Wetenschapsforum

Hallo

Kan iemand eens op een heel eenvoudige manier met een voorbeeld de werkwijze van methode van Gaus-Jordan?

En wat is eigenlijk dat opruimen met de spilmethode snap er niks van

Graag een betere en eenvoudige uitleg van die methodes en wanneer gebruik je matrixes in de elektronica?

Met vriendelijke groeten

(1) Raadpleeg het boekje 'Delta, matrices en stelsel'

Daar staat alles zeer eenvoudig uitgelegd.

(2) 2.1 Wat ?Methode van Gauss-Jorden is een methode om stelsels van eerste graadsvergelijking simpel op te lossen (via de spilmethode), m.a.w. de onbekenden te vinden, die aan alle vergelijkingen voldoen.

2.2 Hoe ? Methode Gauss-Jordan zijn 'operaties' die je uitvoert op vergelijkingen. Je hebt 4 elementaire operaties,

1) een vergelijking vermenigvuldigen met een getal (zowel linker- als rechterlid! ~ er is niets veranderd aan de oplossingen vd vergelijking)

2) vergelijkingen lid aan lid op- of aftrekken.

3) vergelijkingen van plaats veranderen (bv. je hebt stelsel met 4 onder elkaar geschreven vergelijkingen, je verplaats bijvoorbeeld vergelijking 4 (=de onderste vgl) naar boven, en de bovenste naar onder (er is weeral niets verandert aan de oplossingen vh stelsel)

4) combinatie van 1) en 2) -> een vergelijking vermenigvuldigen met een getal, en deze op- of aftrekken met een andere vergelijking(die al dan niet ook vermenigvuldigd is met een getal).

Misschien wat abstract, dus ff duidelijk maken in een voorbeeld. ( a: 'getallenvoorbeeld' , b: toegepast op vergelijkingen)

a) stel je hebt het 'stelsel' met 1e vgl: A=2 en 2e vgl: B=3, hier volgen de 4 elementaire 'operaties' (die niets veranderen aan de oplossingen):

1) 2.A=2.2 , of (1/5).a=(1/5).2 , etc ...

2) A + B = 2 + 3 , of A - B = 2 - 3 , etc ... (' lid aan lid op- aftrekken)

3) 1e vgl: B=3 en 2e vgl: A=2 ('omwisselen')

4) 2A + 3B= 2.2 + 3.3, of 5A - 2B= 5.2 - 2.3

b) pas dit nu toe op stelsels: (V 1: vergelijking 1 etc ..)



S <-> V1: a1.x + b1.y + c1.z = d1

V2: a2.x + b2.y + c2.z = d2

V3: a3.x + b3.y + c3.z = d3

1) 2.V1: 2.a1.x + 2.b1.y + 2.c1.z = 2.d1 , etc ...

2) V1 + V2: (a1+a2)x + (b1+b2)y + (c1+c2)z = d1 + d2 , etc ...

3) wissel V1 en V2, of V1 en V3, etc ...

4) 3.V1 - 2.V2: (3.a1 - 2.a2)x + (3.b1 - 2.b2)y + (3.c1 - 2.c2)z = 3.d1 - 2.d2, etc ...

Nu de 'kunst' om x,y,z te vinden is om deze 4 operaties toe te passen enzo x,y,z te vinden. De truc is zorg ervoor dat een onbekende( bv. x) in V1, het tegengestelde is aan de onbekende (ook x) in een andere vergelijking, tel deze 2 vergelijkingen op ... waardoor de onbekende(x) al wegvalt ... enz. tot je x,y,z vindt.

Voobeeld: S <->V1: x + y = 2

V2: 3x + 4y = 5

Nu kan je V1 maal 3 doen en dan daarvan V2 aftrekken: 3.V1 - V2, waardoor de x wegvalt en je vindt de y ... . Dus 3.V1 - 2.V2: (3x + 3y) - (3x + 4y) = 3.2 - 5 <=> -y = 1 <=> y=-1. Dan vul je deze y in een vergelijking en vind x: x-1=2 <=> x=3.

Besluit: je kan stelsel op lossen zonder matrices nodig te hebben, alleen is het vrij veel schrijf-en rekenwerk.

Daarom gebruikt men matrices = rechthoekig schema met getallen, de coëfficienten van de vergelijkingen, waar men identiek die 4 rijoperaties op uitvoert.

Nemen we ons laatst voorbeeld terug en schrijven dat in matric vorm dan krijgen we:

[ 1 1 | 2 ] (Rij1, R1)

[ 3 4 | 5 ] (Rij2, R2)

eerste kolom: coëfficienten vd x, 2e van Y, 3e de bekende termen. Nu voert men daar weer operaties op, zodat er een x of y wegvalt enzo makkelijk kan aflezen wat de waarden van x,y zijn. Dus hier in het voorbeeldje vermenigvuldigen we 3 keer R1 en trekken daarvan R2 af: 3.R1 - R2 . en we krijgen: (d.i. niet anders dan de spilmethode :door deze operatie (3R1 - R2) krijgen we een nul onder de 1 (= de spil), die is wat men noemt 'opkuisen van kolommen via de spilmethode)

[1 1 | 2 ] (R1)

[0 1 | -1] (R2)

Wat zien we in R2: 0.x + 1.y = -1 <=> y= -1 . In R1: 1.x + 1.y = 2 (y=-1) dus <=> x = 3.

Besluit:

1) we krijgen net dezelfde oplossingen zowel bij het oplossen met de vergelijkingen zelf, als met de matrices (wat maar normaal is ).

2) de spilmethode is niets anders dan een operatie, waarbij men probeert 0 'en te krijgen, omzo de waarden van x,y simpel te kunnen aflezen.

De rijoperatie die bij de spilmethode hoort = 'spilgetal x te vervangen rij - te vervangen getal - spilrij). Zie voorbeeld ( 1 = spil, R2: te vervangen rij, R1: spilrij, te vervangen element: 3).

Hopelijk is het wat duidelijker nu.

Koen

Edit:

Spilmethode = (spil) * te vervangen rijd - (te vervangen element) * spilrij