Hermitisch toegevoegde

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer
Berichten: 294

Hermitisch toegevoegde

Gedag,

een hermitisch toegevoegde van een matrix is gedefinieerd als de complex toegevoegde en de getransponeerde van die matrix.

Bij operatoren ist uiteindelijk hetzelfde, maar iets moeilijker te definieren... finja, kheb hier definitie voor mij in de bracketnotatie.... Komt er dus op neer dat de operator dezelfde invloed heeft op de duale vectorruimte (kweetniemeer hoe da juist noemt in algebratermen..)

maar mijn probleem zit hem nu int feit dat ik niet weet hoe ik de hermitisch toegevoegde moet nemen van een afgeleide operator...

wat is de hermitisch toegevoegde van bvb een afleiding naar x? en van de gradient?

meer specifiek: hoe bewijs ik dat
\(-i \hbar \vec{r} \times \nabla\)
een hermitische operator is?

hartelijk dank!

Andy

Gebruikersavatar
Berichten: 792

Re: Hermitisch toegevoegde

kan je es expliciet uitleggen wat je bedoelt met

de operator
\(\vec{r}\times \nabla \)
kun je es de expliciete werking van de operator geven?

Wel, dit is de pure (matrixloze) definitie van een hermitische lineaire operator T
\(<w, T(v)>= <T(w),v>\)
voor alle vectoren v en w

maar als ik je vraag beter begrijp zal ik misschien meer kunnen zeggen

Berichten: 294

Re: Hermitisch toegevoegde

\(-i \hbar \vec{r} \times \vec{\nabla}\)
werkt in op een functieruimte
\([R --> R]\)


probleem is dat ik niet goed meer weet hoe je zoiets moet uitwerken... ik dacht dat er iets speciaals was om zo'n uitdrukking met nabla erin uit te werken

finja, als er niets speciaals is, dan ist:
\([y\frac{\partial}{\partial z}- z \frac{\partial}{\partial y},z\frac{\partial}{\partial x}- x\frac{\partial}{\partial z},x\frac{\partial}{\partial y}- y\frac{\partial}{\partial x}]\)
een vectoroperator dus...

maar bvb ook: wat is hermitisch toegevoegde van
\(\frac{\partial}{\partial x}\)
(of eventueel met een i voor).. Die operator werkt dus ook in op een functieruimte... maar die functieruimte is oneindig dimensionaal, dus matrix opstellen is nie mogelijk e.. weet dan nie goed hoe ik da moe aanpakken...

(das trouwens definitie zoals algebra ze voorstelt, nu get zegt herinner ik mij die alweer...)

Groeten,

Andy

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Hermitisch toegevoegde

"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 792

Re: Hermitisch toegevoegde

Andy schreef:
\(-i \hbar \vec{r} \times \vec{\nabla}\)
werkt in op een functieruimte
\([R --> R]\)
 

probleem is dat ik niet goed meer weet hoe je zoiets moet uitwerken... ik dacht dat er iets speciaals was om zo'n uitdrukking met nabla erin uit te werken

finja, als er niets speciaals is, dan ist:
\([y\frac{\partial}{\partial z}- z \frac{\partial}{\partial y},z\frac{\partial}{\partial x}- x\frac{\partial}{\partial z},x\frac{\partial}{\partial y}- y\frac{\partial}{\partial x}]\)
een vectoroperator dus...
noem me gek, maar daar heb ik dus problemen mee, want je begint met een functie, en je eindigt met een driedimensionaal vectorveld. Dit kan dus geen afbeelding van een ruimte naar dezelfde ruimte zijn?

Gebruikersavatar
Berichten: 792

Re: Hermitisch toegevoegde

He Andy, nu dat TD blijkbaar weg is, kan ik het misschien toch es wagen :roll: :

Jij zoekt de hermitische toegevoegde van
\(\frac{\partial}{\partial{x}} \)
?

Wel, laat die operator T zijn

Wij zoeken
\(T^{*} \)
zodat
\(<v,T(w) > = <T^{*}(v),w> \forall v,w\)
of expliciet
\(\int v \frac{\partial{\bar{w}}}{\partial{x}} = \int T^{*}(v) \bar{w}\)


bekijk dat linkerlid nu nog es beter, je kan dit met partiële integratie herschrijven als
\([v \bar{w}]^{+\infty}_{-\infty} - \int \frac{\partial{v}}{\partial{x}} \bar{w}\)
nu is de eerste term nul omdat die functie v voor oneindig naar nul streeft, een wiskundige zou daar moeilijk om doen (ik dus ook) maar quantummechanica is blijkbaar gekaapt door fysici en die hebben daar geen probleem mee blijkbaar...
\(= - \int \frac{\partial{v}}{\partial{x}} \bar{w}\)
laat ons nu es kijken wat we al weten : wij hebben dus blijkbaar opgelegd dat
\(T^{*}\)
zodanig moet zijn dat
\(= - \int \frac{\partial{v}}{\partial{x}} \bar{w}= \int T^{*}(v) \bar{w} \)
het komt allemaal netjes uit dus als we stellen
\( T^{*}(v)=- \frac{\partial{v}}{\partial{x}}\)
deze operator heeft dus als hermitisch toegevoegde zijn tegengestelde

Het verdient zeker een opmerking dat dit impliceert :
\(i \frac{\partial}{\partial{x}} \)
heeft zichzelf als hermitisch toegevoegde en is dus hermitisch

Je moet maar reply'en als je meer wil weten.

Berichten: 294

Re: Hermitisch toegevoegde

hmm, ja, eigenlijk ist nie zo moeilijk... kzat vooral te denken aan matrixbegrip van hermitisch toegevoegde, waarmee dak beetje in de knoei geraakt ben..
\([v \bar{w}]^{+\infty}_{-\infty} - \int \frac{\partial{v}}{\partial{x}} \bar{w}\)
dat dat eerste nul is, da komt omdat zowel v als w op oneindig nul worden...(anders geen fysische betekenis, finja, kweetnie of ge echt ín de kwantummechanica zit, maar |v|^2 stelt dus waarschijnlijkheidsdistributie voor en aangezien de oppervlak onder die curve 1 moet zijn (eindig) kan het dus niet dat |v|^2 naar een getal verschillend van nul streeft op oneindig. voor w geldt dezelfde redenering.. dus kzie daar nie echt graten in... finja...

en het feit dat het een vectoroperator is, eigenlijk is elke component van die operator een belangrijke lineaire operator... die vectoroperator is L en dus de componenten Lx, Ly en Lz zijn belangrijk...

Gebruikersavatar
Berichten: 792

Re: Hermitisch toegevoegde

Jamaar! Je moet het kind dan ook bij zijn naam noemen!

Je wil niet bewijzen dat
\(L\)
hermitisch is , maar
\(L_x ,L_y\)
en
\(L_z\)
Wel ik zal je weer een trucje geven, een mooie oefening in algebra over complexe getallen.

Bewijs dat volgende eigenschappen equivalent zijn als
\( T\)
een lineaire operator is.

1.
\(T\)
is hermitisch

2.
\(<v,T(w)>=<T(v),w> \forall v,w\)
3.
\( <v,T(v)>=<T(v),v> \forall v \)
(bemerk het verschil met het vorige punt)

4.
\( <v,T(v)>=\bar{<v,T(v)>} \)
(met andere woorden,
\(<v,T(v)> \in \mathbb{R}\)
)

Edit : oeioei, dit is hier niet goed, ik bedoel dus toegevoegde he, mijn 'bar' is niet breed genoeg. :roll:

Jij wou bewijzen dat
\( L_{x}\)
en zo hermitisch zijn, wel dan zou ik persoonlijk aanraden dat je de vierde voorwaarde controleert.

Reageer