Springen naar inhoud

[Magnetisme] Magnetische energie binnenin een draad.


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Mark-123

    Mark-123


  • >25 berichten
  • 98 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 mei 2006 - 13:58

Beste dames en heren,

Tot mijn grote frustratie zit ik vast met een opgave met betrekking tot magnetische inductie. Ik zou bijzonder dankbaar zijn als iemand mij kan vertellen waar ik de fout in ga. De opgave:

Een lange cylindrische draad met radius a = 2cm voert een stroom I van 80A. De stroom is uniform gedistribueerd over het oppervlakte van de draad. Vind de magnetische energie-dichtheid per lengte-eenheid van binnen de draad.

Mijn aanpak: de magnetische energiedichtheid wordt gegeven door:

Um = B^2/(2mu0)

De totale magnetische energie wordt verkregen door te vermenigvuldigen met het volume: Em=Um X V

Als we nu mbv de wet van Ampere de magnitische fluxdichtheid B bepalen die geldt in de draad komen we tot het (algemene) resultaat: B = mu0I/(2pi r)

voor het volume van de draad geldt: V=pi r^2 l (waarbij l de lengte van de draad is)

Als we nu alle gegevens invullen in de formule voor de magnetische energie Em krijgen we een uitdrukking waar l in voorkomt, en hiermee kunnen we (dacht ik...) eenvoudig de magnetische energie per lengte eenheid bepalen. Ik kom na invullen echter op hetvolgende resultaat:

Em/l = mu0I^2/(8pi)

terwijl het antwoord moet zijn:
Em/l = mu0I^2/(16pi)

Ik kan, wat ik ook doe, maar niet op dit antwoord uitkomen. Hulp zou erg welkom zijn. Excuses voor de soms misschien onduidelijke formules. Bij voorbaat dank,

Mark

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Jan van de Velde

    Jan van de Velde


  • >5k berichten
  • 44872 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 04 juni 2006 - 01:08

Ik ben geen specialist op dit gebied, maar hier mijn gedachte voor wat ze waard is:

B = mu0I/(2pi r) klopt, maar die moet eigenlijk, voor een beter begrip, worden geschreven als:

LaTeX , waarbij LaTeX een evenredigheidsconstante is

De formule geeft de sterkte van het magnetisch veld op een afstand r van de draad.

Maar elk punt binnen de draad is NIET te vinden op een afstand r van het hart van die draad. Mijn gedachte is nu dat alle punten binnen de draad zich GEMIDDELD op een kleinere afstand van van de draad bevinden, In het hart van de draad bevinden zich minder punten per cm≤ dan aan de buitenkant van de draad, maar daar is de veldsterkte ook groter (want r is kleiner), zodat in de sommering van de veldsterktes op alle infinitesimaal kleine stukjes draaddoorsnede misschien die factor Ĺ gezocht moet worden die je kennelijk zoekt?? Integraaltje??

Voorgaande is mogelijk een misgeslagen plank. Het is al laat. :roll:
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN....
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

#3

Bart

    Bart


  • >5k berichten
  • 7224 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 juni 2006 - 10:03

Ik denk dat het verhaal iets complexer is, tenzij er een slim truukje bestaat die ik over het hoofd heb gezien.

Vanuit symmetrie overwegingen kun je bepalen dat het magnetisch veld binnen de draad in azimuthale richting staat met het veld afnemend tot nul naarmate je dichterbij het middenpunt komt. In andere woorden: Trek een lijn van het middelpunt naar de rand van de draad. Het magneetveld staat loodrecht aan deze lijn, waarbij het veld het grootst is bij de rand en nul in het midden van de draad. Er tussenin neemt het veld geleidelijk af (volgens mij is dit niet-lineair maar eerder een 1/r verband).

Om het magneetveld in deze draad te bepalen heb ik de wet van Biot-Savart gebruikt, maar vanwege de niet-symmetrie die nog steeds aanwezig is, kom ik op een integraal uit die ik niet kan oplossen. Er moet dus een slimmere manier bestaan op deze opgave op te lossen.

