Springen naar inhoud

Priemgetallentest: "De Primo's"


  • Log in om te kunnen reageren

#1

goldsteen

    goldsteen


  • >100 berichten
  • 179 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 oktober 2004 - 10:05

Hoofdstukken:

Hoofdstuk 1 ....................... Inleidend onderzoek.

Hoofdstuk 2 ....................... Doorbraak: "Chaos verdwenen".

Hoofdstuk 3 ....................... Eenvoudige methode om priemgetallen te vinden: " De Primo's ".

--------------------------------------------------------------------------------------

Hoofdstuk 1

Inleidend onderzoek.

Priemgetallen hebben mensen al eeuwen bezig gehouden.
Wat zijn de patronen? Is er geen logica te definiëren.
Waarom is nog er geen antwoord op gevonden.
Steeds ingewikkelder computerprogramma’s vinden steeds grotere priemgetallen.
Records worden iedere keer weer gebroken.


Ik wil op deze site een onderzoeksproject starten naar de logica achter priemgetallen.

Wat zijn de randvoorwaarden:

1. We gaan uit van simpel te beredeneren vragen, we beginnen als het ware onderaan.
2. Gaandeweg kan het misschien iets ingewikkelder worden, maar bij iedere vraag zoeken we simpele methoden en simpele antwoorden.


Wat voor vragen gaan we stellen:

1. We proberen het onderwerp van alle kanten te bekijken en stellen dan vragen die de priemgetallen ook van andere kanten belichten b.v. als je vraagt:

a. “Wat is een priemgetal” Ook de vraag stellen:
b. “Wat is een priemgetal niet” Of:
c. “Wat is geen priemgetal”.

We proberen als het ware vragen te stellen, die andere misschien “vergeten” zijn.

Wat voor methoden gaan we toepassen:
1. Zelf te maken lijsten van priemgetallen.
2. Excel tabellen van getallen.
3. Grafieken om punten in uit te zetten.
4. Vergelijkende onderzoeken.
5. Eventueel formules.
6. Trial en error methodes.

Hieronder ga ik vast de eerste aanzet t.b.v. het onderzoek doen.

Eerste vraag:
Wanneer is een getal een priemgetal?
Op school hebben we geleerd dat een getal een priemgetal is als het alleen deelbaar is door zichzelf en door 1.

Dus kan ik ook vragen:
Wanneer is een getal géén priemgetal:

Maak ik de eerste lijst van priemgetallen.
1,2,3,5,7,9,11,13,17,19,23,29.

Kan ik priemgetallen met het blote oog herkennen? De getallen in bovenstaand lijstje zijn nog wel te doen. Maar naarmate de getallen groter worden, wordt het moeilijker.
Volgens de randvoorwaarden van ons project moeten we op zoek naar simpele methoden.
Van welke getallen weten we dat het géén priemgetallen zijn?
Alle even getallen (behalve 2) en alle getallen eindigend op 5, deze herkennen we ook direct.
Hoe zit het dan met de overige getallen?

Kijk ik nog een keer naar bovenstaand lijstje dan zie ik het getal 2 dit is een even getal, hier moet dus iets mee aan de hand zijn.
Hoe is dit lijstje opgebouwd. Kijk ik nog een keer naar de definitie van priemgetallen en lees deze nogmaals aandachtig dan valt me op dat het over “delen” gaat.
Wat me ook opvalt is dat de definitie is “Alle getallen alléén deelbaar door 1 en door zichzelf”. Maar alle getallen zijn deelbaar door 1 en door zichzelf. Hier schiet ik dus niet veel mee op.
Wat dan?
Wanneer is een getal alleen deelbaar door zichzelf en door 1.
Kijk ik nog een keer naar de getallen die geen priemgetallen zijn van 0 beginnend, Bijvoorbeeld 4 is deelbaar door 1,2,4, waarvan 1 en 2 priemgetallen zijn.
Ander voorbeeld 6 is deelbaar door 1,2,3,6 waarvan 1,2 en 3 priemgetallen zijn.
Volgende 8, deze is deelbaar door 1,2,4,8 waarvan 1 en 2 priemgetallen zijn.

Nu een volledige reeks met ook de niet priemgetallen.
1,2,3, 4 niet, 5, 6 niet, 7, 8 niet, 9 niet, 10 niet, 11, 12 niet, 13, 14 niet, 15 niet, 16 niet, 17.

Wat gebeurt hier?
Ik kijk nog eens goed. Wat valt me op, ja : ieder hoger priemgetal in de reeks is een getal dat niet deelbaar is door een voorgaand.

Ik voeg een nieuwe definitie toe.

“Een getal is een priemgetal als het niet deelbaar is door een priemgetal lager in de reeks.”

Dit is wel een leuke toevoeging en kan misschien helpen voor een computer, maar voor een normaal mens, helpt het niet bij het beter herkennen van priemgetallen.
Oké, “delen door” gaan we bekijken per getal van 0 af.

De getallen deelbaar door 0 zijn geen probleem, want dit mag niet.
De getallen deelbaar door 1 zijn geen probleem, want dit zijn alle getallen.
De getallen deelbaar door 2 zijn geen probleem want dit zijn alle even getallen.
De getallen deelbaar door 3 zijn …. een probleem, want deze herken ik niet met het blote oog.
Hier moet ik dus een andere methode voor bedenken.

Ik ga een excellijst maken van de oneven getallen en ik ga iets ongebruikelijks doen. We hebben allemaal wel eens van numerologie gehoord.
Welnu ik ga priemgetallen numerologisch benaderen.
Om aan te geven hoe numerologie werkt: als voorbeeld het getal 317, de numerologische som van de getallen waaruit 317 is opgebouwd is 3+1+7=11 en 1+1=2. Het getal 317 geeft dus een numerologische som van 2.

Onderstaand de excellijst:

http://groups.msn.co...Photo&PhotoID=1

Wat me opvalt is dat alle getallen met de numerologische som 3 of een veelvoud van 3 geen priemgetallen zijn (behalve 3 zelf).

Ik probeer dit uit op grotere getallen:

http://groups.msn.co...Photo&PhotoID=2

http://groups.msn.co...Photo&PhotoID=3

Eenvoudiger is nog het aantal van ieder getal met zichzelf vermenigvuldigen en deze dan bij elkaar op te tellen. Voor het bovenste getal geldt dan: 4x3=12 en 3x4=12 en 2x8=16 en 2x9=18 en 1x5=5 en 1x1=1. De som is dan 12+12+16+18+5+1=64 en 6+4=10 en 10=1

Ik kan dus een regel aan de definitie toevoegen:

“De numerologische som van een oneven getal deelbaar is door 3 met uitzondering van 3 zelf.”

Dit is natuurlijk een belachelijk omslachtige manier. Ik kan net zo goed een spreadsheet gebruiken en het getal hierop invullen en delen door 3, maar ik ben op zoek naar patronen.

Deze methode helpt ook nog niet direct om direct priemgetallen te herkennen.

Volgende methode:

Ik maak een excellijst met hierin van boven naar beneden de getallen 1 t/m 30 en van links naar rechts ook 1 t/m 30 en zet hierin af punten die de mogelijke delingen van een getal vertegenwoordigen.

http://groups.msn.co...Photo&PhotoID=4

Hierin zijn duidelijk patronen zichtbaar:
Als je de punten en de lijst in verticale zin beschouwt valt op dat ze per getal regelmatig verspringen.
Ook zie je schuine lijnen.

Dit ziet er allemaal heel logisch uit.
Ik zou de lijnen in autocad uit kunnen zetten en eens kunnen kijken of ik de priemgetallen hiermee kan bepalen.

http://groups.msn.co...Photo&PhotoID=5

Met autocad kan ik het coordinatenstelsel draaien zo ik wil. Ik stel deze bijvoorbeeld gelijk met de buitenste rij punten.

http://groups.msn.co...Photo&PhotoID=6

http://groups.msn.co...Photo&PhotoID=7

Zo kan ik ze met een autocadcommando waarmee je de punten in één keer een aantal keren achter elkaar en met de juiste afstand t.o.v. elkaar, in een bepaalde richting, kopiëren.

Hierbij met een gedraaid coördinaten systeem een deel van dit resultaat:

http://groups.msn.co...Photo&PhotoID=8

Conclusie:
1. Hier zijn duidelijk patronen aanwezig.
2. De onderlinge afstanden tussen de lijnen worden kleiner, naarmate ze meer parallel aan de onderste as lopen.

Nu moeten ik onderzoeken of ik hier een kwadratische functie mee kan bepalen.

De gebruikelijke methode om van meetgegevens de functie te bepalen is ze in grafieken uit te zetten. Je probeert dan de grafiek te vinden, die een rechte lijn geeft. Dan kan de uitkomst een exponentiële, logaritmische of machtsfunctie zijn.

Met de Autocadtekening blijkt dat we al een rechte lijn hebben.

De volgende stap die ik genomen heb, is daarom dat ik in de autocadtekening vanuit het punt van de priemgetallen een verticale lijn naar de “x-as” heb getrokken.
Hierna heb ik de maten tussen de lijnen onderling gemeten met het volgende resultaat:

http://groups.msn.co...hoto&PhotoID=11

Wat opvalt is dat de afstanden horizontaal gemeten altijd maar 3 getallen vertegenwoordigen namelijk 2, 4 en 6.

1. Dit zijn alle veelvouden van 2.
2. Wat ook nog het eerste priemgetal is.

Nu wil ik kijken of ik hier een terugkerend patroon in kan vinden.

Er staat nooit een 6 naast een 6, maar het valt nog niet mee om een patroon te herkennen.

Na nog wat trial en error methoden. Krijg ik het idee om het met een golfbeweging te proberen.

Ik maak een nieuwe tekening en zet hierin precies tussen de priemgetallen, in het midden van de intervallen 2, 4 of 6 een lijn omhoog met de hoogte corresponderend met de waarde van het interval:
Dan verbind ik de punten met een “spline” (dit is een autocadcommando waar je golven mee kunt tekenen.)
Om dit te bekijken kun je op volgende link klikken:

http://groups.msn.co...hoto&PhotoID=12

Ik bestudeer het patroon.
1. De golf begint met 1 heel kleintje en een kleine vanuit het eerste priemgetal.
2. Dan 1 kleine, 2 grote, 1 kleine, 2 grote, 1 kleine, 2 grote, 1 kleine, 2 grote, 2 kleine, 2 grote.

Het is dus een héél regelmatige golfbeweging.

Kan ik aan de hand hiervan nu voorspellen waar de priemgetallen zich verderop in de reeks bevinden?

Een paar probeersels:

Ik heb een maat gezet aan het begin van de eerste grote golf bij priemgetal 23 en een eerste grote golf 120 verderop in de reeks bij priemgetal 143. Als het klopt zou er een priemgetal op een veelvoud van 120 moeten zitten.

B.v. 500x120=60000 + 23= 60023

Ik zet een maat in priemgetal 37 aan het einde van de tweede grote golf met een maat van 60 aan in priemgetal 97 die ook aan het einde van een grote golf staat.
En ik kopieer deze maat nog een keer 60 verder.

Dan zou het ook moeten kloppen dat er een priemgetal zit op een veelboud van deze maat:

B.v.: 70.000.000 x 60 = 4200.000.000+37=4200.000.037

Kan ik nu de verzameling van alle priemgetallen bepalen?
Hoef ik alleen nog maar op twee golven te meten om de basispriemgetallen te vinden?

De basisverzameling voor alle positieve priemgetallen zou dan bestaan uit twee aparte delen n.l. :

De Eerste basisverzameling {2, 3 en 5} en

De Tweede basisverzameling is {7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31}

Alle overige positieve priemgetallen zijn een veelvoud van 30 + een lid van de tweede basisverzameling.

Om dit te bekijken kun je op de volgende link klikken:

http://groups.msn.co...hoto&PhotoID=13

Of in formulevorm 30x + y.

Waarbij de waarde van (x) voor alle positieve priemgetallen: alle gehele getallen groter dan 0.
En y een lid is van de tweede basisverzameling.

Dit blijkt niet te kloppen:
Het blijkt dat de veelvouden in sommige gevallen deelbaar zijn door één van de voorgaande priemgetallen uit de reeks.

Wat het patroon hiervan is dien ik nu te onderzoeken.
Waar ik mee begin is oplopend de x-factor te verhogen en het totaal met het basispriemgetal 7 te delen.
Ieder resultaat wat deelbaar is door 7 kopieer ik en zet onder elkaar in een lijstje ernaast.
Deel van dit resultaat zie je op de volgende afbeelding:

http://groups.msn.co...hoto&PhotoID=14

Dan maak ik een nieuw lijstje waarbij ik met x-factor 300 vermenigvuldig en het totaal door de basispriemgetallen deel.
Hiervan de volgende afbeelding:

http://groups.msn.co...hoto&PhotoID=15

Het blijkt dat de veelvouden in sommige gevallen deelbaar zijn door één van de voorgaande priemgetallen uit de reeks.

Na het uitproberen van het een en ander besluit ik een spreadsheet te maken dat er als volgt uitziet:

http://groups.msn.co...hoto&PhotoID=16

Hierin zet ik per groep in de laatste kolommen een formule om de niet priemgetallen makkelijk te herkennen:

=ALS(E2/F2>AFRONDEN.NAAR.BENEDEN(E2/F2;0);E2/F2;"geen")

Linksbovenaan zet ik de deelfactor die ik met koppelingen in de rest van het spreadsheet verwerk, zodat ik in korte tijd alle delingen op de priemgetallen van de tweede verzameling kan testen.

Het resultaat zet ik in de rechtse kolom.

Dan pas ik de autocadtekening aan:

http://groups.msn.co...hoto&PhotoID=17

Het beeld wordt steeds chaotischer, het lijkt wel een kabbelende zee.

De enigste regelmaat die ik hier uit kan halen is dat alle intervallen een veelvoud van 2 zijn.
Maar dit is natuurlijk logisch want het zijn allemaal oneven getallen eindigend op 1, 3, 7 en 9.

Bovendien mis ik ook nog nietpriemgetallen b.v. 201 staat niet in de lijst en deze is deelbaar door 3 en 67.

Terug van dit dwaalspoor dan maar. Het wordt er ook allemaal niet eenvoudiger op.

Nog maar eens kijken naar de getallen. Welke “regels” zijn er nu ook weer:

1. Een getal is een priemgetal als het alleen maar deelbaar is door zichzelf en door één.
2. Een getal is een priemgetal als het niet deelbaar is door een priemgetal voorafgaand aan dit getal.

De “herkenbare” niet priemgetallen:

3. Alle even getallen, behalve 2, zijn geen priemgetallen.
4. Alle getallen eindigend op 5 zijn geen priemgetallen, behalve 5.

De “niet herkenbare” priemgetallen:
1. Alle getallen eindigend op 1.
2. Alle getallen eindigend op 3.
3. Alle getallen eindigend op 7.
4. Alle getallen eindigend op 9.

Dit is dus de groep die getest moet worden.

Begin ik dan maar weer met een reeks van 1.

1, 11, (21), 31, 41, 51, 61, 71, (81), (91), 101, 111, (121), 131, 141, 151, (161), 171, 181, 191, (201), 211, 221, (231), 241, 251, (261), 271, 281, (291), 301, 311, (321), 331, (341), (351), 361, 371, (381), (391), 401, 411, 421, 431, ….,

Deze getallen hoef ik alleen maar te testen op delen door 3, 7, 13, 17, 23, 27, 29, en 31.
En voor 21 t/m 381 is het nog betrekkelijk eenvoudig: trek 21 of 11 van het getal af en kijk of het een veelvoud van 3, 7 of 11 is, dit kan ik uit het “blote hoofd”. Bij het getal moet ik al weer delen door 17 en dit maakt het al weer lastiger.

Wel zijn alle niet priemgetallen in deze reeks een combinatie van 2 voorgaande priemgetallen.

Nog niet veel verder dus.

--------------------------------------------------------------------------------------

Hoofdstuk 2

Doorbraak: "Chaos verdwenen".

Datum 10-10-2004.


Ik ga proberen een priemgetallentest te ontwikkelen.

Op alle getallen die een veelvoud van 2 zijn hoef ik niet te testen.
Op alle getallen die eindigen op 5 hoef ik ook niet te testen, getallen deelbaar door 5 of een veelvoud van 5 eindigen n.l. altijd op 0 of 5.

Zo vallen er al een hoop af.

Behalve 2 en 5 eindigen alle overige priemgetallen op 1, 3, 7 en 9.

Ik maak nu een spreadsheet waarin ik voor de 4 overgebleven eindgetallen 1, 3, 7, en 9 aparte kolommen maak en per kolom, het getal oplopend met 10 verhoog.

