Springen naar inhoud

Algemeen onderzoek vijfdegraadsfuncties


  • Log in om te kunnen reageren

#1

goldsteen

    goldsteen


  • >100 berichten
  • 179 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 oktober 2004 - 12:18

Hoofdstukken:

Hoofdstuk 1 ....................... Inleidend onderzoek.

Hoofdstuk 2 ....................... Nieuwe ?? methode om tweedegraadsfuncties op te lossen.

Hoofdstuk 3 ....................... Nieuwe ?? methode om derdegraadsfuncties op te lossen.

Hoofdstuk 4 ....................... Formules verschilwaarden en constanten.

--------------------------------------------------------------------------------------

Hoofdstuk 1

Inleidend onderzoek.

Bij dit project wil ik onderzoeken of ik een 5e of meergraadsfunctie op een eenvoudige wijze kan oplossen.
Mijn eerdere pogingen zijn mislukt, maar ik wil het nogmaals proberen.

Wat zijn de randvoorwaarden:

1. Ik ga uit van simpel te beredeneren vragen, ik begin als het ware onderaan.
2. Gaandeweg kan het misschien iets ingewikkelder worden, maar bij iedere vraag zoek ik simpele methoden en simpele antwoorden.

Wat voor vragen ga ik stellen:

1. Ik probeer het onderwerp van alle kanten te bekijken en stel dan vragen die de 5e graadsfunctie ook van andere kanten belichten b.v. als ik vraag:
a. “Hoe los ik een vijfdegraadsfunctie op”. Stel ik ook de vraag:
b. “Hoe los ik een eerste of tweegraadsfunctie op” Of:
c. “Kan ik van een simpel op te lossen functie algemeenheden afleiden die geschikt zijn om een 5e graads functie op te lossen”.

Wat voor methoden ga ik toepassen:
1. Zelf te maken uitwerkingen van simpele functies.
2. Excel bestanden om deze door te rekenen.
3. Grafieken om punten in uit te zetten.
4. Vergelijkende onderzoeken.
5. Eventueel formules.
6. Trial en error methodes.

Ik ga er als het ware om heen draaien en ermee draaien totdat ik nieuwe dingen zie, die ik kan gebruiken. “Focussen” zouden b.v. sportmensen zeggen.

Hieronder ga ik vast de eerste aanzet t.b.v. het onderzoek doen.

Ik begin met een gewone eenvoudige vergelijking, waarvan ik de oplossing al ken:

x²-2x-48=0 en wat algemene eigenschappen:

1. In variabelen ax²-bx-c=0

2. Omdat a>0 is het een dalparabool.

3. Ontbinden in factoren geeft als resultaat (x-8 ) (x+6 ) =0 en de uitkomsten voor x zijn dan x=8 en x=-6 dit zijn de x-coördinaten van de snijpunten met de x-as.

4. Als ik de abc-formule toepas:

x1,2 = -b ± wortel( b² - 4ac) =
-----------------------2a


4+ wortel 196 = 8
-----------2

4- wortel 196 = -6
-----------2

5. Na kwadraatafsplitsen volgt de top van de parabool:

2p=-2
p=-1
p²=(-1)²
x²-2x+1-1-48=(x-1)² -49=0
x-coördinaat van de parabool = 1

De y- coördinaat volgt na invullen in de vergelijking en is dan 1-2-48=-49

De top is dan (1,-49)

Hier de tekening ervan:

http://nl.msnusers.c...hoto&PhotoID=22

------------------------------------------

Na een hoop uitproberen kom ik tot de conclusie dat ik deze vergelijking als 0-dimensionaal ééndimensionaal, tweedimensionaal en driedimensionaal moet beschouwen en er dan de algemeenheden uit moet halen om op hogere dimensies te kunnen toepassen.
Ik denk n.l. dat ik een nieuwe methode moet ontwikkelen om vergelijkingen te benaderen c.q. op te lossen, omdat het met de gebruikelijke niet lukt.

Nul-dimensionaal:

Als ik voor x=8 invul dan krijg ik:
(8x8=64 punten ) - (2x8=16 punten ) – (48 punten ) = 0 punten.

Zo zijn het allemaal punten.

Eéndimensionaal:

Na invulling van b.v. x=8 kan ik de vergelijking n.l. ééndimensionaal lezen:

(8+8+8+8+8+8+8+8 ) - (8+8 ) - (8+8+8+8+8+8 ) = 0

Zo zijn het allemaal lijnstukken van 8 lang.

Tweedimensionaal:

Maar ik kan hem ook als tweedimensionaal lezen:

(8*8 ) –(2*8 ) – (6*8 ) = 0

Of anders:

x*x - 2*x – 1*48 =0

Of zo:

x*x - 2*x – wortel(48 ) *wortel(48 ) =0

Of zo:

x*x - 2*x – 6*8 =0

Of zo:

x*x - 2*x – 2*24 =0


Eigenlijk staan er zo per vergelijking 3 rechthoekige figuren.

De eerste: (x² ) is zeker een vierkant, hoewel de lengte van de zijden nog niet bekend zijn.
De tweede: (2x ) is een figuur waarvan de lengte van één zijde bekend is n.l. 2 en de lengte van de ander gelijk is aan één van die van de eerste figuur.

De derde (48 ) kan verschillende lengte en breedte hebben als de som van hun product maar 48 is.

Voorbeelden van verschillende mogelijkheden van de lengtes zijn:
1. Bij ongelijke lengte en breedte van b.v. lengte 48 voor de één en breedte 1 voor de ander is het een rechthoek.
2. Bij lengte van de zijden gelijk aan wortel 48 is het een vierkant.
3. Lengte 8 in combinatie met breedte 6.
4. Lengte 24 in combinatie met breedte 2.
5. Enzovoort.

Ga ik uit van een de combinatie voor de lengten van de 3e tweedimensionale figuur n.l. 1 en 48.
Deze combinatie kan niet omdat één van de zijden van de 2e tweedimensionale figuur lengte 2 heeft en dus moet één van de zijden lengte 2 hebben, zie bijgaande illustratie:

Neem ik de combinatie van wortel 48 * wortel 48. Dit is het vierkant voor de 3e figuur, dan kan ik stellen dat deze ook niet kan, omdat we dan twee zijden krijgen die ongeveer 6,93 zijn en pas ik dan de tweede figuur met bekende zijde van 2 hierin, dan krijg ik een lengte voor de andere zijde van ongeveer 6,93.
Voor de eerste figuur van x*x moet ik dan voor x ongeveer 6,93 nemen, maar voor de andere zijde blijft maar ongeveer 4,93 over en dit kan dus niet.

Nu dan de combinatie van lengte 8 en breedte 6.
Tel ik de 2e figuur bij de 3e op, dan kan ik een vierkant maken van 8x8. Dit betekent voor x een waarde van 8 en die klopt dus.

Ga ik uit van de derde tweedimensionale figuur en neem als breedte de bekende lengte van de zijde van de tweede figuur, dit is zijde met lengte 2.
Dan geldt voor de andere lengte van de zijde 48/2=24
Ik heb nu 3 zijden die nog onbekend zijn n.l. de twee x-en van de eerste figuur en één x van de tweede figuur.
Ik kan nu twee dingen doen de 2e figuur bij de 3e optellen dan krijg ik een totale lengte van 24+x of als ik de 2e figuur van de 3e aftrek dan krijg ik een totale lengte van 24-x.

De x-en zijn van gelijke lengte.
De totale oppervlakte van de 3e figuur 24x2=48 door 4 delen, dus 48/4=12. Ik weet de breedte van de 2e figuur dus is de lengte van deze figuur 12/2=6.
Blijft er aan oppervlakte over voor de 1e figuur 48-12=36 of 48+12=60
De zijden van de 1e figuur zijn dan:
Oplossing 1: wortel 60= 7,745966692 deze kan niet.
Oplossing 2: wortel 36=6 deze kan wel, maar omdat ik figuur 2 van figuur 3 heb afgetrokken moet
de oplossing -6 zijn.

Ter illustratie hierbij de verschillende figuren:

http://nl.msnusers.c...hoto&PhotoID=23

http://nl.msnusers.c...hoto&PhotoID=24

Dit uitkomsten komen overeen met de twee voorgaande methoden van ontbinden in factoren en de abc-formule.

--------------------------------------------------------

Even wat brainstormen.

Zet ik nog een keer de verschillende notaties op een rij voor de formule x²-2x-48=0 met een waarde van x = 8 :

0-dimensionaal:

(64 punten ) - (16 punten ) – (48 punten ) = ( 0 punten )

1-dimensionaal:

(8+8+8+8+8+8+8+8 ) - (8+8 ) - (8+8+8+8+8+8 ) = 0

2-dimensionaal:

(8*8 ) –(2*8 ) – (6*8 ) = 0


Hier staan drie verschillende notaties van hetzelfde. Maar kan dit eigenlijk wel ?
0-dimensionaal zijn allemaal punten, een punt is niets in de wiskunde ….. maar hier zal ik maar niet verder over doorgaan.

----------------------------------------------------------

Hoe noteer ik deze formule nu 3-dimensionaal? :

1* x*x - 1*2*x - 2*3*8 = 0

Of 4-dimensionaal:

1*1* x*x – 1*1*2*x - 2*3*2*4=0 en zo kun je nog wel even doorgaan.


Ga ik nu een 5e graads-formule met één 0-punt maken die ik kan oplossen, weer uitgaande van x²-2x-48=0

Dit doe ik door er evenveel bij op te tellen als af te trekken:

x³ - 8³ + x² - 2x - 48 = 0 Of: x³ + x² - 2x - 560 = 0

Een 4e graads vergelijking:

-x^4 + x³ + x² - 2x – 560 + 4096 = 0 Of: -x^4 + x³ + x² - 2x + 3536 = 0

Dan een 5e graads-vergelijking:

x^5 - x^4 + x³ + x² - 2x - 29232 = 0

Nog wat extra factoren toevoegen:

x^5 – 8x^4 + 2x³ - 2x² - 35x – 872 = 0

Met voor x=8 een snijpunt met de x-as van (8,0 )

-----------------------------------------------------------

Nog een paar eigenschappen van x²-2x-48=0 :

1. De top is (1,-49 ) de som van deze coördinaat is gelijk aan -48 en dit is gelijk aan de derde figuur.
2. De lengte van de ééndimensionale parabool is van coördinaat (8,0) tot coördinaat (–6,0 ) precies 100.
3. De parabool is eigenlijk een ééndimensionale “uitslag” van de vergelijking.

-----------------------------------------------------------

Wat ik concludeer is dat ontbinden in factoren van x²-2x-48=0 een onzekere manier van oplossen is voor deze vergelijking, deze geeft teveel mogelijkheden.
Ik kan beter de abc-formule gebruiken, dus ga ik die verder bestuderen.
Daarnaast ga ik de vergelijking 3-dimensionaal uitbeelden.
En ik ga kijken of ik de abc-formule voor de 0-,1-,2- en 3-dimensionaal kan herschrijven.
------------------------------------------------------

Edit nr. 1 datum 19-10-2004

Na het bestuderen van de abc-formule, waarbij ik o.a. een afleiding maak die er als volgt uitziet:

ax² + bx + c=0

Eerst breng ik (a ) buiten haken:

a (x² + (b/a )*x ) + c=0


Kwadraatafsplitsen geeft voor:

2p=b/a
p=(1/2 ) * (b/a )
p²=((1/2 ) * (b/a ))² = (1/4) * (b/a)²

Dit geeft dan als ik (1/4) * (b/a)² eerst optel en gelijk weer aftrek:

a*(x² + (b/a)*x + (1/4) * (b/a)²- (1/4) * (b/a)² ) + c = 0

Kwadraatafsplitsen geeft dan:

a*(x + ½ (b/a ) )² -1/4b² + c = 0

Ik breng -1/4b² + c naar rechts van het is-gelijk-teken:

a (x + ½ (b/a ) )² = -1/4b² + c

Ik laat het kwadraatteken links vervallen en trek rechts de wortel van:
ax + 1/2b = √ (1/4b² - c )

Dan breng ik 1/2b naar rechts:

ax = - 1/2b + √ (1/4b² - c )

En deel ik links en rechts door (a ) waardoor deze rechts weggestreept kan worden :

x = - 1/2b + √ (1/4b² - c )
---------------a


Vergelijkbare staan er genoeg op het internet, het komt er op neer dat je “ x naar buiten brengt ”.
Hoe meer graden de vergelijking heeft, hoe ingewikkelder dit proces wordt.
Bovendien is het bewezen dat er op deze manier geen methode te vinden is, voor de 5e graads functie en hoger.

Daarom ga ik het op een andere manier benaderen.
Wat ik kan proberen is om het als een getallenreeks te beschouwen.

Na het e.e.a. uitproberen maak ik het volgende spreadsheet:

http://nl.msnusers.c...hoto&PhotoID=27

Hierin trek ik iedere keer, vanaf de rij met de uitkomst van de formule, van boven naar beneden de eerstvolgende van de vorige af en herhaal dit proces naar beneden.

Wat blijkt is dat bij een zesde-graads functie, ik in rij 07 een “constante” krijg, die alléén maar verandert als ik de interval of de waarde van (a ) wijzig.
Maar deze blijft ten alle tijden constant.

Bovendien verandert de waarde van rij 06 alléén maar als ik de waarde van (a ), (b ) en de interval wijzig.

Zet ik de waarde van (a ) op 0 dan heb ik in feite een 5e graads functie i.p.v. een 6e .
En het blijkt dat de constante nu een rij hoger, in rij 06 komt te staan.
Deze verandert alléén maar als ik de waarde van (b ) of de interval verander.

Zet ik de waarde van (a ) , (b ) en (c ) nu op 0, dan krijg ik een 4e graads functie en blijkt dat de waarde van rij 05 de constante wordt.
Het spreadsheet ziet er dan zo uit:

http://nl.msnusers.c...hoto&PhotoID=28

Het blijkt dus dat er voor iedere graadsfunctie een rij is met een constante waarde.

-------------------------------------

Edit nr. 2 datum 19-10-2004

Ik maak een nieuw spreadsheet dat er als volgt uitziet:

http://nl.msnusers.c...hoto&PhotoID=29

Hierin zet ik de verschillende graden van functies naast elkaar en de "constanten", zoals een stukje terug toegelicht, per functie ernaast.

Wat opvalt bij een waarde voor (a t/m f ) = 1, is dat de constanten voor iedere functie een veelvoud zijn van de waarden van de constanten van de functies voorafgaand hieraan.

Voorbeeld als ik het per constante, per functie hoger bekijk is het:

2=2*1 voor de 2e graadsfunctie t.o.v. de 1e graads.
6=3*2 voor de 3e graadsfunctie t.o.v. de 2e graads.
24=4*6 (enzovoort)
120=5*24
720=6*120

De factoren zijn oplopend 2, 3, 4, 5, 6.
Dus voor een 7e graads-functie in deze vorm zou de constante 7*720= 5040 moeten zijn.
(Dit heb ik nog niet gecontroleerd. )

Nu verander ik wat van de variabelen a t/m g.
Dan ziet het spreadsheet er zo uit:

http://nl.msnusers.c...hoto&PhotoID=30

Nu constateer ik dat als ik de waarde van bijvoorbeeld (a ) verhoog en als ik alléén de constanten beschouw, dit alléén invloed op de waarde van de constante van de 6e graads-functie heeft.
En wel zo dat als de waarde horende bij a=1, 720 was deze nu bij a=2, 2*720=1440 wordt.

Als ik de waarde van bijvoorbeeld (c ) verhoog naar 3, en als ik alléén de constanten beschouw, dit alléén invloed op de constante van de 4e graads functie heeft.
En wel zo dat als de waarde bij c=1, 24 was deze nu 3*24=72 wordt.

Verhoging van de waarde van (g ) heeft geen invloed op de constanten.

Bepalend voor de waarden van de constanten zijn:

1. De intervallen tussen x-en.
2. Per graad, de waarde van de vermenigvuldigings-variabele, die voor de (x ) met de grootste macht van die graadsfunctie staat.

--------------------------------------------------------------------------------------

Datum: 31-10-2004

Hoofdstuk 2

Nieuwe ?? methode om tweedegraadsfuncties op te lossen.

Met deze methode kan ik simpel de top, 0-punten en y-waarden bepalen.

Deze methode gaat uit van een te bepalen “constante” en een "verschil y-waarde" die ik volgens de navolgende voorbeelden kan bepalen:

Eén methode om de "verschil y-waarde" te bepalen is met de volgende formule:

v1 = (w/i )*x + f*i - (w/2 ) (Deze wordt verderop toegelicht).

De tweede methode is als volgt:

Eerst maak ik een formulier, waarvan je hier een voorbeeld kunt zien:

http://groups.msn.co...hoto&PhotoID=34

Deze gebruik ik voor een grove bepaling van de uitkomsten van een 2e graads-functie.
Om dit te doen moet ik de waarden van y voor x=1 x=0 bepalen.
De intervallen tussen de waarden van x stel ik op 1.

Voorbeeld:

y = r(x) = x² - 2x – 48

De waarde van de functie voor x = 1 is :

1 – 2 – 48 = -49

De waarde van de functie voor x = 0 is :

0 – 0 – 48 = -48

Dan trek ik de uitkomst van x = 1 af van x = 0 dit is in dit geval –49 - -48 = -1 en vul deze rechts van x = 1 in.

Nu moet ik de “constante” bepalen en deze vul ik in de laatste kolom van boven naar beneden in.

De "constante" is alléén afhankelijk van de variabele (e ) en van de intervallen tussen de x-waarden.

Een paar voorbeelden:

Bij e=1 en interval tussen de x-waarden = 1 is de constante 2.
Bij e=2 en interval tussen de x-waarden = 1 is de constante 4.
Bij e=3 en interval tussen de x-waarden = 1 is de constante 6.

Bij e=1 en interval tussen de x-waarden = 2 is de constante 8.
Bij e=1 en interval tussen de x-waarden = 3 is de constante 18.
Bij e=1 en interval tussen de x-waarden = 4 is de constante 32.

Bij e=1 en interval tussen de x-waarden = 0,5 is de constante 0,5.
Bij e=1 en interval tussen de x-waarden = 0,25 is de constante 0,125.
Bij e=1 en interval tussen de x-waarden = 0,125 is de constante 0,03125.

Aan de hand van deze uitkomsten kan ik de waarde van de constante als volgt definiëren:

2*e*i² = w

Waarbij (e ) de waarde van de variabele in de functie, (i ) de interval tussen de x-waarden en
(w ) “de constante”.

De constante van onze voorbeeldfunctie y = r(x) = x² - 2x – 48 is:

Bij waarden e=1 en i=1

w = 2* 1* 1 = 2

Het formulier ziet er dan als volgt uit:

http://nl.msnusers.c...hoto&PhotoID=40

Nu kan ik door iedere keer m.b.v. de constante de kolom van “verschil y-waarden” invullen.
Dit doe ik door vanaf de verschil waarde –1 naar beneden toe iedere keer de constante=2 af te trekken en naar boven toe vanaf –1 iedere keer de constante=2 op te tellen.

Of de “verschil y-waarden” als volgt bepalen :

Toelichting op eerste methode om de ‘verschil y-waarde’ te bepalen:

v1 = (w/i )*x + f*i - (w/2 )

Waarbij v1 = “de verschil y-waarde” (w ) de constante (i ) de interval tussen de x-waarden en ( f ) de variabele in de functie.

In het voorbeeld:

Bij waarde x = -1:

v1 = (2/1 )*-1 + (-2*1 ) - (2/2 ) = -5

Dan ziet het formulier er als volgt uit:

http://nl.msnusers.c...hoto&PhotoID=41

Dan kan ik aan de hand van deze laatst ingevulde waarden de y-waarden in de kolom van de formule ex²+fx+g invullen.
Ik tel de waarde rechts van het in te vullen vakje op bij de waarde onder het in te vullen vakje en vul de uitkomst iedere keer in.
Als voorbeeld naar boven toe : -49 + 1 = -48 dan –48 + 3 = -45 enzovoort.
Naar beneden toe trek ik de waarde beginnend vanaf –48 rechts van –48 (dit is in dit geval –3 ) hiervan af. En zo verder.
Het formulier ziet er dan als volgt uit:

http://groups.msn.co...hoto&PhotoID=37

De 0-punten zitten net onder, daar waar de “verschil y-waarden” gelijk aan de y-waarden van de functie zijn. De “verschil y-waarden” worden op dit punt, naar beneden toe groter dan de functiewaarden van y.

De top zit daar waar de opeenvolgende “verschil y-waarden” = 1 en = –1 en links naast de “verschil y-waarde“ = –1.

Voor het volgende voorbeeld doe ik eerst de grove bepaling en dan een paar preciezere om de 0-punten en top nauwkeuriger te kunnen bepalen.

Voorbeeld:

y = r(x) = 2x² + 40x +2

De waarde van de functie voor x = 1 is :

2 + 40 + 2 = 44


De waarde van de functie voor x = 0 is :

0 + 0 + 2 = 2

Als ik de stappen zoals beschreven in het vorige voorbeeld nu herhaal krijg ik opeenvolgend:

http://nl.msnusers.c...hoto&PhotoID=49


Een hoop y-waarden heb ik nu en ook de top deze zit n.l. naast de “verschil y-waarde” = –2 en is dus (-10,-198) maar nog geen 0 punten.
We weten uit het vorige voorbeeld dat de 0 punten in de buurt zitten vanaf waar de “verschil y-waarden” gelijk zijn aan de functiewaarden y.

Ze moeten dus in de buurt van x=1 t/m x=-1 en bij een x-waarde die een stuk kleiner is dan –13.
Dus ik vul eerst het formulier nog een stuk naar beneden toe in.
Hieruit blijkt dat het tweede 0-punt in de buurt van x=-19 ligt.
(Zie voorbeeld iets verderop).

Ik maak een nieuw formulier met een kleinere interval tussen de x-waarden en met de x-waarden kleiner dan x=1 en x=-19.
Na invullen zien de formulieren er als volgt uit:

http://groups.msn.co...hoto&PhotoID=39

Hier kun je de 0-punten, vrij nauwkeurig benadert, direct zien.
Deze zitten n.l. bij x= -0,05 en bij x= -19,95 waar y= 0,005 is.
--------------------------------------------------------------------------------------

Datum: 03-11-2004

Hoofdstuk 3

Nieuwe ?? methode om derdegraadsfuncties op te lossen.

Met deze methode kan ik simpel 0-punt en y-waarden bepalen.

Deze methode gaat net als bij de methode zoals eerder beschreven voor het oplossen van de tweedegraadsfunctie uit van een te bepalen “constante”.

Uitgaande van de volgende functie:

y = q(x)= dx³+ex²+fx+g

Bij het bepalen van de "constante" van de tweedegraadsfunctie heb ik een formule afgeleid van een aantal uitkomsten.
Dit heb ik bij de derdegraadsfunctie ook gedaan:

De "constante" is alléén afhankelijk van de variabele (d ) en van de intervallen tussen de x-waarden.

Hierbij weer een aantal voorbeelden:

Bij waarde d=1 en interval tussen de x-waarden = 1 is de constante 6.
Bij waarde d=2 en interval tussen de x-waarden = 1 is de constante 12.
Bij waarde d=3 en interval tussen de x-waarden = 1 is de constante 18.

Bij waarde d=1 en interval tussen de x-waarden = 2 is de constante 48.
Bij waarde d=1 en interval tussen de x-waarden = 3 is de constante 162.
Bij waarde d=1 en interval tussen de x-waarden = 4 is de constante 384.

Bij d=1 en interval tussen de x-waarden 0,5 is de constante 0,75.
Bij d=1 en interval tussen de x-waarden 0,25 is de constante 0,09375.
Bij d=2 en interval tussen de x-waarden 0,25 is de constante 0,1875.

De waarde van de constante voor een derdegraadsfunctie y = q(x)= dx³+ex²+fx+g kan ik als volgt definiëren:

6*d*i³ =w

Waarbij (d ) de waarde van de variabele in de functie, (i ) de interval tussen de x-waarden en
(w ) “de constante”.

Eerst maak ik weer een formulier, waarvan je hier een voorbeeld kunt zien:

http://nl.msnusers.c...hoto&PhotoID=50

Deze gebruik ik voor een grove bepaling van de uitkomsten van een 3e graads-functie.
Om dit te doen moet ik drie y-waarden voor x=1, x=0 en x=-1 bepalen.
(Anders dan bij de eerstegraadsfunctie waar ik maar één y-waarde en anders dan bij de tweedegraadsfunctie waar ik twee y-waarden moet bepalen. )

De intervallen tussen de waarden van x stel ik weer op 1.

Voorbeeld:

y = i(x) = x³ + 2x² + 2x + 4

De waarde van de functie voor x = 1 is :

1 + 2 +2 + 4 = 9

De waarde van de functie voor x = 0 is :

0 + 0 + 0 + 4 = 4


De waarde van de functie voor x = -1 is:

-1 + 2 – 2 + 4 = 3

Deze uitkomsten vul ik in, in de kolom van de formule dx³+ex²+fx+g

Dan trek ik de uitkomst van x = 1 af van x = 0 dit is in dit geval 9 - 4 = 5 en vul deze rechts van x = 1 en formule uitkomst = 9 in.
Vervolgens trek ik de uitkomst van x = 0 af van x = -1 dit is in dit geval 4 – 3 = 1 en vul deze rechts van x = 0 en formule uitkomst = 4 in.
Tenslotte trek ik deze uitkomsten weer als volgt van elkaar af: 5 – 1 = 4 en vul deze rechts van de uitkomst van x = 1, formule uitkomst 9 en “verschil y-waarden” = 5 in.

De “constante” bepaal ik met de formule zoals aan het begin van dit hoofdstuk beschreven en deze vul ik in de laatste kolom van boven naar beneden in.

6*d*i³ = w

Met d=1 en i=1

6* 1* 1 = 6

Het formulier ziet er dan als volgt uit:

http://nl.msnusers.c...hoto&PhotoID=51

Er zijn twee methoden om de “verschil van verschil y waarden” te bepalen:

Ik kan de volgende formule gebruiken (zie hoofdstuk 4):

v2 = (w/i )x + 2ei² - w

Waarbij (v2 ) de “verschil van verschil y-waarde” is, (w ) de “constante” , en (e ) variabele van de functie en (i ) de interval tussen de x-waarden.

Als voorbeeld bij de functie y = q(x) = x³ + 2x² + 2x + 4 met waarde x=2 is de “verschil van verschil y-waarde” :

v2 = (w/i )x + 2ei² - w = (6/1)*2 + 2*2*1 - 6 = 10

Of ik kan m.b.v. de constante de kolom van “verschil van verschil y-waarden” invullen.
Dit doe ik door vanaf de verschil van verschil van verschil y waarde 4 naar beneden toe iedere keer 6 af te trekken en naar boven toe vanaf 4 iedere keer 6 op te tellen.

Dan ziet het formulier er als volgt uit:

http://nl.msnusers.c...hoto&PhotoID=52

Dan kan ik aan de hand van deze laatst ingevulde waarden de verschil y-waarden in de kolom van de formule invullen.
Ik tel de waarde rechts van het in te vullen vakje op bij de waarde onder het in te vullen vakje en vul de uitkomst iedere keer in.
Als voorbeeld naar boven toe : 10 + 5 = 15 dan 16 + 15 = 31 enzovoort.
Naar beneden toe trek ik de waarde beginnend vanaf 1 rechts van 1 (dit is in dit geval -2) hiervan af en vul deze in het lege vakje eronder in. En zo verder.
Het formulier ziet er dan als volgt uit:

http://nl.msnusers.c...hoto&PhotoID=53

Tenslotte kan ik de formule uitkomsten invullen door vanaf de formule uitkomst = 9 naar boven toe op te tellen bij de waarde rechts naast het lege vakje, boven de formule uitkomst = 9. Dus 9 + 15 = 24 en deze in dit lege vakje in te vullen en zo verder.
Naar beneden toe vanaf formule uitkomst = 3 de waarde rechts van de formule uitkomst hiervan af te trekken. Dus 3-3=0 en deze uitkomst in het lege vakje in te vullen en zo verder.
Als ik hiermee klaar ben, ziet het formulier er als volgt uit:

http://nl.msnusers.c...hoto&PhotoID=54

Het 0-punt zit net onder, daar waar de “verschil y-waarden” gelijk aan de y-waarde van de functie is. De “verschil y-waarden” worden op dit punt, naar beneden toe groter dan de functiewaarden y.

Voor het volgende voorbeeld doe ik eerst de grove bepaling en dan een preciezere om het 0-punt nauwkeuriger te kunnen bepalen.

Voorbeeld:

y = q(x)= 2x³+2x²+3x+40

De waarde van de functie voor x = 1 is :

2 + 2 + 3 + 40 = 47


De waarde van de functie voor x = 0 is :

0 + 0 + 0 + 40 = 40


De waarde van de functie voor x = -1 is:

-2 + 2 – 3 + 40 = 37

De “constante” bepaal ik met de formule voor het bepalen van de derdegraadsfunctie zoals aan het begin van dit hoofdstuk bepaald en deze vul ik in de laatste kolom van boven naar beneden in.

6*d*i³ = w

Met d=2 en i=1

6*2*1 = 12

Als ik de stappen zoals beschreven in het vorige voorbeeld nu herhaal krijg ik opeenvolgend:

http://nl.msnusers.c...hoto&PhotoID=55

Een hoop y-waarden heb ik nu.
Ik weet uit het vorige voorbeeld dat de 0 punten daar zitten waar de “verschil y-waarden” gelijk zijn aan de functiewaarden y.

Deze moet dus in de buurt van x=-2 zitten.
Ik maak een nieuw formulier met een kleinere interval tussen de x-waarden en met x-waarden kleiner dan x=-2.

De “constante” bepaal ik met de formule, zoals aan het begin van dit hoofdstuk beschreven en deze vul ik in de laatste kolom van boven naar beneden in.

6*d*i³ = w

Met d=2 en i=0,1

6*2* (0,1 )³= 0,012

Dan ziet het formulier er als volgt uit:

http://nl.msnusers.c...hoto&PhotoID=56

Je ziet direct waar bij benadering het 0-punt zit n.l. bij x=2,9 en y-waarde –0,658.
Nog nauwkeuriger kan door de interval tussen de x-waarden nog kleiner te maken.

----------------------------------------------------------
Datum 06-11-2004

Hoofdstuk 4

Formules verschilwaarden en constanten.

Hier plaats ik een overzicht van de formules waar ik de verschillende waarden van de kolommen mee kan bepalen.
Deze onvolledige lijst pas ik iedere keer aan als ik weer een paar nieuwe formules weet.

http://groups.msn.co...hoto&PhotoID=64

En hier een voorbeeld van de vijfdegraadsfunctie waar de verschillende variabelen betrekking op hebben:

Met (i) de waarde van de interval tussen de x-waarden.

http://groups.msn.co...hoto&PhotoID=60

--------------------------------------------------------------------------------------




Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 oktober 2004 - 14:29

Hulde voor je vasthoudendheid!

Wel moet ik je helaas vertellen dat voor alle 4e-graads vergelijkingen en lager er algemene oplossingen bestaan (zoals bijvoorbeeld de abc-formule voor 2e-graads), en ook dat het bewezen is dat zoiets voor 5e-graads en hoger onmogelijk is.

Een algemene manier om 5e-graads vergelijkingen op te lossen zal dus niet lukken :shock:
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#3

goldsteen

    goldsteen


  • >100 berichten
  • 179 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 oktober 2004 - 15:21

Weet ik.

En je zult wel gelijk krijgen: dit gaat me nooit lukken.



Maar ik wil het toch proberen.

#4


  • Gast

Geplaatst op 13 oktober 2004 - 19:50

Weet ik.

En je zult wel gelijk krijgen: dit gaat me nooit lukken.



Maar ik wil het toch proberen.

je kunt bijv. 'sub-algemene' formules uitvinden voor verschillende types 5e gr. vergelijkingen.. daarmee omzeil je de theorie van polynomen ect.

#5

goldsteen

    goldsteen


  • >100 berichten
  • 179 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 oktober 2004 - 11:25

je kunt bijv. 'sub-algemene' formules uitvinden voor verschillende types 5e gr. vergelijkingen.. daarmee omzeil je de theorie van polynomen ect.


Soms moet je iets onmogelijks proberen om meer inzicht te krijgen.
Dus ik ga nog maar even door (zie de toevoegingen boven).

Je tip kan ik goed gebruiken.

#6

goldsteen

    goldsteen


  • >100 berichten
  • 179 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 november 2004 - 10:14

Zou iemand de methode om tweedegraadsfuncties, zoals ik deze beschrijf vanaf:

Hoofdstuk 2 ....................... Nieuwe ?? methode om tweedegraadsfuncties op te lossen.

of:

u]Hoofdstuk 3[/u] ....................... Nieuwe ?? methode om derdegraadsfuncties op te lossen.


eens uit kunnen proberen en mij misschien vertellen of deze al door een wiskundige bedacht is en waar ik hier informatie over kan vinden?

Heet dit nu een "subalgemene oplossing" of een "numerieke" of iets dergelijks? Of mag je dit uberhaupt wel wiskunde noemen?

#7


  • Gast

Geplaatst op 02 november 2004 - 23:09

ik heb hier wel eens over na gedacht, maar ben er eigenlijk niet heel ver mee gekomen. ik zal hieronder zetten tot hoever ik was gekomen. btw, het kan ook zijn dat je deze had maar dat ik erover heen heb gelezen.

aX^5 + bX^4 + cX^3 + dX^2 + eX + f = y

om dit op te lossen kan je dit doen:


aX^5 = y - f - eX - dX^2 - cX^3 - bX^4
vervan de 'y - f - eX - dX^2 - cX^3 - bX^4' voor het gemak door Y2

wortel( Y2 / a ) = X^5
5wortel ( Y2 / a ) = X



het probleem is dat je de Y2 niet kan berekenen doordat je de x niet weet. mijn vraag is nu of je op de een of andere manier dit kan doen:

y kan weggelaten worden want het moet toch 0 zijn.
-f / aX^5 + bX^4 + cX^3 + dX^2 + eX
want gezien alle Xen gelijk zijn en je de rest van de waarden weet, zou het mogelijk moeten zijn dit op te lossen.
dan kan je de uitkomst hiervan gebruiken als een vervangende Y2 tot de macht waar je mee gaat rekenen in dit geval 5.

er zijn in totaal 13 Xen, maar je moet dan nog uitvinden hoe dit zich gaat verhouden door de a,b,c,d en e waarden.




uitendelijk zou dit de oplossing worden.

aX^5 + bX^4 + cX^3 + dX^2 + eX + f = y
aX^5 + bX^4 + cX^3 + dX^2 + eX = -f
aX^5 = -f - bX^4 - cX^3 - dX^2 - eX
-f / ??? = Y2 // dit moet gevonden worden
5wortel( Y2 / a ) = X


misschien dat jullie hierbij kunnen helpen. [/i]

#8

goldsteen

    goldsteen


  • >100 berichten
  • 179 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 november 2004 - 09:49

misschien dat jullie hierbij kunnen helpen.     [/i]


Ik kan niet zeggen dat ik er veel verstand van heb.
Maar als ik wat meer tijd heb wil ik het best proberen.

Er staat bij andere onderwerpen op dit wiskundeforum ook een hoop informatie en links naar sites m.b.t. meergraadsfuncties.

#9

Elmo

    Elmo


  • >1k berichten
  • 3437 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 november 2004 - 10:02

Waarom proberen mensen zo graag dit soort dingen?
Galois heeft het volgende theorema bewezen rond 1830:

Stelling (Galois):
Er bestaat geen n>4 zodanig dat anxn + an-1xn-1 + ... + a1x1 + a0 = 0
een algemene oplossing heeft (in een eindig aantal bewerkingen met optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en worteltrekken).


Het bewijs van Galois voor deze stelling is hard en onweerlegbaar. Dat is het leuke van wiskunde... :shock:
Het zal je dus nooit lukken om een algemene formule te vinden welke de wortels van een vijfdegraads (of hogere) vergelijking vinden.
Never underestimate the predictability of stupidity...

#10


  • Gast

Geplaatst op 04 november 2004 - 10:26

Waarom proberen mensen zo graag dit soort dingen?


Daar zijn wel de nodige voorbeelden voor te bedenken.
Mijn reden is om op deze manier meer inzicht in meergraadsfuncties te krijgen.

#11

NASE

    NASE


  • >250 berichten
  • 385 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 november 2004 - 11:00

als ik mij niet vergis is er een methode. Of toch iets dergelijks. Nu ben ik zelf (nog nu) te dom om het te begrijpen, en ik weet ook niet juist hoe het nu allemaal in een zat.

Ik denk dat het de een of andere recursieve methode is.
Heb wel nog de link van waar ik het heb gevonden, mss ben je er iets mee.

http://www.jacqielin...hlight=wiskunde

#12

goldsteen

    goldsteen


  • >100 berichten
  • 179 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 november 2004 - 13:01

als ik mij niet vergis is er een methode.


Bedankt voor de moeite, maar die is niet goed.
Er is bij dit onderwerp al het een en ander over geschreven:

http://www.wetenscha...?showtopic=2857

Ik zeg niet dat Suyver ongelijk heeft, maar ik wil het wel proberen.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures