Springen naar inhoud

Ongelijkheid bewijzen.


  • Log in om te kunnen reageren

#1

rasputin

    rasputin


  • 0 - 25 berichten
  • 5 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 01 augustus 2006 - 18:02

Te bewijzen.
LaTeX

Waarbij LaTeX en LaTeX .

Zelf heb ik geprobeerd de ongelijkheid van bernoulli toe te passen, maar dat lukte niet echt, en achteraf bekeken, daar is gegeven dat het om natuurlijke machten n gaat, daar was hier niks over gezegd-op m'n examen :P .
Ik heb ook wel substituties proberen doorvoeren, maar daarvoor moet je een factor hebben die overal op de ene of andere wijze voorkomt, en dat was niet...

Ik ben benieuwd wat ik dan zo over het hoofd zie, of er werkelijk een hele theorie achter zit die ik nog niet kende ... :roll:
Not too much to work with in here ...

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

zijtjeszotjes

    zijtjeszotjes


  • >100 berichten
  • 171 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 augustus 2006 - 19:04

neem a=2 en b=1
dan krijg je
a-b=2-1=1 en a+b=3
je krijgt ook
(x^3-1)>3(x^2-x)
dus
x^3-3x^2+3x-1 >0

deze ongelijkheid moet gelden voor ieder x>=-1
neem x=0 dan geldt -1>0 wat niet klopt...
heb je goed getypt? of doe ik iets stouts(fouts)?

#3

rasputin

    rasputin


  • 0 - 25 berichten
  • 5 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 01 augustus 2006 - 19:31

neem a=2 en b=1  
dan krijg je
a-b=2-1=1  en a+b=3
je krijgt ook
(x^3-1)>3(x^2-x)
dus  
x^3-3x^2+3x-1 >0

deze ongelijkheid moet gelden voor ieder x>=-1
neem x=0  dan geldt -1>0 wat niet klopt...
heb je goed getypt? of doe ik iets stouts(fouts)?


Ja, ik heb het goed ingetypt.

Denk fout, want ik herinner me die oefeningetjes van middelbaar, je deelt zo je vlak in in 2 gebieden, 1 gebied waar f(x):=x^3-3x^2+3x-1 waarden heeft groter dan 0, en een gebied waar f(x) waarden aanneemt kleiner dan 0, jij hebt gewoon een x genomen waarbij je een functiewaarde krijgt kleiner dan nul.

Heb eens opgelost voor f(x)=x^3-3x^2+3x-1=0, ik vind dan x=1 met multipliciteit 3, dus vanaf daar zou het wel moeten kloppen.
Even testen, neem dan bijv testwaarde x=2, dan 2^3-1>3*(2^2-2) wat idd klopt.

Mss is op nul herleiden ook nog een ideetje.
Er komt dan F(x):=LaTeX >0.

Mss dan verder gaan met de theorie van de afgeleiden ...
We vinden het wel :roll:
Not too much to work with in here ...

#4

stoker

    stoker


  • >1k berichten
  • 2746 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 augustus 2006 - 20:38

neem a=2 en b=1

LaTeX

Waarbij  a<b<0


#5

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 01 augustus 2006 - 21:02

Als ik x=0 invul krijg ik -getal>0. Als ik x=1 invul krijg ik 0>0. Dus ik denk dat de voorwaarde moet zijn x>1? Even kijken als vraag goed gesteld is.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

#6

rasputin

    rasputin


  • 0 - 25 berichten
  • 5 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 01 augustus 2006 - 21:37

Vond 't ook een rare opgave hoor. Had 't op m'n examen van analyse I, als 't hier al niet gevonden wordt binnen een redelijke tijd, dan zal het wel iets raar zijn ... en dus niet enkel aan mij liggen ... .

Ik zal er de profs nog wel mee lastigvallen als we er niet uitgeraken hier, ze moeten 't maar weten als ze zo'n vragen willen stellen ...
Not too much to work with in here ...

#7

evilbu

    evilbu


  • >250 berichten
  • 792 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 augustus 2006 - 22:37

neem a=2 en b=1  
dan krijg je
a-b=2-1=1  en a+b=3
je krijgt ook
(x^3-1)>3(x^2-x)
dus  
x^3-3x^2+3x-1 >0

deze ongelijkheid moet gelden voor ieder x>=-1
neem x=0  dan geldt -1>0 wat niet klopt...
heb je goed getypt? of doe ik iets stouts(fouts)?


Ja, ik heb het goed ingetypt.

Denk fout, want ik herinner me die oefeningetjes van middelbaar, je deelt zo je vlak in in 2 gebieden, 1 gebied waar f(x):=x^3-3x^2+3x-1 waarden heeft groter dan 0, en een gebied waar f(x) waarden aanneemt kleiner dan 0, jij hebt gewoon een x genomen waarbij je een functiewaarde krijgt kleiner dan nul.


Ik begrijp je reactie hier niet goed, oefeningen uit het middelbaar of niet, je kan toch niet ontkennen zijtjeszotjes zegt h : het klopt niet voor a=2 ,b=1 ,LaTeX ??

In elk geval is er nog iets anders aan de hand, wat is de definitie vanLaTeX als x negatief is?

Ik zou bijvoorbeeld graag es willen weten watLaTeX is, ik heb wel een idee, maar wel een imaginair idee en om daar ongelijkheden mee te schrijven.... :roll:



Ik denk dus ook dat eisLaTeX moet zijn

#8

physicalattraction

    physicalattraction


  • >1k berichten
  • 3102 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 02 augustus 2006 - 09:13

Ik zou bijvoorbeeld graag es willen weten watLaTeX

is, ik heb wel een idee, maar wel een imaginair idee en om daar ongelijkheden mee te schrijven.... :roll:


Wanneer je negatieve getallen wil machtverheffen tot een niet-geheel getal, zul je wel met complexe getallen moeten werken. Je komt er bijvoorbeeld niet onderuit dat LaTeX een complex getal oplevert.

De definitie van LaTeX is LaTeX , waarbij LaTeX .

#9

rasputin

    rasputin


  • 0 - 25 berichten
  • 5 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 02 augustus 2006 - 20:20

Wat de voorwaarde betreft - ik heb 't nog eens nagekeken - en jullie hebben idd gelijk. Tot daar toe, op m'n examen deed die voorwaarde er nu niet zoveel toe een bewijsmethode te vinden ... .

Daarstraks had ik een lumineus idee, ik denk dat ik 't heb ... :roll:

Als we de betrekking herschrijven als LaTeX ,
Stel in bovenstaande ongelijkheid even x=x' en doe dan de substitutie x'=x+1,
dan kunnen we beroep doen op de ongelijkheid van Bernoulli waaruit
LaTeX
Hieruit volgt dan LaTeX

Of nog LaTeX

Alzo heb ik uit het linkerlid van de herschreven betrekking, met bernoulli toegepast op het rechterlid , precies een rechterlid gekregen dat correspondeert met het linkerlid volgens Bernoulli.

Bernoulli is gemakkelijk te bewijzen met volledige inductie en daarmee denkik dat de initiŽle betrekking ook bewezen is.
Not too much to work with in here ...

#10

zijtjeszotjes

    zijtjeszotjes


  • >100 berichten
  • 171 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 augustus 2006 - 22:41

mmm weet je het zeker?

#11

zijtjeszotjes

    zijtjeszotjes


  • >100 berichten
  • 171 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 augustus 2006 - 22:44

LaTeX


hier zit een gemene fout verborgen, die fout heeft te maken met het feit dat ERGELDT

LaTeX
ER GELDT NIET
LaTeX
dat zie je niet direct in je ongelijkheid, maar het zit er wel in!!

met deze foute ongelijkheid. als je nog toevoegt :
LaTeX
dan vermenigvuldigt met die (a+b)/(a-b) dan krijg je je foute ongelijkheid terug.


de ongelijkheid is niet met inductie te bewijzen, misschien via een hele lange omweg, bedenk dat geen van de variabelen/getallen Natuurlijke getallen zijn..
het gaat hier om reele getallen...

#12

rasputin

    rasputin


  • 0 - 25 berichten
  • 5 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 03 augustus 2006 - 23:47

Ja, en toch ... .
Ik snap wel wat je bedoelt en had 't ook gezien, maar vul maar eens getallen in, heb 't zonet getest in maple en het blijkt wel te kloppen, dit vooral omdat alfa groter MOET zijn dan beta, je zou dan eventueel bij de ongelijkheid met de beta gewoon het "kleiner-dan"-teken kunnen plaatsen - wat niet correct is voor alle waarden x en beta, maar er zullen zo wel getallen bestaan - en dan gewoon bijtellen bij de correcte ongelijkheid met alpha als macht.

Dat de ongelijkheid expliciet niet met inductie te bewijzen is staat niet vast.
Iets dat bewezen is voor natuurlijke getallen kan dikwijls zijn geldigheid behouden bij de reŽele getallen, kijk maar naar de gewone bernoulli en vul daar eens reŽele waarden in bij de machten ... .

Volgens mij is het dus niet meer dan een streng-theoretische fout, maar wel bruikbaar in de praktijk, dat kun je zoals ik al zei testen met enige testwaarden, het linkerdeel van het stuk ongelijkheid dat je overneemt overtreft al gauw vele malen het rechterlid dat eigenlijk niks anders is dan LaTeX .

En uiteindelijk als ik jouw redenering bekijk ...
Je trekt de bestaande ongelijkheid uiteen in 2 welbepaalde stukken omdat de ongelijkheid van bernoulli gekend is, dat is dus eigenlijk strategisch, want ik denk dat je ervan uit moet gaan dat je dat niet weet.
Neem bijvoorbeeld x+y>u+v , dan mag je ook niet zomaar een uitspraak neerschrijven x>u en y>v omdat dat bij veronderstelling de componenten zouden kunnen zijn waaruit de hier als voorbeeld gegeven betrekking bestaat ... .

Soit, vanuit streng-wiskundig oogpunt zou men inderdaad kunnen beargumenteren dat het niet correct is en ik ontken ook niet dat de ongelijkheid met de beta op zich, niet algemeen geldig is, daar heb je volkomen gelijk in.

In elk geval moeten ze zoiets dan maar beter uitleggen onder 't jaar, ik zit ook nog maar in 1ste bach en denk niet dat ik m'n werkwijze niet voldoende accuraat kan motiveren ... en als ik dit al had genoteerd op m'n examen toen had ik mss ook al wat punten gekregen, in 1ste bach kan toch niet verondersteld worden alles op 100% correcte wijze te kunnen bewijzen + rekening houdend met de beperkte tijd voor het examen!

Maar goed, ik ben benieuwd naar een wiskundig volledig correct bewijs dan zodat ik goed voorbereid ben voor m'n herexamen.
Not too much to work with in here ...

#13

sirius

    sirius


  • >250 berichten
  • 336 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 augustus 2006 - 12:46

Ik ben er een weekje terug toen ik ff niets te doen had toch uitgekomen.
Ten eerste viel me op dat voor x=1 de volgende gelijkheid geld:
LaTeX
Waneer we links en rechts de afgeleide nemen, geldt de gelijkheid nog steeds. Ook de tweede afgeleide bewaart de gelijkheid, en ik vermoed de derde en de vierde ook wel.

Kortom als we een n^de afgeleide hebben zodat :

LaTeX
terwijl:
voor x=1:LaTeX

Dan zijn we er, immers we hebben de situatie waarin alle afgeleides gelijk zijn boven n, en waar de n^de afgeleide van links vervolgens groter blijft dan die van rechts. Kortom, na n keer terug te integreren blijft de ongelijkheid geldig.

Dus laten we eens links en rechts de afgeleide nemen( nu valt de 1 er aan de linkerkant uit). Dit geeft ons:
LaTeX

Nu gaan we links en rechts delen met een functie die voor LaTeX groter dan 0 is. Dit behoud de ongelijkheid. We kiezen hiervoor LaTeX

Nu krijgen we:
LaTeX

Maar nu zien we wederom een constante op rechts staan. Verder zien we ook in dat voor x=1 geld:
LaTeX
Kortom laten we nog een keer een afgeleide links en rechts nemen.
Hieruit volgt:
LaTeX
Dit is equivalent met (links en rechts delen met LaTeX ):
LaTeX
Wat natuurlijk waar is voor x > 1.

samengevat
Voor x>1 geldt:
LaTeX
dus ook
LaTeX
Als we hem nu integreren en links en rechts gelijk stellen voor x=1(om de integratieconstante te bepalen), volgt uit het voorgaande dat zijn afgeleide voor x>1 groter dan nul is. Kortom voor x>1 geldt dan:
LaTeX
Dus ook geldt:
LaTeX
Nogmaals integreren en gelijk stellen voor x = 1 geeft:
LaTeX
Waarbij wederom de afgeleide van links groter is dan rechts voor x>1. Kortom:
LaTeX voor x>1.
Duct tape is like the force: it has a dark side, a light side and it holds the universe together.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures