Het is gewoon (makkelijk) rekenwerk. Ik gebruik (r,a) ipv (rho, theta), dat werkt sneller.
We hadden:
\(\frac{{dx}}{{dt}} = \frac{{dr}}{{dt}}\cos a - r\sin a\frac{{da}}{{dt}}\)
en
\(\frac{{dy}}{{dt}} = \frac{{dr}}{{dt}}\sin a + r\cos a\frac{{da}}{{dt}}\)
Dus:
\(\left( {\frac{{dx}}{{dt}}} \right)^2 + \left( {\frac{{dy}}{{dt}}} \right)^2 = \left( {\frac{{dr}}{{dt}}\cos a - r\sin a\frac{{da}}{{dt}}} \right)^2 + \left( {\frac{{dr}}{{dt}}\sin a + r\cos a\frac{{da}}{{dt}}} \right)^2 \)
Uitwerken van de kwadraten in het rechterlid:
\(\left( {\frac{{dr}}{{dt}}} \right)^2 \cos ^2 a - 2r\cos a\sin a\frac{{dr}}{{dt}}\frac{{da}}{{dt}} + r^2 \sin ^2 a\left( {\frac{{da}}{{dt}}} \right)^2 + \left( {\frac{{dr}}{{dt}}} \right)^2 \sin ^2 a + 2r\cos a\sin a\frac{{dr}}{{dt}}\frac{{da}}{{dt}} + r^2 \cos ^2 a\left( {\frac{{da}}{{dt}}} \right)^2 \)
De gemengde termen hebben een tegensteld teken en vallen weg:
\(\left( {\frac{{dr}}{{dt}}} \right)^2 \cos ^2 a + r^2 \sin ^2 a\left( {\frac{{da}}{{dt}}} \right)^2 + \left( {\frac{{dr}}{{dt}}} \right)^2 \sin ^2 a + r^2 \cos ^2 a\left( {\frac{{da}}{{dt}}} \right)^2 \)
Buitenbrengen van de afgeleiden en r²:
\(\left( {\frac{{dr}}{{dt}}} \right)^2 \left( {\cos ^2 a + \sin ^2 a} \right) + r^2 \left( {\frac{{da}}{{dt}}} \right)^2 \left( {\cos ^2 a + \sin ^2 a} \right)\)
Maar door de grondformule van de goniometrie vereenvoudigt dit tot:
\(\left( {\frac{{dr}}{{dt}}} \right)^2 + r^2 \left( {\frac{{da}}{{dt}}} \right)^2 \)
Voila!
