Springen naar inhoud

[wiskunde] Eigenwaarden


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Comm

    Comm


  • >100 berichten
  • 128 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 juli 2006 - 02:39

Ik heb de volgende Lesliematrix

0,25 0,75 0,25
0,8 0 0
0 0,75 0

Ik heb de volgende eigenwaardenvergelijking gevonden:

-L^3 + 0,25L^2 + 0,6L + 0,15 = 0

Ik zie voor L alleen de oplossing L=1, maar weet dat er meer zijn. Hoe vind ik die?

Deze matrix hoort bij een populatieopbouw. Waarom is er maar 1 reele eigenwaarde?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 13 juli 2006 - 09:37

Ik heb de volgende eigenwaardenvergelijking gevonden:

-L^3 + 0,25L^2 + 0,6L + 0,15 = 0

Ik zie voor L alleen de oplossing L=1, maar weet dat er meer zijn. Hoe vind ik die?

Deze matrix hoort bij een populatieopbouw. Waarom is er maar 1 reele eigenwaarde?


Dit is te schrijven als: (L-1)(aL≤+bL+c)=0
a, b en c zijn eenvoudig 'met de hand' te berekenen.
Bv: c=-0,15.

#3

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 juli 2006 - 11:34

Als alternatief voor het vinden van die coŽfficiŽnten a,b,c door inspectie (zoals Safe aanhaalt) kan je ook de regel van Horner gebruiken.

Er is inderdaad maar een reŽle eigenwaarde, maar waarom zouden er meer moeten zijn?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#4

Comm

    Comm


  • >100 berichten
  • 128 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 juli 2006 - 00:34

Bedankt Safe.

Ik nam aan dat er meer oplossingen voor L waren dan alleen L=1.

En van die oplossingen is er maar 1 reŽel.

Ik weet niet goed wat ze dan bedoelen met reŽle eigenwaarde?

#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 juli 2006 - 11:23

Een reŽle eigenwaarde is een eigenwaarde die (een) reŽel (getal) is!
Ze kunnen namelijk in het algemeen ook complex zijn.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#6

Comm

    Comm


  • >100 berichten
  • 128 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 juli 2006 - 08:39

Juist nou dan had ik reeel even verkeerd begrepen. Ik dacht namelijk dat het een beginsituatie/populatie.

#7

Comm

    Comm


  • >100 berichten
  • 128 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 juli 2006 - 03:07

Beredeneer m.b.v. eigenwaarden hoeveel procent van de totale bevolking op de lange duur in elk van de drie leeftijdsgroepen zal zitten. Zucht...

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 19 juli 2006 - 10:45

Zeker dat je dat bij deze matrix moet doen, je hebt hier maar ťťn reŽle eigenwaarde. Deze is wel gelijk aan 1 en de complexe waarden zullen een modulus < 1 hebben (en ook het reŽel deel zal kleiner dan 1 zijn).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

Comm

    Comm


  • >100 berichten
  • 128 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 juli 2006 - 05:42

Van een klein land is de leeftijdsopbouw van de bevolking in de jaren 1950 en 1980 weergegeven in de onderstaande tabel (de aantallen zijn afgerond op tientallen; in dit land wordt niemand ouder dan 90 jaar)
jaartal 1950 1980
groep 1 0 - 30 jaar 135160 110060
groep 2 30 - 60 jaar 87240 108120
groep 3 60 - 90 jaar 43370 65430
Totaal 265770 283610


We gaan ervan uit dat de bevolkingsgroei in dit land verloopt volgens een Leslie-model.
De matrix die hierbij hoort is volgens mij:

0,25 0,75 0,25
0,8 0 0
0 0,75 0


De vraag is:
Beredeneer m.b.v. eigenwaarden hoeveel procent van de totale bevolking op de lange duur in elk van de drie leeftijdsgroepen zal zitten.

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 juli 2006 - 10:32

Zelf heb ik nooit populatie- of Leslie matrices gezien, dus ik baseer me bijvoorbeeld op Leslie matrix.
De getallen in je matrix, is dat een gegeven model of haal je die percentages uit de gegevens?
De juistheid van de matrix kan ik op dit moment dus niet controleren...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

Comm

    Comm


  • >100 berichten
  • 128 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 juli 2006 - 03:56

De juistheid haal ik inderdaad uit de gegevens. Hiermee stel ik die Leslie matrix op. Daarna eigenwaarden bepalen en daarna voorspelling doen over hoe de verdeling van de percentages zullen zijn na een lange tijd. En heb vooral moeite met dit laatste deel. De eigenwaarden gebruiken zodat ik een goede voorspelling kan doen.

#12

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 juli 2006 - 10:37

De juistheid haal ik inderdaad uit de gegevens.

Ik vroeg mij af hoe je de eerste rij bepaald had.

De eigenwaarden gebruiken zodat ik een goede voorspelling kan doen.

Stel dat LaTeX de populatie in 1950 is. Op dat moment kun je de populatie op een veelvoud van 30 jaar na 1950 berekenen:
LaTeX
Met behulp van de eigenwaarde matrix kun je L schrijven als:
LaTeX
dus:
LaTeX
Kun je hier iets mee?

#13

Comm

    Comm


  • >100 berichten
  • 128 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 juli 2006 - 01:43

Evilbro:

Ik begrijp niet wat er staat in de tweede regel.

L = V 'omgekeerde V' V ^-1

Ik ben vergeten te vermelden dat er nog een voorwaarde bestaat. Met deze voorwaarde heb ik de eerste regel bepaald.

De voorwaarde is: Uit alle drie de leeftijdsgroepen brengen mensen kinderen voort. De mensen uit de groep van 30 - 60 jaar krijgen echter gemiddeld drie maal zoveel kinderen als de mensen uit de andere twee groepen. In de andere twee groepen zijn de mensen ongeveer even vruchtbaar, d.w.z. dat ze per individu gemiddeld even veel kinderen krijgen. (Dus ook de oudjes krijgen nog kinderen!)

Hiermee heb ik de vruchtbaarheidscijfers berekend (eerste regel).

#14

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 24 juli 2006 - 22:16

Ik begrijp niet wat er staat in de tweede regel.

L = V 'omgekeerde V' V ^-1

Die 'omgekeerde V' is een hoofdletter lambda en stelt een diagonaalmatrix voor, noem'em bijvoorbeeld 'D'.
Je diagonaliseert L dus via eigenvectoren/eigenwaarden, dat is althans wat er in die regel gebeurt.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#15

Comm

    Comm


  • >100 berichten
  • 128 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 juli 2006 - 00:47

En diagonaliseren doe ik met de Gauss-Jordan eliminatie is het niet? De resultaten op de diagonaal betekenen dan wat?





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures