[wiskunde] 2 vragen

Jannie

1. gegeven is de functie f(x)=wortel(x+9). We willen weten welk punt van de grafiek van f het dichtst bij O ligt. Neem daartoe een punt A op de grafiek van f en noem Xa=p. Druk de afstand OA uit in p.

2. gegeven is de functie f(x)=(-10x)/(x^2+2). Voor welke waarden van a heeft de vergelijking f(x)=ax drie oplossingen?

Bij voorbaat dank!

TD

1. gegeven is de functie f(x)=wortel(x+9). We willen weten welk punt van de grafiek van f het dichtst bij O ligt. Neem daartoe een punt A op de grafiek van f en noem Xa=p. Druk de afstand OA uit in p.

De afstand tussen twee punten wordt gegeven door:

\(d\left( {P\left( {x_1 ,y_1 } \right),Q\left( {x_2 ,y_2 } \right)} \right) = \sqrt {\left( {x_2 - x_1 } \right)^2 + \left( {y_2 - y_1 } \right)^2 } \)

Nu is één punt hier O = (0,0). Bovendien kan je evengoed rekenen met het kwadraat van de afstand. Je zoekt immers toch niet de afstand zelf, maar het dichtsbijzijnde punt. Voor dat punt is d minimaal, maar ook d² minimaal.

Voor een willekeurige x = p hebben we een punt op de grafiek (p,sqrt(9-p)).

\(d^2 \left( {P,O} \right) = p^2 + \left( {\sqrt {9 + p} } \right)^2 = p^2 + 9 + p\)

Nu afleiden, gelijkstellen aan 0 en oplossen naar p.

2. gegeven is de functie f(x)=(-10x)/(x^2+2). Voor welke waarden van a heeft de vergelijking f(x)=ax drie oplossingen?

\(f\left( x \right) = ax \Leftrightarrow \frac{{ - 10x}}{{x^2 + 2}} = ax \Leftrightarrow \frac{{ - 10x}}{{x^2 + 2}} - ax = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 10x - ax\left( {x^2 + x} \right)}}{{x^2 + 2}} = 0\)

Nu is deze breuk 0 als de teller 0 is en de noemer niet. Verder met de teller:

\( - 10x - ax\left( {x^2 + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow - x\left( {10 + ax^2 + 2a} \right) = 0\)

Je ziet dat x = 0 sowieso een oplossing is, onafhankelijk van a. De kwadratische factor in x heeft nog twee verschillende oplossingen als de discriminant niet 0 is. Dit geeft een voorwaarde op a.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] 2 vragen

[wiskunde] 2 vragen

Re: [wiskunde] 2 vragen