Springen naar inhoud

Uitleggen van methodes : Opruimen met de spilmethode en Gauss


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Stef31

    Stef31


  • >250 berichten
  • 609 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 oktober 2004 - 23:00

Hallo

Kan iemand eens op een heel eenvoudige manier met een voorbeeld de werkwijze van methode van Gaus-Jordan?

En wat is eigenlijk dat opruimen met de spilmethode snap er niks van


Graag een betere en eenvoudige uitleg van die methodes en wanneer gebruik je matrixes in de elektronica?

Met vriendelijke groeten

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2


  • Gast

Geplaatst op 09 oktober 2004 - 12:41

(1) Raadpleeg het boekje 'Delta, matrices en stelsel'

Daar staat alles zeer eenvoudig uitgelegd.

(2) 2.1 Wat ?Methode van Gauss-Jorden is een methode om stelsels van eerste graadsvergelijking simpel op te lossen (via de spilmethode), m.a.w. de onbekenden te vinden, die aan alle vergelijkingen voldoen.

2.2 Hoe ? Methode Gauss-Jordan zijn 'operaties' die je uitvoert op vergelijkingen. Je hebt 4 elementaire operaties,
1) een vergelijking vermenigvuldigen met een getal (zowel linker- als rechterlid! ~ er is niets veranderd aan de oplossingen vd vergelijking)
2) vergelijkingen lid aan lid op- of aftrekken.
3) vergelijkingen van plaats veranderen (bv. je hebt stelsel met 4 onder elkaar geschreven vergelijkingen, je verplaats bijvoorbeeld vergelijking 4 (=de onderste vgl) naar boven, en de bovenste naar onder (er is weeral niets verandert aan de oplossingen vh stelsel)
4) combinatie van 1) en 2) -> een vergelijking vermenigvuldigen met een getal, en deze op- of aftrekken met een andere vergelijking(die al dan niet ook vermenigvuldigd is met een getal).

Misschien wat abstract, dus ff duidelijk maken in een voorbeeld. ( a: 'getallenvoorbeeld' , b: toegepast op vergelijkingen)


a) stel je hebt het 'stelsel' met 1e vgl: A=2 en 2e vgl: B=3, hier volgen de 4 elementaire 'operaties' (die niets veranderen aan de oplossingen):

1) 2.A=2.2 , of (1/5).a=(1/5).2 , etc ...
2) A + B = 2 + 3 , of A - B = 2 - 3 , etc ... (' lid aan lid op- aftrekken)
3) 1e vgl: B=3 en 2e vgl: A=2 ('omwisselen')
4) 2A + 3B= 2.2 + 3.3, of 5A - 2B= 5.2 - 2.3

b) pas dit nu toe op stelsels: (V 1: vergelijking 1 etc ..)

S <-> V1: a1.x + b1.y + c1.z = d1
V2: a2.x + b2.y + c2.z = d2
V3: a3.x + b3.y + c3.z = d3

1) 2.V1: 2.a1.x + 2.b1.y + 2.c1.z = 2.d1 , etc ...
2) V1 + V2: (a1+a2)x + (b1+b2)y + (c1+c2)z = d1 + d2 , etc ...
3) wissel V1 en V2, of V1 en V3, etc ...
4) 3.V1 - 2.V2: (3.a1 - 2.a2)x + (3.b1 - 2.b2)y + (3.c1 - 2.c2)z = 3.d1 - 2.d2, etc ...

Nu de 'kunst' om x,y,z te vinden is om deze 4 operaties toe te passen enzo x,y,z te vinden. De truc is zorg ervoor dat een onbekende( bv. x) in V1, het tegengestelde is aan de onbekende (ook x) in een andere vergelijking, tel deze 2 vergelijkingen op ... waardoor de onbekende(x) al wegvalt ... enz. tot je x,y,z vindt.

Voobeeld: S <->V1: x + y = 2
V2: 3x + 4y = 5

Nu kan je V1 maal 3 doen en dan daarvan V2 aftrekken: 3.V1 - V2, waardoor de x wegvalt en je vindt de y ... . Dus 3.V1 - 2.V2: (3x + 3y) - (3x + 4y) = 3.2 - 5 <=> -y = 1 <=> y=-1. Dan vul je deze y in een vergelijking en vind x: x-1=2 <=> x=3.


Besluit: je kan stelsel op lossen zonder matrices nodig te hebben, alleen is het vrij veel schrijf-en rekenwerk.

Daarom gebruikt men matrices = rechthoekig schema met getallen, de coŽfficienten van de vergelijkingen, waar men identiek die 4 rijoperaties op uitvoert.

Nemen we ons laatst voorbeeld terug en schrijven dat in matric vorm dan krijgen we:

[ 1 1 | 2 ] (Rij1, R1)
[ 3 4 | 5 ] (Rij2, R2)

eerste kolom: coŽfficienten vd x, 2e van Y, 3e de bekende termen. Nu voert men daar weer operaties op, zodat er een x of y wegvalt enzo makkelijk kan aflezen wat de waarden van x,y zijn. Dus hier in het voorbeeldje vermenigvuldigen we 3 keer R1 en trekken daarvan R2 af: 3.R1 - R2 . en we krijgen: (d.i. niet anders dan de spilmethode :door deze operatie (3R1 - R2) krijgen we een nul onder de 1 (= de spil), die is wat men noemt 'opkuisen van kolommen via de spilmethode)

[1 1 | 2 ] (R1)
[0 1 | -1] (R2)

Wat zien we in R2: 0.x + 1.y = -1 <=> y= -1 . In R1: 1.x + 1.y = 2 (y=-1) dus <=> x = 3.

Besluit:
1) we krijgen net dezelfde oplossingen zowel bij het oplossen met de vergelijkingen zelf, als met de matrices (wat maar normaal is ).
2) de spilmethode is niets anders dan een operatie, waarbij men probeert 0 'en te krijgen, omzo de waarden van x,y simpel te kunnen aflezen.

De rijoperatie die bij de spilmethode hoort = 'spilgetal x te vervangen rij - te vervangen getal - spilrij). Zie voorbeeld ( 1 = spil, R2: te vervangen rij, R1: spilrij, te vervangen element: 3).

Hopelijk is het wat duidelijker nu.

Koen

#3


  • Gast

Geplaatst op 09 oktober 2004 - 12:47

Edit:

Spilmethode = (spil) * te vervangen rijd - (te vervangen element) * spilrij





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures