Bepalen kern

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer
Berichten: 51

Bepalen kern

Hoe bepaal ik de kern van bijvoorbeeld
\(\left[\begin{array}{cc}-1&2noalign{medslip}-1&2\end{array}\right]\)
? Ik heb wel gelezen dat je dat moet doen met een homogeen stelsel, ofwel de matrix gelijk stellen aan de 0 vector. Hoe doe ik dit nu? Alvast bedankt.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Bepalen kern

Voor een matrix A is de kern de verzameling van vectoren X waarvoor geldt: AX = 0.

Dan toch gewoon oplossen?

Berichten: 51

Re: Bepalen kern

Ok, dat heb ik geprobeerd. Ik maak er dus een homogeen stelsel van, door een kolom met nullen toe te voegen. Als ik dit nu oplos krijge ik als enige oplossing
\(-x+2y=0\)
, oftwel
\(x=2t\)
. Maar in het dictaat staat zoiets als
\(t\cdot\left(\begin{array}{c}21\end{array}\right)\)
als uitkomst. Hoe komen ze daaraan? Ik weet dat ze de
\(t\)
gebruiken om de vrije parameter aan te duiden.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Bepalen kern

Wel, je vind 2y-x = 0. Dus alles koppels (x,y) die daar aan voldoen zitten in de kern. Het is een vergelijking in twee onbekenden, die heeft oneindig veel oplossingen. Je kan die oplossingen parametreren: stel y = t, dan geldt:

2t-x = 0 <=> x = 2t

Dus oplossingen (2t,t) = t(2,1).

Berichten: 51

Re: Bepalen kern

Oke, denk ik het te snappen, kom ik ook niet uit het volgende voorbeeld. Hierbij wordt de kern berekend van de matrix
\(\left[\begin{array}{ccc}1&\frac{1}{3}&00&\frac{1}{5}&1\end{array}\right]\)
Deze kern zou moeten zijn:
\(t\cdot\left(\begin{array}{c}5-153\end{array}\right)\)
Ik zie dit helaas niet.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Bepalen kern

Los het homogene stelsel eens op, laat zien hoe ver je geraakt.

Berichten: 51

Re: Bepalen kern

Ik kom tot de volgende vergelijkingen, ik neem even z = t, net als bij de vorige:

(1/5)y + t = 0

y = -5t

x +(1/3)y = 0

x = (1/3)y = (-5/3)t

dus: x = (-5/3)t en y = -5t

Ik zie nu het verband niet tussen deze resultaten en
\(t\cdot\left(\begin{array}{c}5-153\end{array}\right)\)

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Bepalen kern

Je maakt een tekenfout bij het van lid wisselen van y/3 voor het oplossen van x, dat geeft +5/3t.
\(\left( {\begin{array}{*{20}c} {\frac{5}{3}s} { - 5s} s \end{array}} \right) = s\left( {\begin{array}{*{20}c} {\frac{5}{3}} { - 5} 1 \end{array}} \right) = \frac{1}{3}s\left( {\begin{array}{*{20}c} 5 { - 15} 3 \end{array}} \right)\)
Neem nu t = s/3.

Berichten: 51

Re: Bepalen kern

Oke, bedankt ik zie het. Verwarrend dat ze in het dictaat t=3s hebben gekozen. Dit staat namelijk nergens vermeld. Of hoeft dat ook niet, en liggen alle lineaire combinaties voor willekeurige t in de kern?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Bepalen kern

Die t is een reële parameter, elk veelvoud kan je daarin samennemen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Reageer