Springen naar inhoud

Loodlijn op een raakvlak.


  • Log in om te kunnen reageren

#1

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 17 juli 2006 - 20:23

Als ik het goed voor heb stelt x≤+y≤-z=0 een paraboloÔde voor met als as de z-as.
Mijn vraag is nu bestaat er een eenvoudige methode om in elk punt van het oppervlak een vector te berekenen die loodrecht staat op de raaklijn in dit punt?
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

evilbu

    evilbu


  • >250 berichten
  • 792 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 juli 2006 - 20:58

Ja.

Even een kleine opmerking : je titel houdt meer steek dan je tekst. Er is niet zoiets op een oppervlak als 'de raaklijn' in een punt. Er is wel een raakvlak, die precies de unie is van alle raaklijnen door dat punt. Je titel is goed : er is (op een ontaarding na) precies een loodrechte, er is NIET zoals als een vector loodrecht op de raaklijn, die vraag houdt geen steek.


Bon, noem f de functie van je oppervlak :LaTeX Stel je wil die vector in het punt p : (a,b,c) (dit zijn dus de coŲrdinaten)

Leid hem af, en vul nu zelf in :LaTeX

Ik bedoel met dat laatste, stel dus x y en respectievelijk gelijk aan a, b en c.

Dit zou moeten lukken nu.

#3

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 18 juli 2006 - 05:05

Ik maakte een fout. In de tekst bedoelde ik natuurlijk raakvlak. :roll:

Gij bedoelde natuurlijk z i.p.v. z≤ dan is er geen ontaarding. De redenering blijft natuurlijk dezelfde en ziet er op het eerste zicht goed uit.

Een voorbeeld van een vector in coŲrdinaatvorm zou zijn: (2a,2b,-1). In het punt (0,0,0) zou dit (0,0,-1) geven en dat is de eenheidsvector langs z-as, zin naar beneden, en dit klopt volledig.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

#4

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 juli 2006 - 08:32

je hebt dit nodig als je oppervlakte integralen wilt gaan berekenen.

Het komt er dus op neer dat je een vector waardige functie opstelt LaTeX nu deze afleidt naar waar zij in functie van is en dan samen met deze 2 afgeleides het formeel determinantje berekent wat je dan in ieder punt de normale geeft.
want het is nu net een eigenschap van het vectorieel product dat hij een vector teruggeeft die loodrecht op de twee ander staan.

zie ook http://tutorial.math...ricSurfaces.asp

#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 18 juli 2006 - 11:11

Merk op dat dit niets anders is dan de gradiŽnt van f in een punt!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#6

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 18 juli 2006 - 19:44

Als ik het goed begrepen heb kan men een vector loodrecht op een raakvlak van een oppervlak berekenen als volgt: Men berekent f=constante en neemt de gradiŽnt van f.

Voor ons geval is f=x≤+y≤-z dus:

LaTeX

Als men een vector wil in (a,b,c) dan vervangt men in bovenstaande x door a ...

Ik vraag me nu af: Als we zo'n vector hebben is het nu ook niet gemakkelijk de cartesische vgl van het raakvlak in (a,b,c) te vinden.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

#7

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 18 juli 2006 - 22:23

Let op: in je voorbeeld komt dit toevallig uit maar om de gradiŽnt te bepalen moet je de partiŽle afgeleides van de volledige functie nemen.
Hier komt het qua resultaat toevallig overeen met de termen die je er wel bij betrekt. Ik bedoel:

LaTeX

Je kan hiermee inderdaad de vergelijking van het raakvlak opstellen.
Voor gegeven LaTeX krijg je het raakvlak in p = (a,b,f(a,b)) als:

LaTeX

Concreet uitgeschreven voor het 2D geval:

LaTeX

Het kan ook algemener voor impliciet gegeven f(x,y,z) = 0 ipv z = f(x,y); herschrijven in deze laatste vorm is niet altijd mogelijk.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#8

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 19 juli 2006 - 05:57

Je opmerking is volledig terecht, maar voor de eenvoud had ik de niet nodige termen al weggelaten.

Ik zal eerlijk zijn je methode om het raakvlak te bepalen vindt ik nogal moelijk. Ik zal misschien een eenvoudiger vinden, die algemeen geldt ook voor de impliciete vorm.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

#9

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 19 juli 2006 - 08:53

Ik probeer met hier en daar wat hulp uit boeken :roll:

De plaatsvector v.h. raakpunt is: LaTeX .
Zij (x,y,z) willekeurig punt raakvlak dan plaatsvector: LaTeX .

Nu behoort LaTeX tot het raakvlak en algemeen is de vgl van het raakvlak LaTeX .

Voor onze paraboloÔde krijgen we:

LaTeX

na uitrekenen krijgen we:

2ax+2by-z=2a≤+2b≤-c

(0,0,0) geeft z=0 het (x,y) vlak wat klopt.

Opmerking: TD! als ge antwoord wilt ge dan even uitleggen hoe ge een bepaald woord naar iets kunt laten verwijzen. Het zal wel niet moeilijk zijn maar ik zie het zo direct niet. Dank bij voorbaat.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 19 juli 2006 - 11:00

Ik zie het verschil niet direct, alleen heb jij nu f(x,y,z) beschouwd en dat is prima.
Je vergelijking van het raakvlak is wel verder te herschrijven voor je paraboloÔde want die c is niet onbekend vermits c = a≤+b≤, dus:

LaTeX

Opmerking: TD! als ge antwoord wilt ge dan even uitleggen hoe ge een bepaald woord naar iets kunt laten verwijzen. Het zal wel niet moeilijk zijn maar ik zie het zo direct niet. Dank bij voorbaat.

Bedoel je een link naar een internetpagina? Bij het plaatsen van een bericht heb je een knop "URL", die kan je gebruiken.
Als je niet de URL zelf maar een ander woord als 'klikbare tekst' wil gebruiken, doe dan dit om "deze topic" te verkrijgen:

[url=http://wetenschapsforum.nl/invision/index.php?showtopic=34849]deze topic[/url]
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures