Hallo,
ik denk dat ik dit probleem tot een goed einde kan brengen.
Eerst een vooral, bert f, je hebt een klein tekenfoutje in je afgeleide naar z
\(2 x +2 z a\)
is dat
Kotje heeft denk ik voortgewerkt op jouw bewerkingen, opletten dus...
Ook nog een kleine opmerkingen : wat kotje zei is uiteraard waar, die afgeleide naar a moet nul zijn, dat is de laatste voorwaarde.. maar wat is die afgeleide? Inderdaad : niks anders dan de nevenvoorwaarde zelf! En dat is logisch, daar moet je punt immers op liggen.
Wat zou ik doen? Eerst x,y en z oplossen in functie van a, met behulp van enkel DE EERSTE DRIE VERGELIJKINGEN
Nu even inzien dat a=-1 niet kan, je eerste vergelijking "botst" met je derde
En nu is het naar hartelust uitwerken :
\(x=- \frac{a^2}{2(1+a )}y=0z=\frac{a}{2(1+a)}\)
En nu nog de laatste voorwaarde
\(-x-y^2+z^2+1\)
, vul hier gewoon de x, y en z in en je bekomt deze voorwaarde voor a :
\(2 a^3+ 7 a^2 +8 a +4\)
los die op naar a en je hebt alles! Je vindt maar een punt :
(x,y,z) =(2,0,1)
Ik kan me voorstellen dat je misschien die derdegraadsvergelijking nog altijd niet zo evident vindt. Er is een formule, maar die is hier 'overkill' Immers : bij een gehele veelterm kunnen rationale oplossingen frac{r}{s} enkel als s de hoogstegraadscoefficiënt deelt en r de constante term deelt.
Zo vind je snel a=-2
Nu nog uitdelen, je krijgt een tweedegraads die enkel nog imaginaire oplossingen heeft!
