Springen naar inhoud

Transfiniete Getallen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 30 juli 2006 - 20:43

Ik schrijf het onderstaande omdat ik sommige aspecten van de wiskunde eigenaardig vind.

Een verzameling is aftelbaar als men een bijectie kan leggen tussen de verzameling van de natuurlijke getallen LaTeX of een echte deelverzameling ervan met de gegeven verzameling.
Voorbeelden daarvan zijn de verzameling v.d. gehele getallen LaTeX en de verzameling van de rationale getallen LaTeX . Ze bevatten evenveel getallen als LaTeX .

Nu is de verzameling v.d. reŽele getallen LaTeX waarvan de grafische voorstelling al de punten op een as zijn niet aftelbaar. Het LaTeX aantal reŽele getallen is groter dan het LaTeX aantal natuurlijke getallen.
Een eigenaardige eigenschap van niet aftelbare verzamelingen is dat een echte deelverzameling evenveel reŽele getallen bevat dan
LaTeX zelf b.v. in (-1,1) zitten evenveel reeŽle getallen als in LaTeX zelf. een echt deel is dus even groot dan het geheel.

Als men een vlak neemt dan krijgt men een nog grotere oneindigheid en in de ruimte een nog grotere. Gaat men over naar meer-dimensieonale ruimten dan krijgt men nog grotere oneindigheden. Blijkbaar zijn er oneindig aantal oneindigheden. (Transfiniete getallen).
Misschien zijn er mensen die verzamelingen kennen die een kardinaalgetal hebben, die groter is dan die van LaTeX .

Beschouwen we nu de rij LaTeX . Het zijn allemaal infinitesimale getallen die naar 0 gaan en naarmate de macht groter wordt sneller.Ze worden echter nooit identisch 0. Hierop steunt o.a calculus. Voor mij voelt dit eigenaardig aan.

Misschien is er een verband met bovenstaande oneindigheden.
Neem men de rij :
LaTeX
Is die rij misschien gelijk aan bovenstaande LaTeX -heden?
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

evilbu

    evilbu


  • >250 berichten
  • 792 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 juli 2006 - 20:57

Ik ben geen specialist maar beweer jij nu datLaTeX en LaTeX niet evenveel elementen hebben??

#3

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 30 juli 2006 - 21:47

Ik heb beweerd dat het vlak meer punten bevat dan een rechte. Als gij een bijectie kunt leggen tussen LaTeX , dan heb ik ongelijk en valt mijn bewering over ruimte enz. ook weg. Maar ik weet zeker dat er oneindig oneindigheden zijn (men spreekt ook van transfiniete getallen), die groter zijn dan die van LaTeX .Heb ik vroeger eens gelezen en bewezen gezien, maar ik ben de bron kwijt en internet laat het ook afweten.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

#4

evilbu

    evilbu


  • >250 berichten
  • 792 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 juli 2006 - 23:37

Ja ik beweer dat er een bijectie bestaat tussen een vlak en een rechte.

Dit is maar een schets maar je bent dicht in de buurt als je een grove bijectie legt tussen LaTeX en LaTeX
Werk binair :

beeldLaTeX af op

LaTeX

Het is maar een schets, ik weet niet of ik een 100% exact bewijs ergens heb liggen, maar ik ben er zeker van dat het aantal punten gelijk is.

Misschien verwar je hiermee :

het aantal functies van R naar R, soms als LaTeX genoteerd, heeft meer elementen dan R

#5

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 31 juli 2006 - 05:03

evilbu schreef:

Misschien verwar je hiermee :  

het aantal functies van R naar R, soms als genoteerd  , heeft meer elementen dan R


Nu herinner ik het mij terug, het ging over de functies, die gij aanhaalt. het bewijs daarvan ontgaat mij ook volledig.

Die bijectie die gij aanhaalt, daar moet ik nog even over nadenken. Maar het ziet er goed uit. Ik ben blij dat gij mijn geest op dit gebied terug hebt kunnen wakerschudden. Dank je.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

#6

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 31 juli 2006 - 08:36

Kanttekening:

Beschouwen we nu de rij LaTeX

. Het zijn allemaal infinitesimale getallen die naar 0 gaan en naarmate de macht groter wordt sneller.Ze worden echter nooit identisch 0. Hierop steunt o.a calculus.

Dit is volgens mij niet juist. Calculus steunt niet op infinitesimalen. Calculus gebruikt juist limieten om infinitesimalen te voorkomen.

#7

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 31 juli 2006 - 08:44

Een verzameling die in cardinaliteit groter is dan :P is de verzameling van alle deelverzamelingen van :roll:.
Dat verhaal over die rij van infinitesimalen is onjuist. dx is een symbool en heeft geen relatie met :P.
Het verhaal is iets ingewikkelder:
Je kunt bewijzen dat de getallenlijn alle reele getallen bevat en verder niets. Dat lijkt misschien vanzelfsprekend, maar dat is het niet. Het werd bewezen door Dedekind.
Als we in het bewijs van Dedekind een <-teken vervangen door een :P-teken, dan krijgen we een definitie van een "super"getallenlijn, die veel meer getallen bevatten dan de reele getallen.
Als we het aantal reele getallen aangeven met omega.gif, dan "bestaat" ook 1/omega.gif en omega.gif - 1/omega.gif < omega.gif < omega.gif2.

#8

sirius

    sirius


  • >250 berichten
  • 336 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 juli 2006 - 08:58

Werk binair :

beeldLaTeX

af op

LaTeX

Het is maar een schets, ik weet niet of ik een 100% exact bewijs ergens heb liggen, maar ik ben er zeker van dat het aantal punten gelijk is.


Deze bijectie werkt alleen voor aftelbaar oneindige verzamelingen zoals inderdaad de rationale getallen, echter voor de reele getallen werkt het niet. Het bewijs hiervan heb ik zo niet klaar. Jou bewijs klopt niet omdat je alleen de rationele getallen beschrijft.
Duct tape is like the force: it has a dark side, a light side and it holds the universe together.

#9

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 31 juli 2006 - 09:12

Deze bijectie werkt alleen voor aftelbaar oneindige verzamelingen

Volgens mij is het bewijs correct, als je afspreekt dat je rationale getallen altijd representeert (indien mogelijk) met een staart van oneindig veel nullen.

Deze "diagonaal"truc werkt ook voor verzamelingen met hogere cardinaliteit.

#10

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 31 juli 2006 - 09:36

Dit is volgens mij niet juist. Calculus steunt niet op infinitesimalen. Calculus gebruikt juist limieten om infinitesimalen te voorkomen.


LaTeX
Ik meen dat het een kwestie van notatie is dx is een verkorte schrijfwijze voor limiet.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

#11

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 31 juli 2006 - 09:46

Ik probeer b.v. langs projectie rond een bijectie te leggen tussen de punten van een vlak en een rechte. Blijkbaar lukt dit niet. De andere hier beschreven methoden blijken voor mij ook ondoorzichtelijk.
Maar dat er meer functies zijn van LaTeX dan reŽle getallen dat weet ik zeker .Maar bewijzen is nog iets anders.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

#12

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 31 juli 2006 - 11:31

LaTeX

Als je dx zo definieert dan is dx gewoon nul. Het is niet een infinitesimaal.

#13

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 31 juli 2006 - 11:52

Evilbro beweert:

Als je dx zo definieert dan is dx gewoon nul. Het is niet een infinitesimaal.


We hebben een zeer groot probleem. Voor mijn betekent limiet voor x gaande naar 5 , limiet voor x gaande naar 0 enz. dat x nooit 5 of 0 enz. wordt, maar er steeds maar dichter bijkomt.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

#14

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 31 juli 2006 - 12:32

Voor mijn betekent limiet voor x gaande naar 5 , limiet voor x gaande naar 0 enz. dat x nooit 5 of 0 enz. wordt, maar er steeds maar dichter bijkomt.

Dat is leuk, maar dat is niet de gebruikelijke definitie.

Een getal L heet de limiet van f voor x naar a, notatie LaTeX , als er voor iedere LaTeX een LaTeX bestaat zodat voor alle LaTeX met LaTeX geldt LaTeX . Hierbij is I een open interval van LaTeX en LaTeX . Het is hierbij niet noodzakelijk dat f gedefinieerd is op het punt a.

#15

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 31 juli 2006 - 13:08

Deze bijectie werkt alleen voor aftelbaar oneindige verzamelingen zoals inderdaad de rationale getallen, echter voor de reele getallen werkt het niet. Het bewijs hiervan heb ik zo niet klaar. Jou bewijs klopt niet omdat je alleen de rationele getallen beschrijft.

Ben je het ermee eens dat ieder reŽel getal x met 0[kleinergelijk]x<1 op unieke wijze te schrijven valt als
0,u1u2u3... waarbij u1, u2, enz. een oneindige rij is? (en ui :roll: :P, 0[kleinergelijk]ui<10 [vooralle]i)
Let op: het gaat dan niet alleen over rationale getalen, maar ook over bijv. LaTeX
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures