Springen naar inhoud

lineaire transformaties


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Jekke

    Jekke


  • >250 berichten
  • 997 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 augustus 2006 - 17:14

1) ik heb hier als definitie van lineaire transformatie van een vectorruimte V naar W:
een regel die aan elke vector x in V een unieke vector T(x) toekent, onderhevig aan de volgende twee voorwaarden:

i) T(u+v) = T(u) + T(v)
ii) T(cu) = cT(u)

voor alle u,v in V en c in R


2) nu heb ik de volgende oefening:
toon aan dat T een lin transfo is met: LaTeX

met LaTeX

3)mijn probleem:
voorwaarden (i) en (ii) zijn makkelijk na te gaan, hier geen hulp nodig
maar: de vereiste uniciteit in de gegeven definitie, hoe toon ik dat formeel aan?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24095 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 augustus 2006 - 17:25

Dat lijkt te ontbreken in de definities hier en hier. Volgens mij is dat dus een voorwaarde teveel, althans voor lineariteit.
Een transformatie is lineair als het beeld van een lineaire combinatie gelijk is aan die lineaire combinatie van de beelden, dat vat beide voorwaarden samen. Dus:

T(ax+by) = aT(x)+bT(y) met a,b scalairen en x,y vectoren.

Moest je toch uniciteit willen aantonen, dan is een klassieke aanpak:
- neem er twee en toon aan dat ze gelijk zijn (of dat hun verschil 0 is).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

evilbu

    evilbu


  • >250 berichten
  • 792 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 augustus 2006 - 18:08

TD, je zit er meestal perfect op, maar ik denk dat er een misverstand zou kunnen ontstaan.

Ben jij bezig over bijecties? Want de expliciete afbeelding die holycow geeft is geen bijectie (kan niet, dimensies zijn zelfs verschillend van begin en eindruimte).

Het probleem dat HolyCow volgens mij heeft, is verwarring tussen de termen
-afbeelding
-unieke toekenning

Het laatste is een vreemde verwoording die ik in mijn jaren unief maar zelden tegenkom. Je moet niks controleren, behalve de T(v+w)=T(v)+T(w) en T(a v) =a T(v) eigenschappen.

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24095 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 augustus 2006 - 18:12

Je moet niks controleren, behalve de T(v+w)=T(v)+T(w) en T(a v) =a T(v) eigenschappen.

Dat lijkt me ook, althans voor "lineariteit". Ik doelde niet op bijectie, maar die "unieke" zorgde wat mij betreft wel voor verwarring. Misschien heeft de vakantie me geen goed gedaan :)

Het controleren van die eigenschap komt precies neer op wat ik schreef over lineariteit, dat volstaat denk ik.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

evilbu

    evilbu


  • >250 berichten
  • 792 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 augustus 2006 - 18:14

Laat ons zo expliciet mogelijk zijn, ik ga eigenlijk alleen maar akkoord met

Een transformatie is lineair als het beeld van een lineaire combinatie gelijk is aan die lineaire combinatie van de beelden, dat vat beide voorwaarden samen. Dus:  

T(ax+by) = aT(x)+bT(y) met a,b scalairen en x,y vectoren.


#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24095 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 augustus 2006 - 18:17

Wat volgde is, los van lineaire transformaties, een strategie om uniciteit aan te tonen. Of dat hier ter zake is, laat ik in het midden.
Toen ik dat schreef was de opgave en de rol van "uniek" in zijn verhaal me niet duidelijk, de opmerking was dus algemeen.

Wat de "lineariteit" van een lineaire transformatie (afbeelding) aangaat, zijn we het (gelukkig) eens. Misschien kan HolyCow de rest verduidelijken.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

Jekke

    Jekke


  • >250 berichten
  • 997 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 augustus 2006 - 19:18

ik citeer uit mijn boek:

"A linear transformation T from a vector space V into (lijkt me dus injectief) a vector space W is a rule that assigns to each vector x in V a unique vector T(x) in W, such that (i) ... (ii) ... "

nu de docenten hebben bij de voorbeeldoefeningen ook niet meer gedaan dan (i) en (ii) gecontroleerd

maar die uniciteit lijkt me dat je die miss ook moet controleren

ik denk dat wat ik wil weten gewoon is of de inverse transformatie een injectie is

#8

evilbu

    evilbu


  • >250 berichten
  • 792 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 augustus 2006 - 20:18

ik citeer uit mijn boek:

"A linear transformation T from a vector space V into (lijkt me dus injectief) a vector space W is a rule that assigns to each vector x in V a unique vector T(x) in W, such that (i) ... (ii) ... "

nu de docenten hebben bij de voorbeeldoefeningen ook niet meer gedaan dan (i) en (ii) gecontroleerd

maar die uniciteit lijkt me dat je die miss ook moet controleren

ik denk dat wat ik wil weten gewoon is of de inverse transformatie een injectie is


Ik wil je helpen maar daarom moet ik je probleem zeer goed begrijpen.
Als je "die uniciteit" schrijft in je quote, dan verwijs je naar het door mij in vet gezette "unique"?

Wel dat heeft NIKS te maken met injectiviteit, bijectiviteit enz....

En DAT LAATSTE heeft op zijn beurt niets te maken met injectiviteit van de inverse transformatie (als een afbeelding inverteerbaar is, is zijn inverse automatisch injectief)

#9

Jekke

    Jekke


  • >250 berichten
  • 997 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 augustus 2006 - 20:41

ik citeer uit mijn boek:

"A linear transformation T from a vector space V into (lijkt me dus injectief) a vector space W is a rule that assigns to each vector x in V a unique vector T(x) in W, such that (i) ... (ii) ... "

nu de docenten hebben bij de voorbeeldoefeningen ook niet meer gedaan dan (i) en (ii) gecontroleerd

maar die uniciteit lijkt me dat je die miss ook moet controleren

ik denk dat wat ik wil weten gewoon is of de inverse transformatie een injectie is


Ik wil je helpen maar daarom moet ik je probleem zeer goed begrijpen.
Als je "die uniciteit" schrijft in je quote, dan verwijs je naar het door mij in vet gezette "unique"?

Wel dat heeft NIKS te maken met injectiviteit, bijectiviteit enz....

En DAT LAATSTE heeft op zijn beurt niets te maken met injectiviteit van de inverse transformatie (als een afbeelding inverteerbaar is, is zijn inverse automatisch injectief)


idd het komt er gewoon op neer wat ik me moet aantrekken van dat woordje "unique", welke invloed dat heeft op de definitie

ik begrijp wel waar het op neerkomt: voor elke vector x in V is er juist 1 vector T(x) in W die voldoet aan de transformatie/toekenning, of equivalent: als er twee vectoren in W zijn die door T toegekend zijn aan een vector x in V, dan betekent dit automatisch dat die twee vectoren gelijk zijn


maar ik vind het moeilijk te vatten in voorbeelden, hoe kan ik controleren of een afbeelding daar wel/niet aan voldoet, of heeft het niet veel betekenis dit te controleren?

#10

evilbu

    evilbu


  • >250 berichten
  • 792 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 augustus 2006 - 20:44

Dat is dus zoals ik al de hele tijd dacht je probleem. Wel daar moet je je geen zorgen om maken he? Je krijgt bijvoorbeeld in je eerste post met die tweedegraadsveeltermen het expliciete voorschrift.
Pas als je een voorschrift zou krijgen als
beeld de vector af op alle vectoren die even lang zijn, dan moet je je zorgen maken.

#11

Jekke

    Jekke


  • >250 berichten
  • 997 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 augustus 2006 - 21:04

Dat is dus zoals ik al de hele tijd dacht je probleem.  Wel daar moet je je geen zorgen om maken he?  Je krijgt bijvoorbeeld in je eerste post met die tweedegraadsveeltermen het expliciete voorschrift.
Pas als je een voorschrift zou krijgen als
beeld de vector af op alle vectoren die even lang zijn, dan moet je je zorgen maken.

zo is het al wat duidelijker, waarvoor dank (ook voor alle andere antwoorden in andere topics)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures