Integraal berekenen door overgang op nieuwe coordinaten.

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Berichten: 2.589

Integraal berekenen door overgang op nieuwe coordinaten.

Hallo,

Afbeelding

Wie kan mij hierbij helpen wat doe ik fout? Groeten.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Integraal berekenen door overgang op nieuwe coordinaten.

Dit is een pittige, zelfs in poolcoördinaten. Je zal het moeten splitsen in twee integralen, want de grenzen voor r zijn anders van t gaande van 0 tot aan het snijpunt van de 2 krommen en dan vanaf dat snijpunt tot aan 45°. Je vindt twee keer 1/16, samen is dat 1/8.

Berichten: 2.589

Re: Integraal berekenen door overgang op nieuwe coordinaten.

ik dacht dat ik iets niet zag omdat die niet vereenvoudigde je zou dat denken als moet overgaan naar andere coordinaten.

Dus het is dan waarschijnelijk toch de volgende plot:

Afbeelding

Welke deelgebieden onderscheidt je?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Integraal berekenen door overgang op nieuwe coordinaten.

Van hoek 0 tot aan het snijpunt van de twee krommen, en dan verder tot aan het snijpunt met de recthte (hoek 45°). Je moet dit apart doen omdat r in het eerste gebied van 0 tot aan de eerste kromme gaat, en in het tweede gebied van 0 tot aan de tweede kromme.

Berichten: 2.589

Re: Integraal berekenen door overgang op nieuwe coordinaten.

Bedankt begin het te zien. ga hem morgen uitwerken en dan eronder posten.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Integraal berekenen door overgang op nieuwe coordinaten.

Ok, succes ermee. Morgen zien we wel hoe ver je geraakt.

Berichten: 2.589

Re: Integraal berekenen door overgang op nieuwe coordinaten.

ik moet dus om te beginnen deze gebieden onderscheiden:

Afbeelding

Dan dat snijpunt zoeken
\(x^2-y^2=1\)
en
\(yx=1\)
met dit dus
\(y^2=-1+x^2 \rightarrow y=\sqrt{-1+x^2}\)
en
\(y=\frac{1}{x}\)
dus
\(\sqrt{x^2-1}=\frac{1}{x}\)
volgt
\( x^2-1=x^{-2}\)
alleen zie ik het niet hoe ik hier uit die x moet berekenen.

Dan kan ik proberen dat eerst te transformeren naar poolcoordinaten
\(d^2\cos^2\theta-d^2\sin^2\theta=1\)
en ook
\(ds\inth\eta=\frac{1}{d\cos\theta}\)


en dus
\(\sqrt{\frac{1-d^2\cos^2\theta}{d^2}}=s\inth\eta\)
en dit dan gelijk stellen
\(\sqrt{\frac{1-d^2\cos^2\theta}{d^2}}=\frac{1}{d^2\cos\theta}\)
nu had ik graag ik deze uitdrukking in het linkerllid die wortel weggekregen maar die
\(d^2\)
speelt voor spelbreker.

Wat is fout? Groeten.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Integraal berekenen door overgang op nieuwe coordinaten.

Als je je vergelijking vermeniguldigt met x² krijg je een bikwadratische in x. Stel x² = y en je hebt gewoon een kwadratische in y. Oplossen, de positieve oplossing nemen en de vierkantswortel eruit nemen.
\(x^2 - 1 = \frac{1}{{x^2 }} \Leftrightarrow x^4 - x^2 = 1 \to y = x^2 \to y^2 - y = 1\)

Berichten: 2.589

Re: Integraal berekenen door overgang op nieuwe coordinaten.

idd dat is stom van mij
\(y^2-y-1=0\)
dus
\( y=\frac{1 ^+_-\sqrt{5}}{2}\)


dus
\(x=+\sqrt\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)
en
\(x=-\sqrt\frac{1-\sqrt{5}}{2}\)
hoe moet ik hier mee verder?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Integraal berekenen door overgang op nieuwe coordinaten.

Let op: enkel de eerste oplossing is juist, dat is de x-coördinaat van het snijpunt. Nu moet je het probleem opsplitsen in die twee delen en de grenzen voor r en t bepalen.

Berichten: 2.589

Re: Integraal berekenen door overgang op nieuwe coordinaten.

Ik kan hier eigenlijk vrij snel mee door rekenen
\( y*x=1 \)
dus
\(\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}} * \sqrt{\frac{2}{1+\sqrt{5}}}=1\)
dus ik ken doodgewoon mijn y waarde onmiddelijk dan bereken ik de norm
\(\frac{1+\sqrt{5}}{2}+\frac{2}{1+\sqrt{5}}}=\frac{(1+\sqrt{5})(1+\sqrt{5})}{2(1+sqrt{5})}+\frac{4}{2(1+\sqrt{5})}=N^2\)


dus ook
\( \frac{1+2\sqrt{5}+5+4}{2(1+\sqrt{5})}=\frac{10+2\sqrt{5}}{2(1+\sqrt{5})}=N^2\)


als ik nu die norm gevonden heb dan kan ik vrij snel die hoek berekenen dus eigenlijk niet meer zo moeilijk maar het zou eenvoudig zonder rekenmaschine moeten kunnen ben ik volledig fout?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Integraal berekenen door overgang op nieuwe coordinaten.

Je kan nog sterk vereenvoudigen:
\(N^2 = \frac{{10 + 2\sqrt 5 }}{{2\left( {1 + \sqrt 5 } \right)}} = \frac{{5 + \sqrt 5 }}{{1 + \sqrt 5 }} = \frac{{\left( {5 + \sqrt 5 } \right)\left( {1 - \sqrt 5 } \right)}}{{\left( {1 + \sqrt 5 } \right)\left( {1 - \sqrt 5 } \right)}} = \frac{{5 - 5 - 4\sqrt 5 }}{{ - 4}} = \sqrt 5 \Rightarrow N = 5^{\frac{1}{4}} \)

Berichten: 119

Re: Integraal berekenen door overgang op nieuwe coordinaten.

Ik weet niet of het gebruikvan poolcoordinaten verplicht is, maar je zou hier ook gebruik kunnen maken van hyperbolische functies. Dus i.pv. cos, cosh en i.p.v. sin, sinh. Het gebied waarover je moet integreren wordt dan eenvoudiger.

Berichten: 2.589

Re: Integraal berekenen door overgang op nieuwe coordinaten.

31 graden dus kan het ook excat uit het kopje? lukt mij langs geen kanten.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Integraal berekenen door overgang op nieuwe coordinaten.

Gewoon exact laten staan als inverse goniometrische waarde.

Reageer