[moderator mode]Vanwege de complexiteit van deze opgave heb ik hem naar klassieke natuurkunde verplaatst[/moderator mode]
If I have seen further it is by standing on the shoulders of giants.-- Isaac Newton

#4

Jan van de Velde

    Jan van de Velde


  • >5k berichten
  • 44872 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 05 juni 2006 - 20:33

Bedoel je hiermee dat we een fysieke stroomgeleidende draad eigenlijk moeten opsplitsen in een aantal denkbeeldige parallelle draadjes met elk hun eigen relatieve deel van de totale stroomsterkte en dus met hun eigen magneetveld?
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN....
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

#5

Bart

    Bart


  • >5k berichten
  • 7224 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 juni 2006 - 20:42

Ja, en dat levert een veld op dat er ongeveer zo uitziet:
Geplaatste afbeelding
If I have seen further it is by standing on the shoulders of giants.-- Isaac Newton

#6

Jan van de Velde

    Jan van de Velde


  • >5k berichten
  • 44872 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 05 juni 2006 - 21:08

Dan wordt het nog heftiger dan ik dacht, en begin ik door jouw plaatje de weg een beetje kwijt te raken (voorzover ik die al dacht te zien overigens :roll: )
Twee parallelle draadjes uit die fysieke draad.
Geplaatste afbeelding
De twee apšrte velden zullen samenvloeien tot ťťn veld. Ik mis het voorstellingsvermogen (en de wiskunde) om dat voor, laten we zeggen, een bundeltje van 50 draadjes te doen en dan iets te zien zoals jij tekende. :P

of stelt die verticale lijn eigenlijk niets voor en zijn je pijltjes alleen maar stukjes van veldlijnen, waarbij je met de lengte een concentratie van veldlijnen (is oplopende veldsterkte) weergeeft?
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN....
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

#7

Bart

    Bart


  • >5k berichten
  • 7224 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 juni 2006 - 21:15

Die pijltjes zijn B vectoren op die blauwe lijn. Die lijn is er als hulpstuk.
If I have seen further it is by standing on the shoulders of giants.-- Isaac Newton

#8

Jan van de Velde

    Jan van de Velde


  • >5k berichten
  • 44872 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 05 juni 2006 - 21:20

Dan zat ik er toch niet ver naast. Eigenlijk logisch dus, (gelukkig) en nu is het dus de kunst om de zaak wiskundig op te lossen. Dat valt blijkbaar niet mee. Maar als we de sigarendoos erbij pakken, zou deze benadering van ons kunnen leiden tot het verschil tussen die tť versimpelde benadering van TS die door invullen in elkaar van wat algemene formules leidde tot:

Em/l = mu0I^2/(8pi)  

terwijl het antwoord moet zijn:  
Em/l = mu0I^2/(16pi)


ofwel een factor 2 verschil ??
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN....
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

#9

Bart

    Bart


  • >5k berichten
  • 7224 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 juni 2006 - 21:29

De formule die je daarvoor gebruikt komt uit de Biot-Savart wet, maar geld voor een punt op afstand r van een oneindige draad met straal a, waarbij ook nog eens moet gelden dat de straal relatief klein is ten opzichte van de afstand r, dwz a<<r
Dat gaat in dit geval absoluut niet op.
If I have seen further it is by standing on the shoulders of giants.-- Isaac Newton

#10

Jan van de Velde

    Jan van de Velde


  • >5k berichten
  • 44872 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 05 juni 2006 - 21:35

dus voorlopig samengevat:

Beste dames en heren,

Tot mijn grote frustratie zit ik vast met een opgave met betrekking tot magnetische inductie. Ik zou bijzonder dankbaar zijn als iemand mij kan vertellen waar ik de fout in ga.

Bij deze dus:

De formule die je daarvoor gebruikt komt uit de Biot-Savart wet, maar geld voor een punt op afstand r van een oneindige draad met straal a, waarbij ook nog eens moet gelden dat de straal relatief klein is ten opzichte van de afstand r, dwz a<<r

ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN....
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

#11

Mark-123

    Mark-123


  • >25 berichten
  • 98 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 juni 2006 - 13:54

Om te beginnen: dank voor alle reacties.