Bovendien zet ik bovenin het spreadsheet een getal dat ik met koppelingen links van de te testen getallen zet, hierdoor hoef ik alléén dit nummer maar te veranderen om alle getallen te testen.
Dan zet ik rechts naast de te testen getallen de formule (Deze is voor cellen in rij 4 die je naar beneden toe kunt kopieren):

=ALS(B4/A4>AFRONDEN.NAAR.BENEDEN(B4/A4;0);B4/A4;"geen")

Deze zet ik erin om beter te kunnen zien welke getallen na deling gehele getallen zijn.

Als ik het op deze manier doe krijg ik een opmerkelijke regelmaat, zie hiervoor een paar stukken van het spreadsheet met een test op de getallen gedeeld door 3 en gedeeld door 7:

http://groups.msn.co...hoto&PhotoID=18

http://groups.msn.co...hoto&PhotoID=19

De intervallen komen nu precies overeen met het getal waardoor ik deel.

En weg is de chaos.

--------------------------------------------------------------------------------------

Hoofdstuk 3

Nieuwe eenvoudige methode om priemgetallen te vinden: " De Primo's ".

Datum 11-10-2004.


Dan nu een simpele manier om priemgetallen “met de hand” of met behulp van het bovenstaand beschreven spreadsheet te vinden.

Deze methode kun je zelfs gewoon “in het veld” toepassen en je hoeft nauwelijks te kunnen rekenen.

Schrijf, liefst op ruitjespapier met ruitjes van 1 cm hoogte, in 4 kolommen naast elkaar, bovenaan beginnend, van links naar rechts de cijfers 1, 3, 7 en 9.
Schrijf hieronder van links naar rechts de voorgaande genoteerde cijfers verhoogt met 10 dus:
11, 13, 17, 19.
Herhaal dit proces naar onder toe laat zeggen tot en met 1001 , 1003, 1007, 1009.

We strepen dan eerst 1 weg.

Dan beginnen we met het wegstrepen van alle getallen die deelbaar zijn door 3, behalve 3 zelf want dit is een priemgetal en deze willen we juist vinden. Deze omcirkelen we.
Het enigste wat je verder hoeft te doen, is in alle kolommen het eerste getal dat deelbaar is door 3: van links naar rechts respectievelijk 21, (3 omcirkelen), 27 en 9 weg te strepen en dan alle getallen die met hartafstand van 3 cm onder deze getallen liggen (dus drie cijfers naar beneden tellen en dat zijn dan de cijfers 51, 33, 57 en 39) en dan weer alle getallen die met hartafstand 3 cm onder de laatst weggestreepte liggen enzovoort.

Dan de volgende stap.

Als je alles volgens de vorige stap hebt weggestreept dan is het laagst overgebleven cijfer: 7.
Dit is een priemgetal en omcirkelen we, maar alle 7-vouden strepen we weg.
We hoeven hiervoor alleen maar in iedere kolom naar de eerst mogelijke veelvoud van 7 te zoeken en vanaf hier iedere keer 7 getallen verder omlaag te tellen of met hartafstand 7 cm omlaag te meten en weer weg te strepen.

Dan is het laagst overgebleven cijfer 11 en we herhalen dezelfde stappen als voor 7 alleen moeten we nu 11 verder tellen of meten en omcirkelen we 11 zelf.

Dan 13, dan 17, dan 19, dan 23, dan 29, dan 31, dan 37, dan 41, dan 43, dan 47 enzovoort.

Je hoeft maar tot het priemgetal wat net boven 1/3 x1009 = 331 zit te testen, omdat alle priemgetallen hierboven geen veelvouden binnen dit getallengebied geven.

Of als voorbeeld een gebied van 309 getallen:
309/3 = 103 en dit is ook een priemgetal en dus ook het getal waarop ik van 3 t/m 309 nog net moet testen om alle priemgetallen binnen dit gebied te vinden.

Een voorbeeld hiervan tot 309 kun je hier zien:

http://nl.msnusers.c...hoto&PhotoID=21

Naarmate we hoger komen in de reeks hoeven we ook minder te strepen, omdat de intervallen groter worden.

Als we helemaal klaar zijn met wegstrepen van alle veelvouden van de "laagstovergeblevenen" zijn alle overgebleven getallen, de priemgetallen binnen het gebied van 0 t/m 1009.

En met heel weinig rekenwerk.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 oktober 2004 - 13:53

Nu kan ik de verzameling van alle priemgetallen bepalen.
Ik hoef alleen nog maar op twee golven te meten om de basispriemgetallen te vinden.

De basisverzameling voor alle positieve priemgetallen bestaat uit twee aparte delen n.l. :

De Eerste basisverzameling {2, 3 en 5} en

De Tweede basisverzameling is {7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31}

Alle overige positieve priemgetallen zijn een veelvoud van 30 + een lid van de tweede basisverzameling.

Maar voor die conclusie had je toch niet al die toestanden met die golven voor hoeven gebruiken: neem even 30x+y met 0<=y<30. 30 is een 2-voud, dus 30x+y is geen priemgetal als y een 2-voud is, en idem voor 3 en 5. Alle niet-priemgetallen onder de 30 een 2-, 3- of 5-voud zijn (want het kleinste niet-priemgetal zonder factor 2,3 of 5 is 7*7=49). Dus als 30x+y priem is, moet y ofwel 1 ofwel een priemgetal >= 7 zijn.

Omgekeerd is 30x+y (met y een priemgetal y>=7) natuurlijk ook niet altijd priem. Bij iedere x die zelf een veelvoud van y is, is 30x+y zelf een y-voud, en ook in andere gevallen gaat het vroeg of laat gegarandeerd mis (30*17+7 bijvoorbeeld).


(...)
Als het klopt zou er een priemgetal op een veelvoud van 120 moeten zitten.

B.v. 500x120=60000 + 23= 60023

Ik zet een maatstreep in priemgetal 37 aan het einde van de tweede grote golf met een maat van 60 naar priemgetal 97 die ook aan het einde van een grote golf staat.
En ik kopieer deze maatstreep nog een keer 60 verder.

Dan voorspel ik dat er een priemgetal zit op een veelvoud van deze maat:

B.v.: 70.000.000 x 60 = 4200.000.000+37=4200.000.037

Ik begrijp niet helemaal hoe je op deze manier priemgetallen voorspelt, maar volgens mij is het niet goed. 60023 is geen priemgetal (deelbaar door 193). 4200000037 toevallig wel, maar neem je bijvoorbeeld 90 miljoen i.p.v. 70 miljoen dan krijg je 90.000.000 x 60 = 5400000000 + 37 = 5400000037 dan is dat weer geen priemgetal (deelbaar door 17).

Sowieso kan <ieder groot getal>*A+B niet altijd een priemgetal opleveren, want als dat grote getal een B-voud is gaat het al mis (de uitkomst is dan ook een B-voud).

Misschien heb je hier iets aan: het aantal priemgetallen onder de N ligt (vanaf N>55) tussen N/((log N)+2) en N/((log N)-4). Daarmee heb je een redelijke afschatting voor de dichtheid/groei van het aantal priemgetallen. Maar een periodieke manier om priemgetallen te vinden bestaat niet; voor iedere N liggen er tussen N!+2 en N!+N namelijk geen priemgetallen, dus de maximale lengte van priem-loze intervallen is oneindig.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#3

goldsteen

    goldsteen


  • >100 berichten
  • 179 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 oktober 2004 - 18:55

Maar voor die conclusie had je toch niet al die toestanden met die golven voor hoeven gebruiken: neem even 30x+y met 0<=y<30. 30 is een 2-voud, dus 30x+y is geen priemgetal als y een 2-voud is


Ik wil het toch graag op deze manier visualiseren.

y is lid van de tweede basisverzameling dus y is niet groter dan 7 maar 7,11,13,17,19,23,29,31.
Overigens klopt de formule inderdaad niet.

Dit heb ik in het vervolg van het stuk al aangepast.

Misschien heb je hier iets aan: het aantal priemgetallen onder de N ligt (vanaf N>55) tussen N/((log N)+2) en N/((log N)-4). Daarmee heb je een redelijke afschatting voor de dichtheid/groei van het aantal priemgetallen. Maar een periodieke manier om priemgetallen te vinden bestaat niet; voor iedere N liggen er tussen N!+2 en N!+N namelijk geen priemgetallen, dus de maximale lengte van priem-loze intervallen is oneindig.


Ga ik proberen, bedankt voor de tip.

Had je deze ook al gelezen? Een Indiase professor en twee studenten hebben een algoritme bedacht die (dan wel met computer) heel snel (alle?) priemgetallen benadert klik op deze link om dit te lezen:

http://www.xs4all.nl...iemgetallen.htm

en hier:

http://www.cse.iitk.ac.in./

moet ergens het wetenschappelijk artikel erover te vinden zijn.

