(Wiskunde) Inverse Laplace

lilpac

Hallo Iedereen,

Ik heb wat problemen met Inverse Laplace en zou dus graag wat hulp willen vragen van de 'wiskundigen' onder ons.

De opgave:

f'(t) - 3f(t) = te^t

Beginvoorwaarde:

f(0) = 7

Zou iemand dit stap voor stap kunnen uitleggen?

Zodat ik er ook wat van kan begrijpen?

Aangezien dat Laplace/Fourrierreeksen essentieel zijn voor volgend jaar ( Meetenregeltechnieken) zou ik dit dus graag kunnen.

alvast bedankt,

Met vriendelijke groeten,[/b]

TD

Neem eerst de laplacegetransformeerde van de differentiaalvergelijking:

\(\mathcal{L}\left{ {f'\left( t \right) - 3f\left( t \right) = t \cdot e^t } \right} = \left{ {pX\left( p \right) - f\left( 0 \right) - 3X\left( p \right) = \frac{1}{{\left( {p - 1} \right)^2 }}} \right}\)

Hierin is f(0) = 7 en noteer ik X(p) voor de Laplaceveranderlijke. Los nu op naar X(p):

\(pX\left( p \right) - 7 - 3X\left( p \right) = \frac{1}{{\left( {p - 1} \right)^2 }} \Leftrightarrow \left( {p - 3} \right)X\left( p \right) = \frac{1}{{\left( {p - 1} \right)^2 }} + 7 \Leftrightarrow X\left( p \right) = \frac{{\frac{1}{{\left( {p - 1} \right)^2 }} + 7}}{{p - 3}}\)

We kunnen dit nu splitsen om makkelijker terug te gaan:

\(X\left( p \right) = \frac{{\frac{1}{{\left( {p - 1} \right)^2 }} + 7}}{{p - 3}} = \frac{1}{4}\left( {\frac{{29}}{{p - 3}} - \frac{2}{{\left( {p - 1} \right)^2 }} - \frac{1}{{p - 1}}} \right)\)

Nu nemen we de inverse laplacegetransformeerde:

\(f\left( t \right) = \mathcal{L}^{ - 1} \left{ {X\left( p \right)} \right} = \mathcal{L}^{ - 1} \left{ {\frac{1}{4}\left( {\frac{{29}}{{p - 3}} - \frac{2}{{\left( {p - 1} \right)^2 }} - \frac{1}{{p - 1}}} \right)} \right} = \frac{1}{4}\left( {29e^{3t} - 2te^t - e^t } \right) = \frac{{e^t }}{4}\left( {29e^{2t} - 2t - 1} \right)\)

lilpac

Wow TD!, Bedankt voor de oplossing. Het wordt allesinds wat duidelijker.

Ik had wel nog 1vraagje.

Namelijk , hoe kan ik de controle uitvoeren.

Als ik in de oplossing nu t = 0 invul dan kom ik terug de beginvoorwaarde 7 uit.

Maar er is nog 1 soort controle om te kijken of de oplossing wel juist is.

Kan iemand mij hiermee helpen?

(graag weer stapvoor stap uitgelegd. )

met vriendelijke groeten.

TD

Hoe kijk je of je functie aan de differentiaalvergelijking voldoet? Je steekt je oplossing terug in de vergelijking en je kijkt of het klopt.

Je hebt nu dus een f(t) gevonden. Leid deze af om f'(t) ook te hebben en vul dan je DV in en vereenvoudig

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

(Wiskunde) Inverse Laplace

(Wiskunde) Inverse Laplace

Re: (Wiskunde) Inverse Laplace

Re: (Wiskunde) Inverse Laplace

Re: (Wiskunde) Inverse Laplace