De differentiaal is een infinitesimaal klein 'stukje' van de kromme, net zoals dx een infinitesimale lengte in de x-richting is, wanneer we gewoon naar x integreren.
Even in het kort, intuïtief. Als er een kromme
\(\vec f\) gegeven is, en je wilt daarvan de booglengte (zal ik
\(\ell\) noteren) tussen a en b, dan ga je dus met een integraal sommeren over allemaal kleine stukjes van f die je natuurlijk positief aanrekent; je sommeert dus over infinitesimale |df|'s. Als je al deze kleine stukjes kromme optelt (infinitesimaal klein, vandaar continu integreren en niet gewoon sommeren), dan krijg je de lengte:
\(\ell = \int\limits_a^b {\left| {d\vec f} \right|} \)
Veronderstel dat er van
\(\vec f\) een parametrisatie gegeven is in t, dus
\(\vec f\left( t \right)\), dan geldt:
\(d\vec f = \frac{{d\vec f}}{{dt}}dt \to \ell = \int\limits_{t_1 }^{t_2 } {\left| {\frac{{d\vec f}}{{dt}}} \right|} dt = \int\limits_{t_1 }^{t_2 } {\left| {\vec f'\left( t \right)} \right|} dt\)
Het voordeel is dat we nu gewoon integreren naar een reële parameter t en niet naar een vectoriële functie.
Hierin komen a en b op de kromme
\(\vec f\) atuurlijk overeen met de waarden van
\(\vec f\) in respectievelijk t1 en t2 van de parametrisatie.
Veronderstel even voor de eenvoud dat we in het vlak werken, en f dus twee componenten heeft
\(\vec f = \left( {f_1 \left( t \right),f_2 \left( t \right)} \right)\).
Uithschrijven van de formule (met de norm) levert dan:
\(\ell = \int\limits_{t_1 }^{t_2 } {\sqrt {f_1 ^\prime \left( t \right)^2 + f_2 ^\prime \left( t \right)^2 } } dt\)
Als de kromme in de klassieke cartesische coördinaten gegeven is als f(x,y) en het is mogelijk op te lossen naar y, dus van de vorm y = f(x), dan kan je x als enige parameter kiezen.
Op die manier krijg je de (wellicht gekende?) formule voor de booglengte van een functie y = f(x).
\(\ell = \int\limits_a^b {\sqrt {\left( {\frac{{dx}}{{dx}}} \right)^2 + \left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)^2 } } dx = \int\limits_a^b {\sqrt {1 + y'^2 } } dx\)
Is dat zo een beetje duidelijk?
dus je vermenigvuldigt eigenlijk de differentiaal met dt (infinitesimaal kleine stukjes). Waarom is dit dan gelijk aan de lengte van de kromme?