Ik wil even inhaken op het punt van Bart. Ik denk dat deze formule toch wel degelijk op zou moeten gaan. Het wordt namelijk niet afgeleid uit de Biot-Savart wet, maar als volgt:

Um=int(dUm) = 0.5LI^2 = 0.5*(mu0)*(n^2)*(A)*(l)*(B/(mu0*n))^2 = (B^2*A*l)/2mu0

(Wederom excuses voor de onoverzichtelijke formules mijnerzijds)

Bij deze afleiding (Uit "Physics for scientists and engineers, Paul Tipler) staat als onderschrift:

"Although we derived this by considering the special case of the magnetic field in a long solenoid, it is a general result. Whenever there is a magnetic field in space, the magnetic energy per unit volume is given by: B^2/2mu0.

Vanuit minder wetenschappelijk oogpunt bekeken: Deze vraag hoort bij deze paragraaf, en deze formule is de enige die voorkomt in deze paragraaf. Natuurlijk sta ik open voor iedere correcte oplosmethode, dat terzijde.

In een ander boek, dat van Cheng, "field and wave electromagnetics" wordt deze zelfde vraag opgelost met een lijnintegraal. Zo komen ze op hetzelfde antwoord als Tipler, maar het zou eenvoudiger moeten kunnen, gezien het feit dat in het boek van Tipler deze integraal helemaal niet voorkomt. Ik zal deze uitwerking later nog even plaatsen.

Dank voor de bijdragen, en nog steeds hopend op een duidelijke uitwerking, groeten,

Mark

#12

Jan van de Velde

    Jan van de Velde


  • >5k berichten
  • 44872 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 06 juni 2006 - 14:24

(Wederom excuses voor de onoverzichtelijke formules mijnerzijds)

probeer het eens in LaTeX. Een link voor een overzicht van de codes staat rechtsbovenaan je conceptberichtblok, en het is eenvoudiger dan het lijkt. :roll:

en ik kwam met jouw formules ook niet verder dan jouw resultaat.
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN....
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

#13

Bart

    Bart


  • >5k berichten
  • 7224 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 juni 2006 - 16:27

Tipler gaat er kort door de bocht. Verder geeft hij de magnetische energy per volume eenheid, maar dit geld alleen in homogene velden!

De correcte formule voor de magnetische energie is:
LaTeX

Heb je de vraagstelling trouwens letterlijk overgenomen. Zo niet, zou je de letterlijke vraagstelling (eventueel in het Engels) hier kunnen plaatsen. Ik heb namelijk het idee dat we iets verkeerds proberen uit te rekenen. Nu staat er trouwens ook een fout in de vraagstelling (stroom kan niet uniform worden verdeeld).
If I have seen further it is by standing on the shoulders of giants.-- Isaac Newton

#14

Mark-123

    Mark-123


  • >25 berichten
  • 98 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 juni 2006 - 17:36

De vraag is letterlijk:

"A long cylindrical wire of radius a = 2cm carries a current I = 80A uniformly distributed over its cross-sectional area. Find the magnetic energy per unith length within the wire"

In het andere boek waarnaar ik verwees zie ik dezelfde integraal terug die jij laat zien. Ik kan me echter niet voorstellen dat Tipler z'n vraagstukken uitwerkt met behulp van formules die niet in de hoofdstukken voorkomen. Tipler gaat op het gebied van EM trouwens inderdaad kort door de bocht, dat is waarom we (op de TU-Delft, elektrotechniek) nog aanvullingen gebruiken op het boek van Tipler. Ik ben zeer benieuwd naar de oplossing. Dank bij voorbaat.

Mark

PS; ik begrijp niet waarom de stroom niet uniform verdeeld zou kunnen zijn over een oppervlakte, maw, de oppervlaktestroomdichtheid J is over het gehele oppervlakte gelijk.?

#15

Bart

    Bart


  • >5k berichten
  • 7224 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 juni 2006 - 18:21

Ho! Dit is niet de vraag zoals jij hem stelde in je eerste bericht. Hier wordt gezegd dat de strom uniform verdeeld is over het doorsneevlak ('cross-sectional area') en dat is heel wat anders dan simpel oppervlak (de buitenkant van de draad)

PS; ik begrijp niet waarom de stroom niet uniform verdeeld zou kunnen zijn over een oppervlakte, maw, de oppervlaktestroomdichtheid J is over het gehele oppervlakte gelijk.?

Formeel gezien is de stroomdichtheid J uniform verdeeld (vectorveld). De stroom I kan dat niet, maar dat terzijde.

Voor de oplossing moet ik nog even puzzelen.
If I have seen further it is by standing on the shoulders of giants.-- Isaac Newton





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures