Springen naar inhoud

Vermenigvuldigen van Determinanten


  • Log in om te kunnen reageren

#1

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 09 juli 2006 - 19:24

Mag men voor het vermenigvuldigen van twee determinanten dezelfde regel toepassen als voor matrices? Ik denk persoonlijk van wel. Klopt deze bewering?
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 juli 2006 - 19:31

Bedoel je of de matrixvermenigvuldiging ook voor determinanten geldt?
Je moet oppassen natuurlijk, de determinant is een gewoon getal!

Er geldt wel: LaTeX

Dus voor het product van twee determinanten (rechterlid) mag je ook eerst de matrixvermenigvuldiging uitvoeren, en dan van die productmatrix de determinant nemen (linkerlid).

Uiteraard zijn A en B hier vierkante matrices.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 09 juli 2006 - 19:43

Ja dat bedoel ik.

Probeer even je formule toe te passen op de vermenigvuldiging van een determinant met zichzelf. Dus het kwadraat van een determinant te nemen.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 juli 2006 - 19:59

Dan krijg je via deze formule dus:

LaTeX

Of algemeen, voor reguliere matrices:

LaTeX
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 09 juli 2006 - 21:16

Als ik je formule toepas krijg ik:

LaTeX

Pas dit even toe op een concrete (2x2) det. In het eerste lid moet ge ze als matrices vermenigvuldigen en dan de det. nemen. In het tweede lid vermenigvuldig getal det(A) met zichzelf en besluit. Pas je formule ook toe voor twee verschillende (2X2) det. en besluit.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 juli 2006 - 16:11

Wat bedoel je nu precies? De formule die ik gaf, geeft net aan dat die resultaten gelijk zullen zijn.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 10 juli 2006 - 17:01

Ik heb een fout gemaakt.
Ik wilde alleen aantonen als ge een determinant als matrix gezien vermenigvuldigt met zijn getransponeerde en ge de determinant van die matrix neemt ge ook het kwadraat van de oorspronkelijke determinant vindt en dit vindt ik zeer eigenaardig. Heb ik gecontroleerd voor (2X2) en (3X3) determinanten. Ik vind dit zeer eigenaardig en ik heb daar geen verklaring voor. Ik meende dat bovenstaande formule op dit gebied faalde maar dit is niet zo, ekskuus hiervoor. :roll:

Haast en spoed is zelden goed zeker in de wiskunde.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 juli 2006 - 17:06

Ik denk niet dat ik het volledig begrijp, maar als jij eruit geraakt bent is het goed :roll:

Ik wilde alleen aantonen als ge een determinant als matrix gezien vermenigvuldigt

Alleen hier heb ik wat moeite mee, een determinant Ūs geen matrix dus je kan een determinant ook niet 'als een matrix' vermenigvuldigen. Een determinant is een getal, tenzij je dit misschien wou zien als een 1x1 matrix, dan valt de vermenigvuldiging natuurlijk samen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 10 juli 2006 - 17:43

We zijn er nog niet TD! Blijkbaar is het vandaag mijn dag niet.
Ge kunt een determinant als getal bekeken kwadrateren.
Ge kunt ook de determinant als matrix bekijken en deze twee matrixen met mekaar vermenigvuldigen als matrixes. Wel als ge hiervan de determinant neemt krijgt ge hetzelfde getal als daarjuist.
Als ge nu terug de determinant als matrix bekijkt, de getransponeerde neemt(rijen en kolommon verwisselt) en die twee vermenigvuldigt en van deze matrix terug de determinant neemt dan krijgt ge terug hetzelfde getal. Het is dat wat mij verbaasd.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 juli 2006 - 17:49

We zijn er nog niet TD! Blijkbaar is het vandaag mijn dag niet.
Ge kunt een determinant als getal bekeken kwadrateren.

Dat kan ja, de determinant van een matrix Ūs immers een getal en niets anders!

Ge kunt ook de determinant als matrix bekijken en deze twee matrixen met mekaar vermenigvuldigen als matrixes. Wel als ge hiervan de determinant neemt krijgt ge hetzelfde getal als daarjuist.

Hier klopt iets niet. Als A een willekeurige nxn matrix is, dan is det(A) geen matrix meer, maar een getal! Je kan det(A) dus ook niet als een nxn matrix beschouwen, laat staan er zo mee vermenigvuldigen. Wat we wel hebben is dat:

LaTeX

Met andere woorden: de determinant van het kwadraat van een matrix A (dus eerste de matrixvermenigvuldiging AA uitvoeren, dan van die nieuwe matrix A≤ de determinant nemen) is gelijk aan het kwadraat van de determinant van de matrix A.

Als ge nu terug de determinant als matrix bekijkt, de getransponeerde neemt(rijen en kolommon verwisselt) en die twee vermenigvuldigt en van deze matrix terug de determinant neemt dan krijgt ge terug hetzelfde getal. Het is dat wat mij verbaasd.

Okť, dat is nog iets anders maar ook dit is makkelijk te verklaren met een andere eigenschap, namelijk:

LaTeX

In woorden: de determinant van een matrix is gelijk aan de determinant van de getransponeerde matrix.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 10 juli 2006 - 18:01

Ik had dit ondertussen ook al begrepen. Maar persoonlijk had ik nooit van deze eigenschap gehoord of bewezen gezien. In ieder geval dank voor je moeite. Ik weet weer iets bij, maar onderussen zal ik wel onbewust iets vergeten zijn. :roll:
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

#12

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 juli 2006 - 18:04

Het bewijs van die eigenschap is valt intuÔtief wel mee, maar om het rigoureus te doen moet je uitgaan van de algemene definitie van een determinant (met permutaties/verwisselingen) en dat is vrij technisch.

Wat dat vergeten betreft: zolang je minder vergeet dan je bijleert, gaat het nog goed :wink:
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures