curl F

Marco van Woerden

Zij F een vectorveld van R^n naar R^n. Wat is de rotatie van dit vectorveld voor willekeurige n > 1? Of is deze alleen gedefinieerd voor n = 2 en n = 3?

TD

Interessante vraag.

Voor de gradiënt en de divergentie is het eenvoudig om uit te breiden naar n dimensies, het is immers respectievelijk gewoon de afleiden naar n variabelen en een scalair product.

Bij de rotatie (curl) is er echter een vectorieel product, hetgeen intrinsiek voor 3D gedefinieerd is (denk ook aan de 'rechterhandregel'). Er bestaat iets analoogs voor 7D maar niet voor de tussenliggende dimensies. Je kan daar wel varianten van een vectorieel product definiëren, maar het zal niet hetzelfde zijn. Dat leidt tot een verdere abstracte aanpak, meerbepaald in de Clifford algebra waar ik zelf niet veel van weet.

Na wat zoeken kwam ik wel de volgende uitbreiding tegen, voor curl(F) in d dimensies:

\({\mathop{\rm curl}no\limits} \left( F \right)_{ij} = \partial _{xj} F_i - \partial _{\xi} F_j \)

Voor d = 3 valt dit samen met de klassieke rotatie, in d dimensies heeft het \(C_2^d \) componenten.

Marco van Woerden

Dank je wel. Kun je die notatie iets verder toelichten? Ik begrijp dat

\(F_i\)

de i-de component van F is, maar wat doet bijvoorbeeld die x bij de kromme d?

TD

Ik vind de notatie ook niet geheel duidelijk, ook door het ontbreken van de eenheidsvectoren die je in deze som toch ergens verwacht.

Wellicht hanteert de auteur de verkorte 'Einstein notatie' die het sommeren over indices verkort schrijft door de indices te herhalen. Die notatie vind je wel via google.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

curl F

curl F

Re: curl F

Re: curl F

Re: curl F