#4


  • Gast

Geplaatst op 09 oktober 2004 - 21:35

Misschien heb je wat aan dit boekje over Priemgetallen:

http://www.amazon.co...089643?v=glance

#5

goldsteen

    goldsteen


  • >100 berichten
  • 179 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 oktober 2004 - 23:27

Misschien heb je wat aan dit boekje over Priemgetallen:


Ga ik zeker kopen.

Maar ik ben inmiddels ook een héél stuk verder.

Zie hiervoor de laatste edit aan het stuk boven.

#6

Red BoriZ

    Red BoriZ


  • >100 berichten
  • 215 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 oktober 2004 - 09:26

Zelf zit ik hier ook vaak mee in de knoop.

Als je naar een reeks priemgetallen kijkt gaan ze steeds verder van elkaar staan, misschien is daar een functie in te ondekken (bijv. een wortelfunctie of een omgekeerde exponent), maar zelf heb ik niet vaak de moeite ervoor genomen dit te onderzoeken.

BTW 9 is geen priemgetal (deelbaar door 3) en als er ooit een functie of ritme in priemgetallen zal komen zullen de eerste (3, 5, 7) getallen uit de reeks waarschijnlijk weggelaten moeten worden, want zij vormen een lineaire functie.

Ik heb nu vakantie dus ik kan er weer eens naar kijken.
"Reality is that which, when you stop believing in it, doesn't go away."

- Philip K. Dick

#7

goldsteen

    goldsteen


  • >100 berichten
  • 179 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 oktober 2004 - 12:11

Zelf zit ik hier ook vaak mee in de knoop.

Als je naar een reeks priemgetallen kijkt gaan ze steeds verder van elkaar staan, misschien is daar een functie in te ondekken (bijv. een wortelfunctie of een omgekeerde exponent), maar zelf heb ik niet vaak de moeite ervoor genomen dit te onderzoeken.

BTW 9 is geen priemgetal (deelbaar door 3) en als er ooit een functie of ritme in priemgetallen zal komen zullen de eerste (3, 5, 7) getallen uit de reeks waarschijnlijk weggelaten moeten worden, want zij vormen een lineaire functie.

Ik heb nu vakantie dus ik kan er weer eens naar kijken.


Fantastisch ! Zou je dan ook eens naar mijn laatste methode willen kijken en je mening hierover willen geven?

#8

Red BoriZ

    Red BoriZ


  • >100 berichten
  • 215 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 oktober 2004 - 12:27

Ik zie in je laatste theorie al dat je het te ver zoekt. Als je een wortel wil ontcijferen moet vooral het begin onderzoeken.

Eerlijk gezegd ben ik toevallig op mijn theorie gekomen.
"Reality is that which, when you stop believing in it, doesn't go away."

- Philip K. Dick

#9

goldsteen

    goldsteen


  • >100 berichten
  • 179 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 oktober 2004 - 13:24

Ik zie in je laatste theorie al dat je het te ver zoekt. Als je een wortel wil ontcijferen moet vooral het begin onderzoeken.

Eerlijk gezegd ben ik toevallig op mijn theorie gekomen.


Je moet het natuurlijk niet, maar maak nou eens een spreadsheet, zoals ik aangeef en probeer het nou eens echt !

#10

Red BoriZ

    Red BoriZ


  • >100 berichten
  • 215 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 oktober 2004 - 13:35

Oké

Ik heb een soort ritme weten te ondekken en nog een vuistregel.

Maak een grafiek met 17 x waarden en 55 y waarden
Op de x-as komt priemgetal 1 pg 2 pg 3 enz.
Op de y-as komt de waarde van pg 1 en pg 2 en pg 3 enz.
Teken de grafiek..........klaar? mooi gaan we verder.

Nu zul je zien dat het een (ik noem het maar) een "hikkende exponent" is. De hikjes worden steeds groter en gaan steeds verder van elkaar staan.

Ik vrees dat dit in de oneindigheid doorgaat met die hikjes, want ze zien er in de grafiek goed geordend uit en in een priemformule kun je het getal oneindig niet invullen. Dus ik vrees dat alles niet werkt. :shock: Als ik echt tijd heb ga ik nog eens een mega-grafiek maken om dit te controleren, maar ook dat zie ik somber in.


Maar zoals beloofd de nieuwe vuistregels ;) :

- Als je een priemkanshebber hebt gevonden deel hem door 2 en tel er een half bij op. Deel het echte getal nu alleen door de getallen onder het getal van net, want als je er boven zit zou je een uitkomst moeten krijgen van eronder en die zou je dan daarvoor al zijn moeten opgevallen met berekenen. Je kunt het natuurlijk wel altijd doen voor een dubbelcheck
"Reality is that which, when you stop believing in it, doesn't go away."

- Philip K. Dick

#11

goldsteen

    goldsteen


  • >100 berichten
  • 179 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 oktober 2004 - 14:05

Oké

Ik heb een soort ritme weten te ondekken en nog een vuistregel.

Maak een grafiek met 17 x waarden en 55 y waarden
Op de x-as komt priemgetal 1 pg 2 pg 3 enz.
Op de y-as komt de waarde van pg 1 en pg 2 en pg 3 enz.
Teken de grafiek..........klaar? mooi gaan we verder.

Nu zul je zien dat het een (ik noem het maar) een "hikkende exponent" is. De hikjes worden steeds groter en gaan steeds verder van elkaar staan.

Ik vrees dat dit in de oneindigheid doorgaat met die hikjes, want ze zien er in de grafiek goed geordend uit en in een priemformule kun je het getal oneindig niet invullen. Dus ik vrees dat alles niet werkt.  :shock: Als ik echt tijd heb ga ik nog eens een mega-grafiek maken om dit te controleren, maar ook dat zie ik somber in.


Maar zoals beloofd de nieuwe vuistregels ;) :

- Als je een priemkanshebber hebt gevonden deel hem door 2 en tel er een half bij op. Deel het echte getal nu alleen door de getallen onder het getal van net, want als je er boven zit zou je een uitkomst moeten krijgen van eronder en die zou je dan daarvoor al zijn moeten opgevallen met berekenen. Je kunt het natuurlijk wel altijd doen voor een dubbelcheck


Je hebt het nog steeds niet geprobeerd.

#12

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 oktober 2004 - 14:18

Maar zoals beloofd de nieuwe vuistregels :shock: :

- Als je een priemkanshebber hebt gevonden deel hem door 2 en tel er een half bij op. Deel het echte getal nu alleen door de getallen onder het getal van net, want als je er boven zit zou je een uitkomst moeten krijgen van eronder en die zou je dan daarvoor al zijn moeten opgevallen met berekenen. Je kunt het natuurlijk wel altijd doen voor een dubbelcheck

Dat kan een stuk efficiënter hoor: je hoeft maar t/m de wortel (afgerond naar beneden) te controleren ;)
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#13

Red BoriZ

    Red BoriZ


  • >100 berichten
  • 215 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 oktober 2004 - 15:34

Bedankt voor de correctie Rogier

Maar GS ik kijk nou wel de hele tijd maar ik snap niet WAT ik moet proberen.
"Reality is that which, when you stop believing in it, doesn't go away."

- Philip K. Dick

#14

goldsteen

    goldsteen


  • >100 berichten
  • 179 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 oktober 2004 - 10:38

Bedankt voor de correctie Rogier

Maar GS ik kijk nou wel de hele tijd maar ik snap niet WAT ik moet proberen.


Ik had je bericht niet eerder gelezen, gistermiddag moest ik weg.

Ik kan me voorstellen dat je de bomen niet meer ziet.

Wat ik graag zou willen dat je probeert is de test die ik in het stuk (nu met vette letters en onderstreept) vanaf Hoofdstuk 3 Nieuwe eenvoudige methode om priemgetallen te vinden: " De Primo's " Datum 11-10-2004. beschrijf.

Eventueel om het jezelf makkelijker te maken een spreadsheet te maken, zoals ik die beschrijf vanaf Hoofdstuk 2 Doorbraak: "Chaos verdwenen" Datum 10-10-2004. en die naast je geschreven of geprinte versie van de kolommen, (1,3, 7 en 9 ) allen met iedere keer 10 opgehoogd, te gebruiken.

#15

Red BoriZ

    Red BoriZ


  • >100 berichten
  • 215 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 oktober 2004 - 13:53

Dat is een hele leuke manier en bespaard je iid veel rekenwerk, maar als we in de miljarden gaan lopen denk ik niet dat het zoveel aan werk scheeld.
"Reality is that which, when you stop believing in it, doesn't go away."

- Philip K. Dick





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures