Als ik het goed voor heb stelt x²+y²-z=0 een paraboloïde voor met als as de z-as.
Mijn vraag is nu bestaat er een eenvoudige methode om in elk punt van het oppervlak een vector te berekenen die loodrecht staat op de raaklijn in dit punt?
Laatste berichten
-
22:54
Herleiden afmetingen vanaf een foto 12
-
18:53
Ik wil studeren via afstandsonderwijs, kennen jullie Tech?
-
18:09
Rotatie van het heelal 32
-
17:19
Ervaringen met "herontdekkingen" 12
-
18 apr
hall effect in vloeistof gebruiken als stromingssensor 6
-
18 apr
Gezocht: de/een naam voor een getallenrij met een cauchyrij als partieelsommenrij
-
18 apr
Casus uit de praktijk: positief test THC 18
-
17 apr
speciale rel. theorie 4
-
17 apr
Vreemde stank in huis 11
-
17 apr
3 vragen over mijn rooskleurige r.berekening H2netGekoppeldeHBrflowbatterij.
-
17 apr
Interpretatie reactie-energie 3
-
17 apr
Logistic equation (Pierre Verhulst,Belgian Mathematician) 5
-
16 apr
vB 9
-
15 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 1
-
15 apr
Python: sockets sluiten 4
-
14 apr
Een eenvoudige logische redenering waarom tijd niet kan bestaan 'daarbuiten' 6
-
14 apr
Hoe kun je op quantumwijze getallen vinden in een rij die kleiner zijn dan getal k 3
-
13 apr
Documentenverdwijnen uit onedrive 1
-
12 apr
Behoud van impulsmoment en energie 5
-
12 apr
INLOG STORING / TIPS 4
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Loodlijn op een raakvlak.
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
-
- Berichten: 3.330
Loodlijn op een raakvlak.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
-
- Berichten: 792
Re: Loodlijn op een raakvlak.
Ja.
Even een kleine opmerking : je titel houdt meer steek dan je tekst. Er is niet zoiets op een oppervlak als 'de raaklijn' in een punt. Er is wel een raakvlak, die precies de unie is van alle raaklijnen door dat punt. Je titel is goed : er is (op een ontaarding na) precies een loodrechte, er is NIET zoals als een vector loodrecht op de raaklijn, die vraag houdt geen steek.
Bon, noem f de functie van je oppervlak :
Leid hem af, en vul nu zelf in :
Dit zou moeten lukken nu.
Even een kleine opmerking : je titel houdt meer steek dan je tekst. Er is niet zoiets op een oppervlak als 'de raaklijn' in een punt. Er is wel een raakvlak, die precies de unie is van alle raaklijnen door dat punt. Je titel is goed : er is (op een ontaarding na) precies een loodrechte, er is NIET zoals als een vector loodrecht op de raaklijn, die vraag houdt geen steek.
Bon, noem f de functie van je oppervlak :
\( f=x^2+y^2-z^2\)
Stel je wil die vector in het punt p : (a,b,c) (dit zijn dus de coördinaten)Leid hem af, en vul nu zelf in :
\( (\frac{\partial{f}}{\partial{x}}, \frac{\partial{f}}{\partial{y}}, \frac{\partial{f}}{\partial{z}})_{(x,y,z)=(a,b,c)\)
Ik bedoel met dat laatste, stel dus x y en respectievelijk gelijk aan a, b en c.Dit zou moeten lukken nu.
-
- Berichten: 3.330
Re: Loodlijn op een raakvlak.
Ik maakte een fout. In de tekst bedoelde ik natuurlijk raakvlak. 
Gij bedoelde natuurlijk z i.p.v. z² dan is er geen ontaarding. De redenering blijft natuurlijk dezelfde en ziet er op het eerste zicht goed uit.
Een voorbeeld van een vector in coördinaatvorm zou zijn: (2a,2b,-1). In het punt (0,0,0) zou dit (0,0,-1) geven en dat is de eenheidsvector langs z-as, zin naar beneden, en dit klopt volledig.
Gij bedoelde natuurlijk z i.p.v. z² dan is er geen ontaarding. De redenering blijft natuurlijk dezelfde en ziet er op het eerste zicht goed uit.
Een voorbeeld van een vector in coördinaatvorm zou zijn: (2a,2b,-1). In het punt (0,0,0) zou dit (0,0,-1) geven en dat is de eenheidsvector langs z-as, zin naar beneden, en dit klopt volledig.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
-
- Berichten: 2.589
Re: Loodlijn op een raakvlak.
je hebt dit nodig als je oppervlakte integralen wilt gaan berekenen.
Het komt er dus op neer dat je een vector waardige functie opstelt
want het is nu net een eigenschap van het vectorieel product dat hij een vector teruggeeft die loodrecht op de twee ander staan.
zie ook http://tutorial.math.lamar.edu/AllBrowsers...ricSurfaces.asp
Het komt er dus op neer dat je een vector waardige functie opstelt
\( \vec{R}(x,y)=x\vec{e_1}+y\vec{e_2}+(x^2+y^2)\vec{e_3}\)
nu deze afleidt naar waar zij in functie van is en dan samen met deze 2 afgeleides het formeel determinantje berekent wat je dan in ieder punt de normale geeft.want het is nu net een eigenschap van het vectorieel product dat hij een vector teruggeeft die loodrecht op de twee ander staan.
zie ook http://tutorial.math.lamar.edu/AllBrowsers...ricSurfaces.asp
-
- Berichten: 24.578
Re: Loodlijn op een raakvlak.
Merk op dat dit niets anders is dan de gradiënt van f in een punt!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 3.330
Re: Loodlijn op een raakvlak.
Als ik het goed begrepen heb kan men een vector loodrecht op een raakvlak van een oppervlak berekenen als volgt: Men berekent f=constante en neemt de gradiënt van f.
Voor ons geval is f=x²+y²-z dus:
Ik vraag me nu af: Als we zo'n vector hebben is het nu ook niet gemakkelijk de cartesische vgl van het raakvlak in (a,b,c) te vinden.
Voor ons geval is f=x²+y²-z dus:
\(\bigtriangledown (x^2+y^2-z)=\frac{\partial{x^2}}{\partial{x}}\overrightarrow{e}_{x}-\frac{\partial{y^2}}{\partial{y}}\overrightarrow{e}_{y}-\frac{\partial{z}}{\partial{z}}\overrightarrow{e}_{z}=2x\overrightarrow{e}_{x}+2y\over\rightarrow{e}_{y}-\overrightarrow{e}_{z}\)
Als men een vector wil in (a,b,c) dan vervangt men in bovenstaande x door a ...Ik vraag me nu af: Als we zo'n vector hebben is het nu ook niet gemakkelijk de cartesische vgl van het raakvlak in (a,b,c) te vinden.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
-
- Berichten: 24.578
Re: Loodlijn op een raakvlak.
Let op: in je voorbeeld komt dit toevallig uit maar om de gradiënt te bepalen moet je de partiële afgeleides van de volledige functie nemen.
Hier komt het qua resultaat toevallig overeen met de termen die je er wel bij betrekt. Ik bedoel:
Voor gegeven \(y = f\left( {x_1 ,x_2 } \right)\) krijg je het raakvlak in p = (a,b,f(a,b)) als:
Hier komt het qua resultaat toevallig overeen met de termen die je er wel bij betrekt. Ik bedoel:
\(\nabla \left( {x^2 + y^2 - z} \right) = \left( {\frac{{\partial \left( {x^2 + y^2 - z} \right)}}{{\partial x}},\frac{{\partial \left( {x^2 + y^2 - z} \right)}}{{\partial y}},\frac{{\partial \left( {x^2 + y^2 - z} \right)}}{{\partial z}}} \right) = \left( {2x,2y, - 1} \right)\)
Je kan hiermee inderdaad de vergelijking van het raakvlak opstellen.Voor gegeven \(y = f\left( {x_1 ,x_2 } \right)\) krijg je het raakvlak in p = (a,b,f(a,b)) als:
\(y = f\left( {\vec p} \right) + \nabla f_{\vec p} \left( {\vec x - \vec p} \right)\)
Concreet uitgeschreven voor het 2D geval:\(y = f\left( {a,b} \right) + \left. {\frac{{\partial f}}{{\partial x_1 }}} \right|_{\left( {a,b} \right)} \left( {x_1 - a} \right) + \left. {\frac{{\partial f}}{{\partial x_2 }}} \right|_{\left( {a,b} \right)} \left( {x_2 - b} \right)\)
Het kan ook algemener voor impliciet gegeven f(x,y,z) = 0 ipv z = f(x,y); herschrijven in deze laatste vorm is niet altijd mogelijk."Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 3.330
Re: Loodlijn op een raakvlak.
Je opmerking is volledig terecht, maar voor de eenvoud had ik de niet nodige termen al weggelaten.
Ik zal eerlijk zijn je methode om het raakvlak te bepalen vindt ik nogal moelijk. Ik zal misschien een eenvoudiger vinden, die algemeen geldt ook voor de impliciete vorm.
Ik zal eerlijk zijn je methode om het raakvlak te bepalen vindt ik nogal moelijk. Ik zal misschien een eenvoudiger vinden, die algemeen geldt ook voor de impliciete vorm.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
-
- Berichten: 3.330
Re: Loodlijn op een raakvlak.
Ik probeer met hier en daar wat hulp uit boeken
De plaatsvector v.h. raakpunt is: \(\vec r_{0}=a\vec e_{x}+b\vec e_{y}+c\vec e_{z}\).
Zij (x,y,z) willekeurig punt raakvlak dan plaatsvector: \(\vec r=x\vec e_{x}+y\vec e_{y}+z\vec z_{z}\).
Nu behoort \(\vec r-\vec r_{0}\) tot het raakvlak en algemeen is de vgl van het raakvlak \( (\vec r-\vec r_{0}).\nabla f=0\).
Voor onze paraboloïde krijgen we:
2ax+2by-z=2a²+2b²-c
(0,0,0) geeft z=0 het (x,y) vlak wat klopt.
Opmerking: TD! als ge antwoord wilt ge dan even uitleggen hoe ge een bepaald woord naar iets kunt laten verwijzen. Het zal wel niet moeilijk zijn maar ik zie het zo direct niet. Dank bij voorbaat.
De plaatsvector v.h. raakpunt is: \(\vec r_{0}=a\vec e_{x}+b\vec e_{y}+c\vec e_{z}\).
Zij (x,y,z) willekeurig punt raakvlak dan plaatsvector: \(\vec r=x\vec e_{x}+y\vec e_{y}+z\vec z_{z}\).
Nu behoort \(\vec r-\vec r_{0}\) tot het raakvlak en algemeen is de vgl van het raakvlak \( (\vec r-\vec r_{0}).\nabla f=0\).
Voor onze paraboloïde krijgen we:
\(((x-a).\vec e_x+(x-b).\vec e_y+(x-c).\vec e_z).(2a\vec e_x+2b\vec e_y -\vec e_z)=0\)
na uitrekenen krijgen we:2ax+2by-z=2a²+2b²-c
(0,0,0) geeft z=0 het (x,y) vlak wat klopt.
Opmerking: TD! als ge antwoord wilt ge dan even uitleggen hoe ge een bepaald woord naar iets kunt laten verwijzen. Het zal wel niet moeilijk zijn maar ik zie het zo direct niet. Dank bij voorbaat.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
-
- Berichten: 24.578
Re: Loodlijn op een raakvlak.
Ik zie het verschil niet direct, alleen heb jij nu f(x,y,z) beschouwd en dat is prima.
Je vergelijking van het raakvlak is wel verder te herschrijven voor je paraboloïde want die c is niet onbekend vermits c = a²+b², dus:
Als je niet de URL zelf maar een ander woord als 'klikbare tekst' wil gebruiken, doe dan dit om "deze topic" te verkrijgen:
Je vergelijking van het raakvlak is wel verder te herschrijven voor je paraboloïde want die c is niet onbekend vermits c = a²+b², dus:
\(z + a^2 + b^2 = 2ax + 2ay\)
Bedoel je een link naar een internetpagina? Bij het plaatsen van een bericht heb je een knop "URL", die kan je gebruiken.Opmerking: TD! als ge antwoord wilt ge dan even uitleggen hoe ge een bepaald woord naar iets kunt laten verwijzen. Het zal wel niet moeilijk zijn maar ik zie het zo direct niet. Dank bij voorbaat.
Als je niet de URL zelf maar een ander woord als 'klikbare tekst' wil gebruiken, doe dan dit om "deze topic" te verkrijgen:
Code: Selecteer alles
[url=http://wetenschapsforum.nl/invision/index.php?showtopic=34849]deze topic[/url]"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
