[Wiskunde] ellips.

Bert F

idd die ben ik al vergeten om te beginnen.

verder kan ik het beter om deze manier doen en dan lukt het mij ook.

Bedankt.

TD

Wanneer je cirkels, ellipsen, hyperbolen, eigenlijk veel van die dingen met kwadraten hebt, kan je vaak beter parametriseren mbv goniometrische functies. Als je gewoon parametriseert in x of y krijg je altijd ('vervelende') wortels, die bij integratie dan vaak toch nog het invoeren van goniometrie vereisen. Zo is het dubbel werk natuurlijk.

Bert F

Wanneer je cirkels, ellipsen, hyperbolen, eigenlijk veel van die dingen met kwadraten hebt, kan je vaak beter parametriseren mbv goniometrische functies. Als je gewoon parametriseert in x of y krijg je altijd ('vervelende') wortels, die bij integratie dan vaak toch nog het invoeren van goniometrie vereisen. Zo is het dubbel werk natuurlijk.

Dat is inderdaad stom van mij ik moet minder houterig vasthouden aan het systeem dat je met de paplepel ingegeven is namelijk het carstiaanse.

Zo bekeek ik deze morgen opgave:

Afbeelding

deze loste ik dan ook op als volgt

\( \left { \begin{array}{1} x=\frac{1}{2}a \cos(\theta) y=a \sin(\theta) \end{array} \right. \)

mijn integraal wordt dan

\(\int^{\frac{\pi}{2}}_0\int^a_0 m a \sin(\theta) \rho d\rho d\theta\)

deze kan ik nu mooie uitwerken en dan bekom ik

\(\frac{ma^3}{2}\)

maar het zou moeten zijn

\( \frac{ma^3}{3}\)

fout boek?

Groeten.

TD

Volgens mij gaat er iets mis bij je coördinatenovergang. Dat dxdy overgaat in rdrdt is alleen voor poolcoördinaten, waar de r bij x en y gelijk zijn. Hier heb je een factor 1/2 bij x maar 1 bij y. Misschien moet je de jacobiaan even opnieuw uitrekenen voor dit geval. Cartesisch klopt de opgegeven oplossing in elk geval, reken maar na:

\(\int\limits_{ - \frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} {\int\limits_0^{\sqrt {x^2 - 4x^2 } } {mydy} dx} = \frac{m}{3}\left| a \right|^3 \)

Bert F

maar het is mijn bedoeling om dergerlijke te berekenen in pool coordinaten wat doe ik dan mis?

TD

Poolcoördinaten, waarbij dxdy overgaat in rdrdt, zijn gegeven door:

\(\left{ \begin{array}{l} x = r\cos t y = r\sin t \end{array} \right.\)

Dat is hier niet het geval.

Bert F

ik heb geen "zuivere" poolcoordinaten denk ik

dus dien ik mijn jacobiaan idd te herberekenen:

we starten dus

\( \left { \begin{array}{1} x=\frac{1}{2}a \cos(\theta) y=a \sin(\theta) \end{array} \right. \)

dus ik moet dit van x naar theta afleiden en y naar theta is dat al? wat ga ik dan op de rest van de jacobiaan zetten?

TD

Ik ben niet zeker of je er zo gaat geraken

Bert F

is mijn paramterisatie fout? waar moet ik mee naar toe?

TD

Het zou wellicht werken in cilindercoördinaten, maar dat lijkt me hier niet de bedoeling want dan ga je over naar een drievoudige integraal. Het lijkt me hier nog het eenvoudigst om het cartesisch te houden, zoals in m'n post op de vorige pagina.

Bert F

zal het dan zo moeten oplossen maar zou ik in mijn integraal dx en dy gewoon formeel kunnen vervangen?

TD

Wat bedoel je nu precies? Vervangen door wat?

Bert F

door de afgeleide in mijn parameterisatie. dus daar afleiden naar dx en naar dy. dit dan vervangen in de integraal. de grenzen verder ook vervangen zoals ik deed

maar dan bekom je waarschijnelijk gewoon de substitutie regel? wat is dan het verschil tussen het uitvoeren van een substitutie en het overgaan naar nieuwe coordinaten?

TD

Overgang op nieuwe coördinaten, in het algemeen een transformatie, is een veralgemening van de substitutieregel die dus ook geldig is in meer dimensies.

Bert F

kan ik dan hier doen wat ik voorstelde? de dx vervangen door

\(\frac{1}{2}a\sin(\theta) \)

dit analoog voor de dy en dan er achter zetten?

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[Wiskunde] ellips.

Re: [Wiskunde] ellips.

Re: [Wiskunde] ellips.

Re: [Wiskunde] ellips.

Re: [Wiskunde] ellips.

Re: [Wiskunde] ellips.

Re: [Wiskunde] ellips.

Re: [Wiskunde] ellips.

Re: [Wiskunde] ellips.

Re: [Wiskunde] ellips.

Re: [Wiskunde] ellips.

Re: [Wiskunde] ellips.

Re: [Wiskunde] ellips.

Re: [Wiskunde] ellips.

Re: [Wiskunde] ellips.

Re: [Wiskunde] ellips.