Springen naar inhoud

Lengte van een kromme en oppervlak van een oppervlak


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Melissa

    Melissa


  • >100 berichten
  • 169 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 juni 2006 - 13:51

Hey,

in de les hebbe we gezien dat de lengte van een kromme(met parametrisatie µ(t) a<= t <=b) gegeven wordt door de integraal van a tot b van ||µ'(t)|| dt
Nu vroeg ik mij af wat de norm van de differentiaal daar juist betekent (grafisch)?
Is dit de raaklijn ofzo? En waarom dan de norm daar van nemen en maal dt doen?
Hoe is dit een benadering voor de lengte van de kromme?

Hetzelfde bij de oppervlakte van een oppervlak, daar heb je ook de wortel van de determinant van M(transpose)*M. En dan plotseling gaan ze over naar een dubbele integraal met de norm van de normaalvector erin? :roll:
Namelijk: oppervlakte van een oppervlak = de dubbele integraal over het gebied D van ||n(u,v)|| dudv...

Kan iemand hier een beetje duidelijkheid in geven aub? Want we moeten ook begrijpen wat daar juist allemaal achter zit...

Alvast bedankt!
Melissa

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 juni 2006 - 13:57

Melissa, dat zijn goede vragen, alleen vind ik het vreemd dat zoiets dan niet in de les aan bod gekomen is. Wordt die formule niet afgeleid, maar gewoon 'gegeven' en verondersteld dat jullie het dan gewoon aannemen?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Melissa

    Melissa


  • >100 berichten
  • 169 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 juni 2006 - 14:02

Er wordt inderdaad verondersteld dat we dit begrijpen, en er is inderdaad wel uitleg gegeven hierover, maar zeer onduidelijk. Er werd enkel gezegd dat de differentiaal een goede lineaire benadering vormt, en dat we dit dus konden gebruiken, maar ik weet nog steeds niet wat deze differentiaal juist voorstelt. De raaklijn of raakoppervlak, dat wel, maar ik zie nog steeds niet waarom dit dan een goede benadering geeft aan de lengte van de kromme of aan de oppervlakte van een oppervlak... :roll:

Melissa

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 juni 2006 - 14:11

De differentiaal is een infinitesimaal klein 'stukje' van de kromme, net zoals dx een infinitesimale lengte in de x-richting is, wanneer we gewoon naar x integreren.

Even in het kort, intuďtief. Als er een kromme LaTeX gegeven is, en je wilt daarvan de booglengte (zal ik LaTeX noteren) tussen a en b, dan ga je dus met een integraal sommeren over allemaal kleine stukjes van f die je natuurlijk positief aanrekent; je sommeert dus over infinitesimale |df|'s. Als je al deze kleine stukjes kromme optelt (infinitesimaal klein, vandaar continu integreren en niet gewoon sommeren), dan krijg je de lengte:

LaTeX

Veronderstel dat er van LaTeX een parametrisatie gegeven is in t, dus LaTeX , dan geldt:

LaTeX

Het voordeel is dat we nu gewoon integreren naar een reële parameter t en niet naar een vectoriële functie.
Hierin komen a en b op de kromme LaTeX atuurlijk overeen met de waarden van LaTeX in respectievelijk t1 en t2 van de parametrisatie.

Veronderstel even voor de eenvoud dat we in het vlak werken, en f dus twee componenten heeft LaTeX .
Uithschrijven van de formule (met de norm) levert dan:

LaTeX

Als de kromme in de klassieke cartesische coördinaten gegeven is als f(x,y) en het is mogelijk op te lossen naar y, dus van de vorm y = f(x), dan kan je x als enige parameter kiezen.
Op die manier krijg je de (wellicht gekende?) formule voor de booglengte van een functie y = f(x).

LaTeX

Is dat zo een beetje duidelijk?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

Melissa

    Melissa


  • >100 berichten
  • 169 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 juni 2006 - 14:22

Ja, dit snap ik, maar wat is de grafische betekenis van die df/dx dan? Want er staat ook zoiets in mijn boek als: de differentiaal van f in punt p0 is eigenlijk gewoon de raakvector aan f in dit punt. En het probleem is dat ze constant bezig zijn over de differentiaal :roll: :P dus je vermenigvuldigt eigenlijk de differentiaal met dt (infinitesimaal kleine stukjes). Waarom is dit dan gelijk aan de lengte van de kromme?
Moest de differentiaal nu de EENHEIDSraakvector zijn aan de grafiek, dan zou ik het begrijpen, want die dt is gewoon de lengte van je deelintervalletje, maar nu... :P
En waarom is de differentiaal gelijk aan de wortel van de determinant van M(T)*M? Wat heeft dit er mee te zien? :P

Melissa

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 juni 2006 - 14:28

Je zal even moeten duidelijk maken wat die M is.

Wat de booglengte betreft, het hangt er ook van af hoe je deze heb gedefinieerd, om goed te kunnen uitleggen hoe je hier aan komt. Je kan in je parametrisatie bijvoorbeeld een eindig aantal punten van je parameter nemen de de overeenkomstige punten op de kromme beschouwen. Deze kan je verbinden met rechte lijnen, die lengtes sommeer je. Het is duidelijk dat als je het aantal deelpunten laat toenemen, dat je benadering voor de lengte van f dan beter wordt. Uiteindelijk kan je dat aantal deelpunten naar oneindig laten gaan (cfr. ook gewone Riemann sommen) zodat je de boolengte krijgt, per definitie. Dán kan je aantonen dat de booglengte die hierdoor gegeven wordt, uit te rekenen is als die integraal van |df/dt|dt.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

Melissa

    Melissa


  • >100 berichten
  • 169 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 juni 2006 - 14:38

Die M is de matrixvoorstelling van de differentiaal, dus [df/dx df/dy df/dz](transpose).
En het is inderdaad met een Riemannsom, ze zeggen hier: We verdelen het interval [a,b] op in deelintervallen: a=t0,t1,...tn=b Het beeld van [t(i-1), t(i)] is het deel van C tussen de punten µ(i-1) en µ(i). Als we een voldoend klein interval nemen, kan µ op dit interval goed benaderd worden door haar differentiaal (lokale benaderingsstelling). (raaklijn neem ik aan?)
Dus: lengte([t(i-1), t(i)]) is ongeveer gelijk aan wortel(det(M(transpose)*M))*(t(i) - t(i-1)) waar M de matrixvoortstelling van de differentiaal van µ in een punt p(i) van het interval [t(i-1), t(i)]. Dus geldt: wortel(det(M(transpose)*M)) = ||µ'(p(i))||
De totale lengte van C is dan bij benadering:
Sommatie van i=1 tot n van: ||µ'(p(i))||*(t(i) - t(i-1))
==> Riemannsom ==> integraal van a tot b van ||µ'(t)||dt

Wat ik me dus afvraag is: waarom is de differentiaal van µ in het punt p(i) maal de lengte van het deelintervalletje een benadering voor de lengte van dit stukje kromme?

Melissa

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 juni 2006 - 14:43

Misschien moet je die "lokale benaderingsstelling" die je gezien hebt nog een keer erbij nemen, maar de meetkundige intepretatie van de differentiaal is inderdaad de aangroeiing van de functiewaarde langs de raaklijn (je lineariseert er dus, hetgeen toegelaten is als je je interval voldoende klein neemt).

Wat de oppervlakte van een oppervlak S betreft, dat kan je inderdaad gaan benaderen door rechthoeken (of parallellogrammen) die rakend zijn aan het oppervlak. Als je sommeert over de oppervlaktes hiervan, dan krijg je een benadering voor de oppervlakte van S. Als je de afmetingen hiervan verkleint en dus het aantal laat toenemen, dan verbetert de benadering. Je hebt dus een dubbele som waarbij je het aantal naar oneindig zal laten gaan, dit zal neerkomen op de Riemann-som van een dubbele integraal. In de limiet krijg je dus een integraal die dan de oppervlakte van S geeft.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

Melissa

    Melissa


  • >100 berichten
  • 169 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 juni 2006 - 14:46

Uhu, oké, maar ze doen deze differentiaal nog maal de lengte van zo'n klein deelintervalletje. Waarom gebeurt dit?

Melissa

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 juni 2006 - 14:48

Nee, dat hoort nog bij de differentiaal!

Vergelijk het met m'n eerdere post waar je de differentiaal van f (df) kon schrijven als (df/dt)*dt (dat is gewoon de kettingregel).
Ook hier, je vermenigvuldigt nog wel met dt, maar niet met df, maar met df/dt (dit zit in je M).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

Melissa

    Melissa


  • >100 berichten
  • 169 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 juni 2006 - 14:58

Ahzo, ik dacht dat de differentiaal df/dt was... :P
Maar als dit de raaklijn is aan de kromme in punt p(i), dan is dit toch geen benadering voor de lengte van zo'n klein stukje, want een raaklijn is een oneindig lange rechte toch? :roll:

Melissa

#12

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 juni 2006 - 15:00

De afgeleide van f naar t is df/dt. Maar de differentiaal van f is df.

Nee, het is niet 'de raaklijn', maar de elementaire aangroei van de functiewaarde langs de raaklijn, zoals ik enkele posts eerder schreef. Het is dus een 'klein stukje' van de raaklijn, begrijp je?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#13

Melissa

    Melissa


  • >100 berichten
  • 169 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 juni 2006 - 15:02

Ahzo, maar het heeft dus ook niet de eenheidslengte, het is eigenlijk gewoon de kromme die je "rechttrekt" ofzo? :roll:

Melissa

#14

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 juni 2006 - 15:07

Eigenlijk wel, je vervangt de kromme door "n" achtereenvolgende stukjes rechte lijnen (volgens de raaklijn). Als je dan n naar oneindig laat gaan (en dus de lengte van die stukjes naar 0) dan is er uiteindelijk "geen verschil" meer tussen de booglengte en de som van al die infinitesimale stukjes, vandaar dat dit dan per definitie de booglengte is.

Probeer de analogie te zien met de gewone Riemann-integraal voor de oppervlakte onder f...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#15

Melissa

    Melissa


  • >100 berichten
  • 169 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 juni 2006 - 15:09

Ok, ik begin het te snappen :roll:
Weet jij ook toevalleg iets over die wortel(det(MtM))?

Melissa





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures