Gamma functie convergentie.

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Berichten: 2.589

Gamma functie convergentie.

Hallo,

gegeven is mij de gamma functie
\(\tau(p)=\int_0^\propto e^{-t}t^{p-1}\)
waarbij ik verder weet dat een kenmerk als volgt luidt
\(0<=f(x)<=\frac{m}{x^{ a}}\)
waarbij a element is van 0 en 1 als ik nu kan aantonen dat de gamma functie op een dergerlijke manier begrensd is dan heb ik bewezen dat ze convergeert.

Nu een eerste poging bestaat er in
\(\int \frac{ t^{p-1}}{e^{t}}\)
nu moet ik alleen nog die
\( t^{p-1}\)
in een constante term zien te verwerken hoe doe ik dat ?

Groeten dank bij voorbaat.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Gamma functie convergentie.

De exponentiële functie domineert een rationale functie, dus voor x groot genoeg geldt:
\(t^{p - 1} e^{ - t} < t^{ - 2} \)
En 1/t² is convergent.

NB: de gamma functie noteer je met een hoofletter gamma, geen kleine letter tau en in je grens gebruik je 'propto' ipv oneindig.

Berichten: 2.589

Re: Gamma functie convergentie.

oké bedankt ik begrijp het ja die latex tekens heb ik nog niet volledig ondder de knie weet je soms wat propto betekent en waarom niet oneidig?

Groeten.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Gamma functie convergentie.

Komt van 'porportional to', dus evenredig met.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 2.589

Re: Gamma functie convergentie.

je kunt effectief
\(e^{-t}\)
weglaten en daar mee het geheel groter maken maar hoe kom je aan
\( t^{-2}\)
?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Gamma functie convergentie.

Dat is maar een afschatting, zoals je weet divergeert 1/x, maar convergeert 1/x^a van zodra a > 1, zoals 1/x².
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 2.589

Re: Gamma functie convergentie.

begrijp ik maar p moet toch groter dan 1 zijn dus kan er komen te staan bij p=2 t en als p=3 wordt t^2

zie je het probleem? Groeten.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Gamma functie convergentie.

Nee, ik zie het probleem niet. Die e^(-t) zal de rationale functie domineren.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 2.589

Re: Gamma functie convergentie.

dus we hebben
\(t^{p-1}e^{-t} = \frac{t^{p-1}}{e^{t}}\)
omdat
\(e^{t}\)
echt wel dominerd is geldt het volgende
\(\frac{t^{p-1}}{e^{t}}<t^{p-1}\)
ik maak het maw groter maar hoe heb je nu bewezen dat
\( t^{p-1}\)
Waar zit ik fout?

Gebruikersavatar
Lorentziaan
Berichten: 1.433

Re: Gamma functie convergentie.

Bert, ik geloof dat TD! dit bedoelde:
\(\frac{t^{p-1}}{e^{t}} \leq \frac{t^{p-1}}{t^{p+1}}\)
en dus
\(\frac{t^{p-1}}{e^{t}} \leq \frac{1}{t^2}\)
Dit omdat de e-macht elke willekeurige macht van t domineert wanneer t maar groot genoeg wordt. In het bovenstaande geval koos ik voor het gemak t^(p+1), omdat zo de machten leuk uitkwamen. En omdat de integraal van 1/(t^2) convergent is, is de integraal met de e-macht erin dat ook.

[edit]: Ik weet zo niet precies hoe ik limieten in TeX invul, maar bij die formules moet eigenlijk 'lim t--> oneindig' staan.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Gamma functie convergentie.

Inderdaad, dat geldt voor t voldoende groot, hetgeen volstaat voor de convergentie.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 2.589

Re: Gamma functie convergentie.

klopt maar je geraakt potvast als je het volgende doet
\( \frac{t^{p-1}}{e^t}<={t^{p-1}}\)
je moet dus weten dat
\( e^{t} \leq t^{p-1} \)
waarbij je dan je ding groter maakt door in de noemer de
\( e^{t} \)
vervangt door
\( t^{p-1}\)
dan maak je het ook groter en kom je er dus.

Bedankt Groeten.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Gamma functie convergentie.

Het geldt dus omdat e^x dominant is, formeler gezegd (met t een reëel getal):
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{x^t }}{{e^x }} = 0\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 2.589

Re: Gamma functie convergentie.

klopt begrijp het klopt mijn laatste redenering ook?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Gamma functie convergentie.

Die is me eerlijk gezegd niet helemaal duidelijk.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Reageer