Springen naar inhoud

exponentiŽle functie


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Volapuk

    Volapuk


  • 0 - 25 berichten
  • 1 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 01 oktober 2004 - 14:47

Dit is de opdracht: Een tas koffie koelt af volgens de vergelijking T'(t)=-k*T(t) (t is de tijd in minuten, T(t) de temperatuur in įC). Verder is de temperatuur na 2 minuten 64įC en na 5 minuten 48.5įC.

Maar nu weet ik niet hoe ik de afname moet vinden. Het moet iets zijn zoals: e^(-0.2348) Hoe moet ik deze waarde vinden?

Ik hoop dat ik het duidelijk heb verwoord.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2


  • Gast

Geplaatst op 01 oktober 2004 - 15:43

Kijk das nou een leuke vraag, dit soort vergelijkingen noemen we differentiaal vergelijkingen (DV). (In dit geval is de DV van de eerste orde omdat de hoogste afgeleide de eerste afgeleide is.)

We beginnen om alles even aan een kant v/h =teken te gooien:

T'(t) = -k*T(t) wordt:

T'(t) + k*T(t) = 0

Nu gaan we een beetje inzicht toepassen, vergelijkingen zoals hierboven hebben meestal een standaardvorm als oplossing, in dit geval:

T(t) = C*e^(at). (met C en a constanten)

Als we dat invullen in de vergelijking krijgen we:

a*C*e^(at) + k*C*e^(at) = 0

We zien nu dat a= -k.

Dus: T(t) = C*e^(-kt).

Nu nog de waarden van k en C, die worden bepaalt door de rand- of beginvoorwaarden.

Dus in dit geval: T(2) = 64 en T(5) = 48,5


Dat geeft dan:

T(2) = C*e^(-2k) = 64
(natuurlijke logaritme van beide zijden nemen)

ln(C*e^(-2k)) = ln(64)

ln© -2k = ln(64)

en voor de tweede voorwaarde:

T(5) = C*e^(-5k) = 48,5
(weer natuurlijke logaritme van beide zijden nemen)

ln(C*e^(-5k)) = ln(48,5)

ln© -5k = ln(48,5)

De eerste min de tweede geeft nu:

ln©-ln©-2k--5k = ln(64)-ln(48,5)
3k = ln(64/48,5)
k = 1/3*ln(64/48,5) = 0,092

Nu kun je deze waarde voor k invullen in een van de twee vergelijkingen om C op te lossen, ik kies hier even de bovenste:

T(2) = C*e^(-2*(1/3*ln(64/48,5)) = 64
En dat geeft dan voor C:
C = 64/(e^(-2*(1/3*ln(64/48,5))) = 76,997

En dat geeft dan voor T:

T(t) = 76,997*e^(-0,092t)

En nu ben ik zelf wel toe aan een tasje. :shock:





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures