Hoeveel manieren om kaarten te verdelen?

Bert F

ik heb negen (en in het algemeen n) verschillende kaarten nu wil ik die verdelen over 3 personen zodat ik al mijn negen kaarten opverdeeld heb dus een goede mogelijkheid is 7 2 0 op hoeveel manier kan ik mijn kaarten verdelen?

hoeveel manieren geven aanleiding tot x kaarten voor een persoon? dus stel x is 5 dan zal de volgende manier 4 4 1 geen manier zijn waarbij één iemand x kaarten heeft maar 7 2 0 zal wel een manier zijn waarbij er iemand er x heeft hier dus 5 of meer.

Hoe krijg ik dit berekent ?

Groeten Dank bij voorbaat.

Math

Begrijp ik het goed als ik het vertaal naar:

- Je hebt 9 (ofwel n) identieke kaarten die je wilt verdelen over 3 personen.

- Op hoeveel manieren kun je die 9 kaarten verdelen over de 3 personen, zonder verdere voorwaarden

en vervolgens:

- Op hoeveel manieren kun je die 9 kaarten verdelen ove de 3 personen, maar nu met voorwaarden, nog nader te definiëren

Klopt dit?

EvilBro

Ik heb het idee dat het volgende antwoord gezocht wordt:

Het aantal mogelijkheden waarmee x dezelfde kaarten verdeeld kunnen worden over twee personen is:

$f(x)=x+1$

Het aantal mogelijkheden voor drie personen en n dezelfde kaarten is dan dus:

$\sum_{i=0}^{n} f(n-i) = \frac{1}{2} (n+1) (n+2)$

Met $n=9$ zijn er dus 55 mogelijkheden (waarbij de verdeling 7 0 2 anders is dan 7 2 0 en 2 0 7).

Math

Met $n=9$ zijn er dus 55 mogelijkheden (waarbij de verdeling 7 0 2 anders is dan 7 2 0 en 2 0 7).

Je hebt dan verondersteld dat er geen verdere voorwaardes zijn gesteld aan de personen (bijvoorbeeld: persoon 1 moet er precies 1 krijgen). Dat kun je ook in je beredenering niet zomaar inbouwen...

Ik wacht even af wat Bert F als reactie geeft op mijn idee op de vraag.

Bert F

ik zal het probleem wat meer proberen te dimensioneren.

Het gaat hier om een kaart probleem stel er is gedeeld iedereen heeft dan 13 kaarten gekregen er zijn vier verschillende soorten. Iedereen krijgt lukraak zijn kaarten.

In het begin van het spel wordt er troef gedefinieerd dit is één van de vier soorten kaarten. Onderstel dat ik zelf nu 5 troef kaarten heb dan weet ik dat de andere samen er nog 8 hebben.

Wel nu kan dit verdeeld zijn alsvolgt 3 3 2 bijgevolg is dit een goede verdeling omwille van het feit dat als ik nu 3 keer speel al de troef eruit zal zijn. maar het kan ook dat ze alsvolgt verdeeld zijn 6 2 0 nu kan ik zelf niet de troef eruit spelen.

Maw een beetje vertaalt geven zijn n verschillende kaarten op hoeveel manier kunnen die verdeelt zitten bij 3 verschillende personen (en liefst nog bij x verschillende personen waarbij x dan kan varieren tussen 4 en 1)

hoeveel verdelingen zullen gunstig zijn ?

En met gunstig word dan bedoelt zo dat er geen enkele persoon meer dan y kaarten zitten?

de kaarten 702 207 zijn verschillende verdelingen maar al mijn kaarten moeten na het verdelen wel op zijn.

Hoe pak ik zoiets aan? Groeten.

Math

Nog een keer resumeren:

je hebt 9 kaarten (algemeen n kaarten)

je hebt 3 personen (eventueel ook te bereken met 1, 2 of 4 personen)

Gevraagd: op hoeveel manieren kun je 9 identieke kaarten verdelen over de 3 personen als zowel persoon 1, als persoon 2, als persoon 3 niet meer dan y kaarten mogen hebben (stel nu eens dat dit 5 kaarten mogen zijn)

Volgens mij is dit op te lossen met hogere combinatoriek en kun je het benaderen met machtreeksen.

Bert F

Nog een keer resumeren:

je hebt 9 kaarten (algemeen n kaarten)

je hebt 3 personen (eventueel ook te bereken met 1, 2 of 4 personen)

Gevraagd: op hoeveel manieren kun je 9 identieke kaarten verdelen over de 3 personen als zowel persoon 1, als persoon 2, als persoon 3 niet meer dan y kaarten mogen hebben (stel nu eens dat dit 5 kaarten mogen zijn)

Volgens mij is dit op te lossen met hogere combinatoriek en kun je het benaderen met machtreeksen.

oké klopt op dat na dat de kaarten niet identiek zijn (maar waarschijnelijk zal dat er niet toe doen)

Gevraagd: op hoeveel manieren kun je 9 identieke kaarten verdelen over de 3 personen als zowel persoon 1, als persoon 2, als persoon 3 niet meer dan y kaarten mogen hebben (stel nu eens dat dit 5 kaarten mogen zijn)

oké laten we stellen dat er dat vijf moeten zijn.

Maar ik had gedacht om eerst alle situatie eens te berekenen en nadien alle situaties met vijf kaarten te berekenen om zodoende het verschil te kennen.

Volgens mij is dit op te lossen met hogere combinatoriek en kun je het benaderen met machtreeksen.

Maar hoe? ik was er gisteren op aan het denken geslagen tijdens een trein rit om dat ik dit nodig heb om te verwerken in een kaart spel. in eerste instantie vond ik het iets redelijk eenvoudig maar toch wouw het maar niet lukken met midelbare kenis van de combinarotriek. Iemand een idee?

Groeten.

Math

oké klopt op dat na dat de kaarten niet identiek zijn (maar waarschijnelijk zal dat er niet toe doen)

Als je de kaarten echt als niet identiek beschouwt, maar op waarde gaat beoordelen wordt het probleem opeens een stuk comlexer of zie jij dat dan als de volgorde is WEL van belang i.p.v. niet van belang zoals dat zou zijn bij identieke kaarten?

Bert F

welke kaarten opzich is niet belangrijk uiteindelijk als ik er x+1 heb dan kan ik al die andere eruit spelen.

waarbij x dan je meest aantal is bij al de ander dus bij 7 2 0 zouw x=7 moeten zijn.

Dus opzich is dat niet zo belangrijk maar ze zijn wel verschillend.

EvilBro

Het aantal mogelijkheden om x kaarten te verdelen over 2 personen waarbij geen van de personen meer dan y kaarten krijgt (en waarbij het niet uitmaakt precies welke kaarten een persoon krijgt):

$f_y(x) = \left{ \begin{array}[pos]{cc}2y - x + 1 & \mbox{als $y\geq \frac{x}{2}$}0 & \mbox{als $y < \frac{x}{2}$} \end{array}$

Het aantal mogelijkheden om n kaarten over 3 personen te verdelen waarbij geen van de personen meer dan y kaarten krijgt:

$\sum_{i = 0}^{y} f_y(n-i)$

Bert F

dus het kan wel op zo'n eenvoudige manier of zit hier hogere combinarotriek achter?

gebruik je x voor aantal kaarten of n in vorige post (dus het totaal) en y voor het max per persoon?

maar wat zijn nu alle mogelijkheden? omdat ik straks moet gaan kunnen rekenen met kansen zie je?

Math

dus het kan wel op zo'n eenvoudige manier

Nee volgens mij niet.

Ik zal zo posten wat ik denk.

EvilBro

gebruik je x voor aantal kaarten of n in vorige post (dus het totaal) en y voor het max per persoon?

x is een hulpvariabele voor de formule f. Ik probeerde x te voorkomen om verwarring met n te voorkomen.

n is het totaal aantal kaarten dat verdeeld moet worden over de 3 personen.

y is het maximum dat een speler aan kaarten mag krijgen.

maar wat zijn nu alle mogelijkheden?

Gewoon y op het maximaal mogelijke zetten. Dan wordt de formule dus:

$\frac{1}{2} (n+1) (n+2)$

zoals ik al zei in mijn vorige post.

Bert F

@evilbro kun je mss een getalle voorbeeldje geven?

Groeten.

EvilBro

4 kaarten met 3 personen, dus n=4. Dit zijn dan alle mogelijkheden:

(0,0,4), (0,1,3), (0,2,2), (0,3,1), (0,4,0)

(1,0,3), (1,1,2), (1,2,1), (1,3,0)

(2,0,2), (2,1,1), (2,2,0)

(3,0,1), (3,1,0)

(4,0,0)

Dit zijn er 15. De gegeven formule voor het totaal aantal mogelijkheden invullen:

0.5*(4+1)*(4+2) = 0.5*5*6 = 15

We stellen nu een maximum in van 2 kaarten per persoon, dus y=2. De mogelijkheden:

(0,2,2), (1,1,2), (1,2,1), (2,0,2), (2,1,1), (2,2,0)

Met de formule:

$\sum_{i = 0}^{2} f_2(4-i) = f_2(4) + f_2(3) + f_2(2) = 1 + 2 + 3 = 6$

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Hoeveel manieren om kaarten te verdelen?

Hoeveel manieren om kaarten te verdelen?

Re: Hoeveel manieren om kaarten te verdelen?

Re: Hoeveel manieren om kaarten te verdelen?

Re: Hoeveel manieren om kaarten te verdelen?

Re: Hoeveel manieren om kaarten te verdelen?

Re: Hoeveel manieren om kaarten te verdelen?

Re: Hoeveel manieren om kaarten te verdelen?

Re: Hoeveel manieren om kaarten te verdelen?

Re: Hoeveel manieren om kaarten te verdelen?

Re: Hoeveel manieren om kaarten te verdelen?

Re: Hoeveel manieren om kaarten te verdelen?

Re: Hoeveel manieren om kaarten te verdelen?

Re: Hoeveel manieren om kaarten te verdelen?

Re: Hoeveel manieren om kaarten te verdelen?

Re: Hoeveel manieren om kaarten te verdelen?