x}\vec{v}_y\vec{1}_z-\frac{\partial}{\partial_y}\vec{v}_x \vec{1}_z- \frac{\partial}{\partial_z}\vec{v}_y\vec{1}_x- \frac{\partial}{\partial_x} \vec{v}_z \vec{1}_y \)
als ik dit dan groepeer zal ik ongeveer wel komen.

Dan een tweede punt onderstel dat een functie gegeven is dan kan je door die afteleiden naar zijn componenten heel eenvoudig de gradient berekenen zoiets zal ook analoog voor de rot wel zijn.

Nu is mij gegeven
\(\vec{v}=p\vec{u}_x\)
nu moet ik hier toch gewoon de nodige afgeleiden berekenen en dan invullen in het formuletje? en daar zit ik dus mee vast.

Maw als ik bijbehorende afgeleiden neem deze dan in vul in de formulle kom ik er niet.

Ik heb dit nodig bij volgend:

Afbeelding

Maar ik kom er niet achter hoe men aan die rot komt. Nu was ik zo aan het denken als die evenwijdig is met x dan kan nemen we alleen nog maar de rest in aanmerking maar precies weet ik het niet.

Men zegt eigenlijk als men volgende functie beschouwen dan is de rot maar hoe vind je die in het algemeen ? of hoe vinden ze die hier?

Groeten.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Rotatie van v.

Gebruik de formule met de determinant zoals ik ze gaf in m'n vorige post. Het enige dat je daarin moet aanpassen is de laatste rij, daar komen de componenten van de vector. Jouw vector ziet er als volgt uit, ik vul even aan:
\(\vec v = p\vec 1_x = p\vec 1_x + 0\vec 1_y + 0p\vec 1_z = \left( {p,0,0} \right)\)
Je ziet dus dat de eerste component p is (er is enkel een component volgens de x-richting) en de andere 0. De laatste rij wordt dus p 0 0. Ontwikkel dan de determinant naar de eerste rij om de rotatie te vinden.

PS: ik gebuikte weer 1 ipv u voor de eenheidsvectoren.

Berichten: 2.589

Re: Rotatie van v.

ga je hier anders dan bij de gradient de rotatie van één vector uitrekenen? die afgeleides van wat zijn die dan ?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Rotatie van v.

Bij de gradiënt ga je gewoon de eerste component afleiden naar de eerste veranderlijke, de tweede naar de tweede veranderlijke, ...

Reageer