Cirkelvergelijking omschrijven

VinSoft

kan iemand mij misschien uitleggen hoe deze stappen gedaan worden?

x^2 + y^2 = 2x => (x-1)^2 + y^2 = 1, wat in poolcoordinaten beschreven wordt door r - 2 cos (o)

Ik krijg het niet voor elkaar

TD

De standaard (cartesische) vergelijking van een cirkel met straal r en middelpunt (a,b) is:

\(\left( {x - a} \right)^2 + \left( {y - b} \right)^2 = r^2 \)

In de gegeven vergelijking staat er nog een lineaire term, namelijk 2x, die je weg kan werken door het volkomen kwadraat te vormen. Immers, x²-2x = (x-1)²-1, dus:

\(x^2 - 2x + y^2 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)^2 - 1 + y^2 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)^2 + y^2 = 1\)

We vinden dus een cirkel met straal 1 en middelpunt (1,0).

Dat komt overeen met de poolvergelijking \(r = 2\cos \theta \).

Leid dat eventueel zelf af uit de transformatieformules voor poolcoördinaten:

\(\left{ \begin{array}{l} x = r\cos \theta y = r\sin \theta \end{array} \right.\)

kotje

De omzetting van cartisische cöördinaten in poolcoördinaten is eerder gemakkelijk:

\(\left{\begin{array}{rc1}r=\sqrt{x^2+y^2} \theta=\arctan\frac{y}{x}\end{array}\right\)

Men vindt gemakkelijk door even na te denken de poolvgl van de gegeven cirkel. maar afleiden vind ik niet zo evident. ik zie het niet.

TD

Wat zie je niet? Het afleiden van wat?

Ik doelde op het substitueren van de transformatieformules cartesisch ifv polair in de standaardvergelijking van de cirkel, zoals ik die door kwadraatafsplitsing had opgesteld in m'n vorige post. De inverse formules die jij geeft, zijn daarbij niet nodig.

kotje

Ik zie zo dat de vgl \(r=\cos\theta\) juist is en misschien met een figuur te maken ziet men het duidelijk. Maar door gebruik te maken van de transformatieformules zie ik het zo niet zitten. Maar misschien is dat hier ook niet nodig.

TD

Het is niet moeilijk hoor, even tonen misschien.

Vertrekkend van de (cartesische) standaardvergelijking vind je het zelfde, maar nog gemakkelijker is vertrekken van de oorspronkelijke vergelijking.

We vervangen daar x en y door de transformatieformules naar poolcoördinaten.

\(x^2 + y^2 = 2x \to r^2 \cos ^2 \theta + r^2 \sin ^2 \theta = 2r\cos \theta \)

In het linkerlid kunnen we r² buiten haakjes brengen, binnen haakjes blijft dan de grondformule van de goniometrie staan en dat vereenvoudigt zich tot 1:

\(r^2 \left( {\cos ^2 \theta + \sin ^2 \theta } \right) = 2r\cos \theta \Leftrightarrow r^2 = 2r\cos \theta \)

Voor r verschillend van 0 (dan is er geen cirkel, dat is gewoon de oorsprong) kunnen we r wegdelen, en dan vinden we precies \(r = 2\cos \theta \)

kotje

Dank je voor je klaar en duidelijk antwoord.

TD

Graag gedaan.

Bij wijze van oefening kan je met behulp van de inverse formules die jij gaf ook terug gaan.

\(r = 2\cos \theta \to \sqrt {x^2 + y^2 } = 2\left( {\cos \left( {\arctan \frac{y}{x}} \right)} \right)\)

Om het rechterlid te vereenvoudigen gebruik ik de identiteit:

\(\cos \left( {\arctan \alpha } \right) = \frac{1}{{\sqrt {\alpha ^2 + 1} }}\)

Zo krijgen we dan:

\(\left( {\cos \left( {\arctan \frac{y}{x}} \right)} \right) = \frac{1}{{\sqrt {\frac{{y^2 }}{{x^2 }} + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt {\frac{{y^2 + x^2 }}{{x^2 }}} }} = \frac{x}{{\sqrt {x^2 + y^2 } }}\)

Zodat we ten slotte vinden:

\(\sqrt {x^2 + y^2 } = 2\frac{x}{{\sqrt {x^2 + y^2 } }} \Leftrightarrow x^2 + y^2 = 2x\)

Sakura

Ik dacht dat hier wel verder zou kunnen gaan, want mijn vraag gaat hier een beetje over.

Met een voorbeeld

Stel je voor dat je een cirkel die door het punt (6,0) gaat en die raakt aan de rechte met vergelijking y=4 in het punt met coordinaten (2,4).

Wat is dan de vergelijking van de cirkel.

Met behulp van (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2

Welke stappen moet je eerst zetten.

Moet ik de gegeven coordinaten zien als het middenpunt van 2 andere cirkels en de straal gebruiken voor de vergelijking van de gevraagde vergelijking?

I don't have a clue

stoker

als ik dat zo bekijk moet je je niet te veel aantrekken van die rakende rechte.

je hebt je middelpunt gekregen, nu heb je alleen nog een straal nodig om je unieke cirkel te bekomen.

de afstand van je middelpunt tot het raakpunt (ligt dus op de cirkel) = de straal.

en nu die gegevens in je algemene voorstelling van een cirkel gieten en klaar is kees

Safe

Sakura schreef:Ik dacht dat hier wel verder zou kunnen gaan, want mijn vraag gaat hier een beetje over.

Met een voorbeeld

Stel je voor dat je een cirkel die door het punt (6,0) gaat en die raakt aan de rechte met vergelijking y=4 in het punt met coordinaten (2,4).

Wat is dan de vergelijking van de cirkel.

Met behulp van (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2

Welke stappen moet je eerst zetten.

Moet ik de gegeven coordinaten zien als het middenpunt van 2 andere cirkels en de straal gebruiken voor de vergelijking van de gevraagde vergelijking?

I don't have a clue

Maak eerst eens een tekening met daarin de gegevens. Weet je dan iets van je middelpunt en straal?

Sakura

Dat dacht ik dus ook, maar het kwam niet uit.

Uiteindelijke moet je dit als functie krijgen x^2 - 4x + x + y^2 = 12

Safe

Sakura schreef:Dat dacht ik dus ook, maar het kwam niet uit.

Uiteindelijke moet je dit als functie krijgen x^2 - 4x + x + y^2 = 12

Je middelpunt ligt op de lijn x=2 (waarom?), noem dit punt (2,a), dan is de straal r=4-a (waarom?).

Wat wordt nu je verg? Vul in: (x-...)²+(y-...)²=...²,

Tenslotte nog gebruik maken van (6,0) is een punt van de cirkel, dan krijg je een verg met onbekende a.

Vraag je nu af waarom het met de tekening niet lukte, want dat had je kunnen raden ... !?!

Opm: " x^2 - 4x + x + y^2 = 12", dit klopt niet want (6,0) ligt er niet op.

Sakura

Het is deels juist, wat je hebt staan. Mijn tekening was inderdaad niet juist.

Maarals je de twee coordinaten verbind (dus de loodlijn tekent) dan en op die loodlijn de middelloodlijn tekent. Dan weet je in ieder geval zeker dat de middelpunt daarop moet liggen. Dus je kunt dan toch niet met de gegeven informatie zeggen dat de middelpunt dan op de lijn x=2 ligt?

Of heb ik iets over het hoofd gezien, want ik steeds meer in de war

Safe

Sakura schreef:Het is deels juist, wat je hebt staan. Mijn tekening was inderdaad niet juist.

Maarals je de twee coordinaten verbind (dus de loodlijn tekent) dan en op die loodlijn de middelloodlijn tekent. Dan weet je in ieder geval zeker dat de middelpunt daarop moet liggen. Dus je kunt dan toch niet met de gegeven informatie zeggen dat de middelpunt dan op de lijn x=2 ligt?

Of heb ik iets over het hoofd gezien, want ik steeds meer in de war

Ik weet niet precies wat je hiermee bedoelt:

"Maar als je de twee coordinaten verbind (dus de loodlijn tekent) dan en op die loodlijn de middelloodlijn tekent. Dan weet je in ieder geval zeker dat de middelpunt daarop moet liggen. Dus je kunt dan toch niet met de gegeven informatie zeggen dat de middelpunt dan op de lijn x=2 ligt?"

Het middelpunt ligt op de middelloodlijn van (2,4) en (6,0), bedoel je dat?

Maar je hebt ook het geg dat de cirkel de lijn y=4 in (2,4) raakt, wat wil dat (voor jou) zeggen?

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Cirkelvergelijking omschrijven

Cirkelvergelijking omschrijven

Re: Cirkelvergelijking omschrijven

Re: Cirkelvergelijking omschrijven

Re: Cirkelvergelijking omschrijven

Re: Cirkelvergelijking omschrijven

Re: Cirkelvergelijking omschrijven

Re: Cirkelvergelijking omschrijven

Re: Cirkelvergelijking omschrijven

Re: Cirkelvergelijking omschrijven

Re: Cirkelvergelijking omschrijven

Re: Cirkelvergelijking omschrijven

Re: Cirkelvergelijking omschrijven

Re: Cirkelvergelijking omschrijven

Re: Cirkelvergelijking omschrijven

Re: Cirkelvergelijking omschrijven